Постановка задачи

Целью данного исследования является изучение изменения выработки рабочего (млн. руб.) под действием следующих факторов:

1. Выполнение норм выработки, %

2. Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, %

3. Вооруженность рабочего активной частью основных фондов, руб/чел

4. Электровооруженность труда рабочего, кВтчас/чел

5. Удельный вес обновленных основных фондов, %

Выдвинем гипотезы о характере зависимости между факторами и результирующим показателем:

I. Зависимость между выполнением нормы выработки и выработкой рабочего:

- Выполнение норм выработки увеличилось – объем выработки рабочего увеличился.

- Выполнение норм выработки увеличилось – объем выработки рабочего не изменился.

- Выполнение норм выработки увеличилось – объем выработки рабочего уменьшился.

II. Зависимость между удельным весом рабочих, невыполняющих нормы, и выработкой рабочего:

- Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, увеличился – объем выработки рабочего увеличился.

- Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, увеличился – объем выработки рабочего не изменился.

- Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, увеличился – объем выработки рабочего уменьшился.

III. Зависимость между вооруженностью рабочего активной частью основных фондов и выработкой рабочего:

- Вооруженность рабочего активной частью основных фондов увеличилась – объем выработки рабочего увеличился.

- Вооруженность рабочего активной частью основных фондов увеличилась – объем выработки рабочего не изменился.

- Вооруженность рабочего активной частью основных фондов увеличилась – объем выработки рабочего уменьшился.

IV. Зависимость между электровооруженностью труда рабочего и выработкой рабочего:

- Электровооруженность труда рабочего увеличилась – объем выработки рабочего увеличился.

- Электровооруженность труда рабочего увеличилась – объем выработки рабочего не изменился.

- Электровооруженность труда рабочего увеличилась – объем выработки рабочего уменьшился.

V. Зависимость между удельным весом обновленных фондов и выработкой рабочего:

- Удельный вес обновленных основных фондов увеличился – объем выработки рабочего увеличился.

- Удельный вес обновленных основных фондов увеличился – объем выработки рабочего не изменился.

- Удельный вес обновленных основных фондов увеличился – объем выработки рабочего уменьшился.

Проверка требований, предъявляемых к исходным данным

1. Проверим данные на однородность. Используя коэффициент вариации (который должен быть меньше или равен 0,33), мы можем сказать, что следующие факторы являются неоднородными:

• Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, %

• Удельный вес обновленных основных фондов, %

2. Проверим достаточность наблюдений. Для этого должно выполняться соотношение n-p-1>30 или n/p≥4(3), получаем, что 35-5-1<30 или 35/5≥4(3), поэтому наши факторы нельзя считать достаточными.

3. Определим форму зависимости и тесноту связи между факторами и результирующим показателем. Для этого построим поля корреляции и рассчитаем корреляционную матрицу. Cвязь между выработкой рабочего и:

• выполнением норм выработки прямая и достаточно тесная (r ≈ 0,79)

• удельным весом рабочих, невыполняющих нормы обратная и достаточно тесная

(r ≈ -0,88)

• вооруженностью рабочего активной частью основных фондов прямая и достаточно тесная (r ≈ 0,97)

• электровооруженностью труда рабочего прямая и достаточно тесная (r ≈ 0,79)

• удельным весом обновленных основных фондов прямая и слабая (r ≈ 0,06)

Далее проведем анализ существенности факторов, оставляя наиболее значимые для нашей модели. В итоге получаем, что у нас остается только 3 фактора: удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, вооруженность рабочего активной частью основных фондов, электровооруженностью труда рабочего, которые наименее зависимы друг от друга и наиболее сильно влияют на наш результирующий показатель.

На основе этих выводов начинаем расчет параметров регрессионной модели.

регрессионный модель норма выработка

Расчет параметров регрессионной модели

Регрессионная статистика

Множественный R

0.987

R-квадрат

0.973

Нормированный R-квадрат

0.968

Стандартная ошибка

191.728

Наблюдения

32

Из данной таблицы видно, что связь между результирующим показателем и факторами, влияющими на него довольно тесная (коэффициент множественной корреляции равен 0,987), также мы можем сказать, что данные факторы объясняют зависимый показатель ≈ на 98% (коэффициент детерминации равен 0,973).

