ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Кафедра статистики

Экономический факультет

Контрольная работа

по дисциплине: Эконометрика

Вариант №3

Выполнила студентка III курса 33 группы

Специальность: «Финансы и кредит»

заочная форма обучения сокращ.прогр.

Проверила: доц.

Москва 2009

Содержание

Задача 1.

По данным за два года изучается зависимость оборота розничной торговли (Y, млрд. руб.) от ряда факторов: X - денежные доходы населения, млрд. руб.; Х- доля доходов, используемая на покупку товаров и оплату услуг, млрд. руб.; Х - численность безработных, млн. чел.; Х- официальный курс рубля по отношению к доллару США.

Таблица №1

Месяц

Y

X

Х

Х

Х

1

72,9

117,7

81,6

8,3

6,026

2

67,0

123,8

73,2

8,4

6,072

3

69,7

126,9

75,3

8,5

6,106

4

70,0

134,1

71,3

8,5

6,133

5

69,8

123,1

77,3

8,3

6,164

6

69,1

126,7

76,0

8,1

6,198

7

70,7

130,4

76,6

8,1

6,238

8

80,1

129,3

84,7

8,3

7,905

9

105,2

145,4

92,4

8,6

16,065

10

102,5

163,8

80,3

8,9

16,010

11

108,7

164,8

82,6

9,4

17,880

12

134,8

227,2

70,9

9,7

20,650

13

116,7

164,0

89,9

10,1

22,600

14

117,8

183,7

81,3

10,4

22,860

15

128,7

195,8

83,7

10,0

24,180

16

129,8

219,4

76,1

9,6

24,230

17

133,1

209,8

80,4

9,1

24,440

18

136,3

223,3

78,1

8,8

24,220

19

139,7

223,6

79,8

8,7

24,190

20

151,0

236,6

82,1

8,6

24,750

21

154,6

236,6

83,2

8,7

25,080

22

160,2

248,6

80,8

8,9

26,050

23

163,2

253,4

81,8

9,1

26,420

24

191,7

351,4

68,3

9,1

27,000

Задание:

1. Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.

2. Выделите значимые и незначимые факторы в модели. Постройте уравнение регрессии со статистически значимыми факторами. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

3. Для полученной модели проверьте выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.

4. Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарвина-Уотсона

5. Проверьте, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессивном смысле. Можно ли объединить выборки (по первым 12 и остальным наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

Решение:

1. Для заданного набора данных построим линейную модель множественной регрессии.

Y_х = а + b₁Х₁ + b₂Х₂ + b₃Х₃ + b₄Х₄ + 

Таблица №2

 

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Y-пересечение

-63,12339216

24,03915584

-2,625857272

0,016639889

-113,4379235

-12,80886085

X1

0,495117715

0,036188344

13,68169026

2,74417E-11

0,41937464

0,570860789

X2

0,983476231

0,175264351

5,611387733

2,06783E-05

0,616643729

1,350308734

X3

-1,307234046

1,445807723

-0,904154837

0,377235119

-4,333344382

1,71887629

X4

1,087907312

0,291987593

3,725868289

0,001432703

0,476770258

1,699044365

Параметры модели рассчитаем методом наименьших квадратов:

а = - 63,12, b₁ = 0,5, b₂ = 0,98, b₃ = -1,31 и b₄ = 1,09

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

Y_х = - 63,12 + 0,5Х₁ + 0,98Х₂ – 1,31Х₃ + 1,09Х₄ + 

Оценим точность полученной модели. Вычислим парные коэффициенты корреляции используя формулу:

r_{yxi =}

Сводные результаты корреляционного анализа представим в таблице:

Таблица №3

Y

X₁

X₂

X₃

X₄

Y

X₁

X₂

X₃

X₄

1

0,967

0,048

0,469

0,947

1

- 0,191

0,384

0,862

1

0,184

0,209

1

0,646

1

Для оценки адекватности построенного уравнения регрессии заполним следующую таблицу:

Таблица №4

Регрессионная статистика

Множественный R

0,997719294

R-квадрат

0,99544379

Нормированный R-квадрат

0,994484588

Стандартная ошибка

2,729949461

Наблюдения

24

Коэффициент множественной корреляции показывает, что факторы Х₁, Х₂, Х₃, Х₄, объясняют вариацию признака Y на 99,8%, а необъясненные факторы 0,2%.

