Векторна алгебра і деякі її застосування.

Вектори.

Означення 1. Вектором називають величину, яка характеризується не тільки своїм числовим значенням (довжиною), але й напрямком.

Вектори позначають або або а, b, c.

При позначенні вектора двома літерами (наприклад, ) перша літера вказує точку початку вектора, а друга – точку його кінця. В економіці вектори часто позначають однією великою літерою.

Довжину (модуль) вектора позначають , .

Геометрично вектор зображують як напрямлений відрізок (дивись мал.1)

А

В

Мал.1

Зображені на цьому малюнку вектори мають довжину:

якщо одиниця масштабу: .

Нульовим вектором називають вектор, початок і кінець якого співпадають.

Такий вектор позначають , його довжина дорівнює нулю, а напрям – довільний.

Рівними називають вектори, які мають однакові довжини та напрямки: .

Колінеарними називають вектори, які розташовані на одній прямій або паралельних прямих (дивись мал.2)

Мал.2

Усі зображені на малюнку 2 вектори – колінеарні.

Протилежними називають колінеарні протилежно спрямовані вектори однакової довжини.

Вектор, протилежний вектору позначають .

Ортом вектора називають вектор ₀ довжина якого дорівнює одиниці, а напрям співпадає з , тобто =₀.

Компланарними називають вектори, що лежать в одній площині. В економічних дослідженнях n упорядкованих параметрів розглядають як вектор n вимірного простору Е_n.

Матриця-рядок та матриця-стовпець містять упорядковані елементи, тому їх можна розглядати як вектори простору відповідного виміру.

Наприклад, є Е₅ є Е₄

Елементи вектора-рядка та вектора-стовпця називають координатами вектора. Смисл такої назви пояснимо нижче, після визначення проекцій вектора на координатній осі.

1. Деякі економічні приклади.

В розділі 4 частини 5 наведені приклади застосування векторів до задач мікроекономіки.

Так, використовувались вектор-рядок вартості V = (v₁, v₂, v₃, v₄), компоненти якого – вартості різної сировини, палива, робочої людино-години, та вектор-стовпець потреб інших галузей до продукції цехів 1, 2, 3.

Зараз ознайомимось з іншими прикладами застосування векторів.

Продуктивна функція. При аналізі закономірностей виробництва використовується продуктивна функція, яка, по суті, є співвідношенням між використаними у виробництві ресурсами і випущеною продукцією.

Нехай у деякому виробничому процесі є n виробничих ресурсів. Кількість і-го ресурсу, використованого за проміжок часу t, позначимо х_і. Тоді виробничі ресурси – це вектор Х = (х₁, х₂, … х_n).

Нехай підприємство випускає m різних виробів. Кількість j виробу позначемо у_і. Тоді випуск усіх виробів буде вектор Y = ( y₁, y₂, … y_m). Нехай - вектор параметрів виробництва (наприклад, різні види транспортних чи інших витрат). Продуктивна функція пов’язує вектори ресурсів Х, випуска Y та параметрів , тобто

Продуктивна функція задається аналітично або таблично.

Продуктивну функцію, розв’язану відносно Y, тобто вигляду

називають функцією випуска, а розв’язану відносно вектора Х, тобто вигляду

називають функцією виробничих витрат.

Зрозуміло, що ці функції у конкретних випадках (коли вказано закони та ) використовують правила дій з векторами.

Математичні моделі економічних задач

Навіть найпростіші лінійні статистичні економічні моделі описуються з використанням векторів.

Для дослідження динамічних моделей різних процесів стан вивчаємої економічної системи в момент часу t описується за допомогою вектора Х із n вимірного простору, а керування процесом в той самий момент часу описується за допомогою вектора із m вимірного простору.

Таким чином, в динамічних моделях використовуються вектори n та m вимірних просторів, координати яких залежать від часу t.