Дисперсионный анализ

 

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

5

35004128.889

7000825.778

190.449

1.28667E-19

Остаток

26

955747.986

36759.538

Итого

31

35959876.875

 

 

 

 

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Y-пересечение

1474.909

477.841

3.087

0.005

Выполнение норм выработки, %

0.206

3.963

0.052

0.959

Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, %

-300.376

75.323

-3.988

0.000

Вооруженность рабочего активной частью основных фондов, руб/чел

2.483

0.295

8.429

0.000

Электровооруженность труда рабочего, кВтчас/чел

0.569

0.152

3.743

0.001

Удельный вес обновленных основных фондов, %

-0.680

12.887

-0.053

0.958

Проверим статистическую значимость параметров модели. Для этого воспользуемся критерием Стьюдента. Параметр модели считается статистически надежным, если t расчетное будет больше t табличного. В нашем случае t табличное = 2,056 степень свободы f = n – p –1 = количество наблюдений – количество факторов –1 = 32-5-1=26. Таким образом получаем, что

- t выполнения норм выработки < t табличного

0,052 < 2,056, поэтому данный фактор исключаем из модели, т.к. значение этого фактора наиболее статистически не значимо, по сравнению с другими факторами.

- t удельного веса рабочих, невыполняющих нормы > t табличного

|-3,988|> 2,056, поэтому данный фактор надежный

- t вооруженности рабочего активной частью основных фондов > t табличного

8,429 > 2,056, поэтому данный фактор надежный

- t электровооруженности труда рабочего > t табличного

3,743 > 2,056, поэтому данный фактор надежный

- t удельного веса обновленных основных фондов < t табличного

|-0,053|<2,056, поэтому данный фактор ненадежный.

Исключив выполнение норм выработки, мы получаем следующие результаты

Регрессионная статистика

Множественный R

0,987

R-квадрат

0,973

Нормированный R-квадрат

0,969

Стандартная ошибка

188,153

Наблюдения

32

Из данной таблицы видно, что связь между результирующим показателем и оставшимися факторами довольно сильная (коэффициент множественной корреляции равен 0,987), также мы можем сказать, что данные факторы объясняют изменение зависимого показателя ≈ на 98% (коэффициент детерминации равен 0,973).

Дисперсионный анализ

 

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

4

35004029,967

8751007,492

247,191

7,62398E-21

Остаток

27

955846,908

35401,737

Итого

31

35959876,875

 

 

 

 

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Y-пересечение

1491,715

344,700

4,328

0,0002

Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, %

-301,202

72,248

-4,169

0,0003

Вооруженность рабочего активной частью основных фондов, руб/чел

2,491

0,243

10,230

0,0000

Электровооруженность труда рабочего, кВтчас/чел

0,568

0,149

3,817

0,0007

Удельный вес обновленных основных фондов, %

-0,347

10,966

-0,032

0,9750

Проверим статистическую значимость параметров модели. Для этого воспользуемся критерием Стьюдента. Параметр модели считается статистически надежным, если t расчетное будет больше t табличного. В этом случае t табличное = 2,052 степень свободы f = n – p –1 = количество наблюдений – количество факторов –1 = 32-4-1=27. Таким образом получаем, что

- t удельного веса рабочих, невыполняющих нормы > t табличного

|-4,169|> 2,052, поэтому данный фактор надежный

- t вооруженности рабочего активной частью основных фондов > t табличного

10,230 > 2,052, поэтому данный фактор надежный

- t электровооруженности труда рабочего > t табличного

3,817 > 2,052, поэтому данный фактор надежный

- t удельного веса обновленных основных фондов < t табличного

|-0,032|<2,052, поэтому данный фактор исключаем из модели.

Исключив удельный вес обновленных основных фондов, мы получаем следующие результаты

Регрессионная статистика

Множественный R

0,987

R-квадрат

0,973

Нормированный R-квадрат

0,971

Стандартная ошибка

184,766

Наблюдения

32

Из данной таблицы видно, что связь между результирующим показателем и оставшимися факторами довольно сильная (коэффициент множественной корреляции равен 0,987), также мы можем сказать, что данные факторы объясняют изменение зависимого показателя ≈ на 98% (коэффициент детерминации равен 0,973).

Дисперсионный анализ

 

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

3

35003994,574

11667998,191

341,783

3,76386E-22

Остаток

28

955882,301

34138,654

Итого

31

35959876,875

 

 

 

 

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Y-пересечение

1494,197

329,602

4,533

0,000099

Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, %

-301,747

68,898

-4,380

0,000151

Вооруженность рабочего активной частью основных фондов, руб/чел

2,491

0,239

10,430

0,000000

Электровооруженность труда рабочего, кВтчас/чел

0,566

0,132

4,299

0,000187

Уровень значимости у обоих факторов меньше 0,05.

Получаем следующую модель

X0=1494,197-301,747x2+2,491x3+0,566x4

Проверим полученную модель на надежность с помощью критерия Фишера. В нашем случае Fрасч.= 341,783, а Fтабл.=2,947, поэтому данная модель является надежной (Fрасч>Fтабл).

