Практичне заняття

1. Довести, що . Починаючи з якого n маємо

Виберемо довільне число і покажемо, що існує такий номер N, що для всіх членів послідовності з номерами n > N виконується нерівність

(1)

Для визначення N досить розв’язати нерівність (1) відносно n:

.

Отже, якщо , то нерівність (1) виконується для будь-якого наперед заданого числа . Якщо , то за N беремо цілу частину виразу , тобто N = . А якщо , то за N можна взяти 1 або будь-яке інше натуральне число.

Зокрема, при , N = . Отже, при дістанемо

2. З’ясувати, чи має границю послідовність (x_n), якщо:

а) б)

в)

а) Оскільки то послідовність () обмежена. Неважко бачити, що для всіх , тобто () монотонно зростає. Отже, вона має границю.

б) Члени послідовності з парними номерами прямують до 1 при , оскільки . А члени послідовності з непарними номерами прямують до 2 при . Отже, згідно з означенням, послідовність немає границі, тобто є розбіжною.

в) Дана послідовність є добутком нескінченно малої послідовності , оскільки , і обмеженої послідовності , тому що . Тоді за властивістю 2) задана послідовність має границю, що дорівнює 0.

3. Обчислити границі:

а) б)

в) г)

д) ; е)

є)

ж)

а) скористаємось теоремою про границю двох послідовностей. Неважко побачити, що границя першого доданка дорівнює 0, а другий доданок є добутком нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність , тому його границя також дорівнює нулю. Отже, за властивістю 1( задана послідовність є нескінченно малою.

б) У даному випадку чисельник і знаменник мають нескінченні границі, тому користуватись теоремою про границю частки не можна. Перетворимо дріб, поділивши чисельник і знаменник на (найвищий степінь n). Дістанемо

Оскільки маємо , , , , то, застосувавши теорему про границю суми і добутку, помічаємо, що границя чисельника дорівнює 1, а знаменника 3. за теоремою про границю частки маємо

в) Поділимо чисельник на знаменник дробу на , а потім скористаємось теоремою про границю суми і частки. Дістанемо

г) Аналогічно попередньому маємо

Оскільки при , а знаменник є нескінченно малою послідовністю, то задана послідовність є нескінченно великою, тобто

У прикладах б) - г) порівняйте старші степені чисельників і знаменників заданих дробів і зробіть висновок відносно одержаних відповідей.

д) У даному випадку маємо різницю двох нескінченно великих послідовностей. Позбавимося ірраціональності в чисельнику, вважаючи, що знаменник дорівнює 1, і застосуємо теорему про зв’язок нескінченно малої і нескінченно великої послідовностей. Матимемо.

е) Поділивши чисельник і знаменник виразу, що стоїть в дужках, на n і скориставшись властивістю степеня, дістанемо

Користуючись теоремою про границю добутку, частки і формули (1), маємо

є) Оскільки , то

. Тоді

ж) Маємо границю послідовності комплексних чисел. Обчислимо границі дійсної та уявної частин цієї послідовності. Оскільки

, то

Вправи для самоперевірки

1. Довести, що:

а) б) в)

2. Обчислити і визначити номер N () такий, що при всіх , коли:

а) б)

Відповідь: а) ; б)

3. Зясувати, чи має границю послідовність , якщо:

а) ; б) ;

в)

Відповідь: а) так; б) так; в) ні.

4. Обчислити границі:

1) 2) 3)

4) 5)

6) 7)

8) 9)

10) 11)

12) 13)

14) 15)

16) 17)

18)

Відповідь: 1) -2; 2) 0; 3) ; 4) 5) ; 6) 6; 7) 1; 8) 2;

9) ; 10) 3; 11) ; 12) 0; 13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ; 18) .

5. Обчислити суму всіх членів спадної геометричної прогресії 1,

Відповідь: S=3.

1. Знайти

Використовуючи теорему про границю добутку маємо:

Оскільки

аналогічно

Відповідь: - 9.

2. Знайти

.

3. Знайти

Завдання для перевірки знань

1. Довести, що при послідовність 3, має границею число 2.

2. Довести, що при послідовність має границею число 1,5.