1.3. Координати векторів

Спочатку нагадаємо поняття числової осі та систем координат. Числовою віссю називають пряму, на якій визначено:

1. напрям ();

2. початок відліку (точка 0);

3. відрізок, який приймають за одиницю масштабу.

Дві взаємно перпендикулярні числові осі із загальним початком відліку (точка 0) називають прямокутною декартовою системою координат на площині (у двомірному просторі Е₂).

Три взаємно перпендикулярні числові осі із загальним початком відліку (точка 0) називають прямокутною декартовою системою координат у просторі ( у тривимірному просторі Е₃).

На Малюнку 3 зображені:

а) прямокутна декартова система координат на площині;

b) прямокутна декартова система координат у просторі.

Y

y

M(x,y)

0

1

x

X

Z

1

M(x,y,z)

0

1

y

Y

z

x

1

X

a) b)

Мал.3

Вісь 0_х називають віссю абсцис; 0_у – вісь ординат; 0_z – вісь аплікат. Орт осі 0_х позначають , орт осі 0_у – вектор , орт осі 0_z – вектор.

Упорядкована пара чисел (х,у), що відповідає точці М площини х0у, називається декартовими прямокутними координатами точки М, це позначають М(х,у).

Упорядкована трійка чисел (х,у,z), що відповідає точці М простору 0zух, називається координатами точки М декартової прямокутної системи координат у просторі, це позначають М(х,у,z).

Відмітимо, що існують інші системи координат на площині та у просторі.

Дамо поняття проекції вектора на вісь. Нехай заданий вектор та вісь l. З точок А і В опускаємо перпендикуляри на вісь l. Одержимо точки А₁ та В₁ – проекції точок А та В.

Означення 2. Проекцією вектора на вісь називається довжина вектора , яка взята із знаком “+”, якщо напрям співпадає з напрямом осі та із знаком “-“, якщо напрями протилежні (див. Мал.4).

Позначають: пр₁ .

Означення 3. Кутом між двома векторами (або між вектором та віссю) називають найменший кут між їх напрямами при умові, що вектори зведені до спільного початку (див. Мал.4).

А₁

В₁

А₁

В₁

l

А

B

C



А

B

C



а) b)

Мал.4.

Знайдемо пр₁ :

У випадку а) маємо: пр₁ =

У випадку b) маємо:

пр₁ =

Таким чином, проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини вектора на косінус кута між вектором і віссю.

Означення 4. Координатами називаються проекції вектора на осі координат.

Нехай вектор має координати а_х, а_у, а_z тобто = (а_х, а_у, а_z) і утворює з осями координат кути тоді

а_х = ||, а_y = ||, а_z = ||,

, називають напрямними косінусами вектора . З попередніх формул маємо:

Розглянемо вектор , де М₁(х₁,y₁) – початок вектора, М₂(х₂,y₂) – кінець вектора (див.Мал.5). в цьому випадку

тобто координати вектора - це впорядкована пара чисел (х₂ – х₁; y₂ – y₁).

Аналогічно одержуємо, що координатами вектора у просторі буде впорядкована трійка чисел (х₂ – х₁; y₂ – y₁; z₂ – z₁).

Y

y₂

M₂

0

х₁

x₂

X

у₁

M₁

Мал.5

Отже, можна сформулювати правило:

Координати вектора дорівнюють різниці відповідних координат кінця та початку вектора.

Наприклад, вектор , початок якого знаходиться в точці М₁(2,-3,0), кінець – в точці М₂(1,1,2), має координати

= (1-2; 1+3; 2-0) = (-1; 4; 2)

Зауваження. Вектор ( де точка 0 – початок координат) називають радіусом-вектором точки А і позначають . Координати вектора співпадають з координатами точки А.

По аналогії з векторами = (а_х, а_у) із Е₂ та вектор-рядок та вектор-стовпець, які містять n елементів, розглядають як вектори їз n вимірного простору Е_n, а їх елементи називають координатами вектора.

Наприклад,