Для оценки качества регрессии рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации

Наблюдение

Предсказанное выработка рабочего, млн.руб.

Остатки

Выработка рабочего, (млн.руб.) фактич

Отн погреш

1

3960,03

-269,03

3691,00

0,07

2

3442,05

273,95

3716,00

0,07

3

3905,43

-140,43

3765,00

0,04

4

4186,50

-167,50

4019,00

0,04

5

4237,83

15,17

4253,00

0,00

6

4201,88

61,12

4263,00

0,01

7

4364,52

-77,52

4287,00

0,02

8

4631,87

-158,87

4473,00

0,04

9

4549,11

19,89

4569,00

0,00

10

4777,32

-180,32

4597,00

0,04

11

4824,86

-176,86

4648,00

0,04

12

5180,78

-40,78

5140,00

0,01

13

5200,13

18,87

5219,00

0,00

14

5020,98

231,02

5252,00

0,04

15

5446,69

-168,69

5278,00

0,03

16

5151,89

130,11

5282,00

0,02

17

5321,41

43,59

5365,00

0,01

18

5404,72

-38,72

5366,00

0,01

19

5398,77

111,23

5510,00

0,02

20

5391,17

143,83

5535,00

0,03

21

5748,79

-130,79

5618,00

0,02

22

5326,94

355,06

5682,00

0,06

23

5577,32

176,68

5754,00

0,03

24

6048,86

-52,86

5996,00

0,01

25

6311,85

-212,85

6099,00

0,03

26

6099,09

8,91

6108,00

0,00

27

6270,27

359,73

6630,00

0,05

28

6653,02

97,98

6751,00

0,01

29

6810,74

15,26

6826,00

0,00

30

7123,60

98,40

7222,00

0,01

31

7722,25

-388,25

7334,00

0,05

32

7555,35

42,65

7598,00

0,01

0,86

Средняя относительная ошибка аппроксимации

2,679

В нашем случае, ошибка аппроксимации (έ) равна:

έ= (0,86/32)*100%=2,68%

Так как средняя ошибка аппроксимации допускается не более 10%, то точность нашей модели можно считать приемлемой.

Анализ результатов моделирования

Итак, в нашем случае, получилось следующие уравнение регрессии в натуральном масштабе

X0=1494,197-301,747x2+2,491x3+0,566x4

Анализируя его, мы можем сделать следующие выводы:

• если удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, увеличить на 1 %, а вооруженность рабочего активной частью основных фондов и электровооруженность труда рабочего останутся на прежнем уровне, то выработка рабочего уменьшится на 301,747 млн. руб.

• если вооруженность рабочего активной частью основных фондов увеличить на 1 руб./чел., а удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и электровооруженность труда рабочего оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 2,491 млн. руб.

• если электровооруженность труда рабочего увеличить на 1 кВтчас/чел, а удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и вооруженность рабочего активной частью основных фондов оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 0,566 млн. руб.

Рассчитаем уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

β2= -301,75*(0,87/1077,03)= -0,242 β3=2,49*(273,33/ 1077,03)= 0,632

β4=0,57*(358,26/1077,03)=0,188

Уравнение регрессии в стандартизованном масштабе имеет следующий вид

t0=-0,242t2+0,632t3+0,188t4

Это значит, что:

• если удельныйвес рабочих, невыполняющих нормы, увеличить на 1 его стандартное отклонение, а вооруженность рабочего активной частью основных фондов и электровооруженность труда рабочего останутся на прежнем уровне, то выработка рабочего уменьшится на 0,242σ.

• если вооруженность рабочего активной частью основных фондов увеличить на 1 его стандартного отклонения, а удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и электровооруженность труда рабочего оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 0,632 σ.

• если электровооруженность труда рабочего увелечить на 1 его стандартного отклонения, а удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и вооруженность рабочего активной частью основных фондов оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увелечится на 0,188 σ.

Рассчитаем коэффициенты эластичности

Э2= -301,75*(0,28/5370,19)= -0,016 и Э3=2,49*(1028,09/5370,19)=0,477

Э4= 0,57*(2474/5370,19)= 0,261

из этого следует, что:

• если удельныйвес рабочих, невыполняющих нормы, увеличить на 1%, а вооруженность рабочего активной частью основных фондов и электровооруженность труда рабочего останутся на прежнем уровне, то выработка рабочего уменьшится на 0,016%.

• если вооруженность рабочего активной частью основных фондов увеличить на %, а удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и электровооруженность труда рабочего оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 0,477%.

• если электровооруженность труда рабочего увеличить на 1%, а удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и вооруженность рабочего активной частью основных фондов оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 0,261%.