С помощью t-критерия Стьюдента оценим значимость коэффициентов уравнения регрессии а, b₁, b₂, b₃ и b₄ :

Таблица №5

 

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Y-пересечение

-63,12339216

24,03915584

-2,625857272

0,016639889

X1

0,495117715

0,036188344

13,68169026

2,74417E-11

X2

0,983476231

0,175264351

5,611387733

2,06783E-05

X3

-1,307234046

1,445807723

-0,904154837

0,377235119

X4

1,087907312

0,291987593

3,725868289

0,001432703

Табличное значение t - критерия при 5% уровне значимости и степенях свободы (24 – 4 – 1 = 19) составляет 2,09, условие выполняется для коэффициентов b₁, b₂ и b₄ , значит они существенны (значимы), соответственно коэффициент b₃ не значим.

На основе вычисления F-критерия Фишера произведем проверку значимости полученного уравнения регрессии с вероятностью 0,95:

F = *

F = * = 945

получили F  F_табл= 2,90 для  = 0,05; m₁ = m = 4, m₂ = n – m – 1 = 19.

Поскольку F_рас  F_табл, уравнение множественной регрессии следует признать адекватным.

2. Исключим несущественные факторы Х₃ и построим уравнение зависимости (балансовой прибыли) от объясняющих переменных Х₁, Х₂, и Х₄.

Построим уравнение регрессии со статистически значимыми факторами.

Y = a + b₁X₁+ b₂X₂+ b₄X₄+ 

Методом наименьших квадратов найдем параметры модели:

а = - 80,81, b₁ = 0,51, b₂ = 1,06, b₄ = 0,90

Следовательно, уравнение регрессии имеет вид:

Y_х = - 80,81 + 0,51Х₁ + 1,06Х₂ + 0,90Х₄ + 

Таблица № 6

Регрессионная статистика

Множественный R

0,997621047

R-квадрат

0,995247754

Нормированный R-квадрат

0,994534917

Стандартная ошибка

2,717465246

Наблюдения

24

Дисперсионный анализ

 

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

3

30930,73724

10310,24575

1396,178737

2,16904E-23

Остаток

20

147,6923473

7,384617364

Итого

23

31078,42958

 

 

 

 

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Y-пересечение

-80,80788211

13,91182082

-5,808576977

1,10503E-05

-109,827432

-51,78833248

X1

0,514732775

0,028832194

17,85270937

9,33007E-14

0,454589873

0,574875677

X2

1,055202046

0,155568647

6,782870859

1,35061E-06

0,730691534

1,379712557

X4

0,896552042

0,200239952

4,477388412

0,000230607

0,478858822

1,314245261

Оценим точность и адекватность полученной модели.

Коэффициент детерминации: R² = 0,995.

Коэффициент корреляции: r_ху = 0,997.

Остаточная сумма квадратов: С = 147,69

На основе вычисления F-критерия Фишера произведем проверку значимости полученного уравнения регрессии с вероятностью 0,95:

F =

F = = 945

получили F  F_табл= 3,10 для  = 0,05; m₁ = m = 3, m₂ = n – m – 1 = 20.

Поскольку F_рас  F_табл, уравнение множественной регрессии следует признать значимым.

Экономическая интерпретация параметров модели.

b₁ = 0,51, значит при увеличении только денежных доходов населения на 1 млрд. руб. объем оборота розничной торговли в среднем вырастет на 0,51 млрд. руб.

b₂ = 1,06, значит при увеличении только доли доходов, используемых на покупку товаров и услуг, на 1 млрд. руб. объем оборота розничной торговли в среднем вырастет на 1,06 млрд. руб.

b₄ = 0,9, значит при увеличении только официального курса рубля по отношению к доллару на 1 руб. объем оборота розничной торговли в среднем вырастет на 0,9 млрд. руб.

Рассчитаем частные коэффициенты эластичности:

_

Х₁ 185,81

Э₁ = b₁ — = 0,51 * ———— = 0,83

Y 114,3

_

Х₂ 79,49

Э₂ = b₂ — = 1,06 * ——— = 0,74

Y 114,3

_

Х₄ 17,39

Э₄ = b₄ — = 0,9 * ——— = 0,14

Y 114,3

Они показывают, на сколько процентов изменяется зависимая переменная Y при изменении фактора Х_i на один процент.

3. Применим тест Голдфельда-Квандта для проверки гомоскедастичности остатков в полученной модели.

Упорядочим наблюдения в порядке возрастания переменной Х₁ и, исключив из рассмотрения 6 центральных наблюдения, разделим совокупность из оставшихся 18 наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора Х₁). Определим по каждой из групп уравнение регрессии и остаточной суммы квадратов.

Проверка линейной регрессии на гомоскедастичность.

Таблица № 7

Уравнения регрессии

Х₁

Х₂

Х₄

Y

Ŷ

E

E²

Первая группа с первыми 9 месяцами

Y = -23,13 + 0,23Х₁- 0,69Х₂+ 1,97Х₄

r = 0,997

F = 318,9

117,7

81,6

6,026

72,9

71,69

1,21

1,4748

123,1

77,3

6,164

69,8

70,22

-0,42

0,1800

123,8

73,2

6,072

67

67,38

-0,38

0,1438

126,7

76

6,198

69,1

70,21

-1,11

1,2432

126,9

75,3

6,106

69,7

69,60

0,10

0,0105

129,3

84,7

7,905

80,1

80,15

-0,05

0,0029

130,4

76,6

6,238

70,7

71,55

-0,85

0,7202

134,1

71,3

6,133

70

68,53

1,47

2,1486

145,4

92,4

16,065

105,2

105,16

0,04

0,0015

Сумма

5,93

Вторая группа с последними 9 месяцами

Y = - 122,45 + 0,64Х₁+ 2,17Х₂– 2,17Х₄

r = 0,991

F = 97,5

219,4

76,1

24,23

129,8

130,90

-1,10

1,2003

223,3

78,1

24,22

136,3

137,76

-1,46

2,1253

223,6

79,8

24,19

139,7

141,70

-2,00

3,9894

227,2

70,9

20,65

134,8

132,43

2,37

5,6191

236,6

82,1

24,75

151

153,83

-2,83

7,9921

236,6

83,2

25,08

154,6

155,49

-0,89

0,7963

248,6

80,8

26,05

160,2

155,91

4,29

18,4012

253,4

81,8

26,42

163,2

160,36

2,84

8,0601

351,4

68,3

27

191,7

192,93

-1,23

1,5104

Сумма

49,69

Получаем R = 49,69 / 5,93 = 8,38, т.к. R больше табличного значения F-критерия 5,05 при 5%-ном уровне значимости для числа степеней свободы 5 для каждой остаточной суммы квадратов ((24 – 6 – 4*2) / 2), то условие Голдфельда-Квандта не выполняется, т.е. не подтверждается гомоскедастичность остатков.

4. Проверим полученную модель на наличие автокорреляции остатков помощью теста Дарбина-Уотсона.

Построим вспомогательную таблицу:

Таблица №8

e_i

e_i-1

(e_i - e_i-1)^2

(e_i)^2

1,790689805

3,20657

1,212351757

1,79069

0,334474898

1,469797

0,405921312

1,212352

0,650330062

0,164772

1,045605195

0,405921

0,40919547

1,09329

0,095870732

1,045605

0,901995551

0,009191

-1,4064696

0,095871

2,257026466

1,978157

-2,27200717

-1,40647

0,749155294

5,162017

-1,84562984

-2,27201

0,18179763

3,40635

-0,77494548

-1,84563

1,146365005

0,60054

-0,23304391

-0,77495

0,293657307

0,054309

1,829073393

-0,23304

4,252327772

3,345509

5,919066869

1,829073

16,72804664

35,03535

-1,1740676

5,919067

50,31255666

1,378435

-1,26067668

-1,17407

0,007501132

1,589306

-0,67087525

-1,26068

0,347865725

0,450074

-4,35852294

-0,67088

13,59874549

18,99672

-1,41641823

-4,35852

8,655980107

2,006241

-2,79134265

-1,41642

1,89041716

7,791594

-1,30987375

-2,79134

2,194750123

1,715769

0,551649133

-1,30987

3,465267431

0,304317

2,84153927

0,551649

5,243596841

8,074345

4,066646367

2,841539

1,500887399

16,53761

3,56552621

4,066646

0,251121412

12,71298

-3,81006694

3,565526

54,39937426

14,51661

СУММА

169,7724358

141,5999

При проверке независимости уровней ряда остатков определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей. Это проверяется с помощью d – критерия Дарбина-Уотсона, в соответствии с которым вычисляется коэффициент d:

.

d = 1,198959

По таблице критических точек распределения Дарбина–Уотсона для заданного уровня значимости , числа наблюдений и количества объясняющих переменных m определить два значения: d_н- нижняя граница и d_в - верхняя граница.

В нашем случае модель содержит 3 объясняющие переменные (m=3), нижняя и верхняя границы равны соответственно d_н = 1,10 и d_в = 1,66.

Расчетное значение d-статистики лежит в интервале 0≤d≤d_н. Следовательно, в ряду остатков существует положительная автокорреляция.

4. Проверим адекватность предположения об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 12 и остальным наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

Для проверки предположения об однородности исходных данных в регрессионном смысле применим тест Чоу.

Разделим совокупность наблюдений на две группы: первые 12 наблюдений и последние 12 наблюдений. Определим по каждой из групп уравнение регрессии и остаточной суммы квадратов.

Таблица №9

Уравнения регрессии

Х₁

Х₂

Х₄

Y

Ŷ

E

E²

Первая группа с первыми 12 месяцами

Y = - 68,82+0,52Х₁ + 0,87Х₂ - 1,08Х₃

117,7

81,6

6,026

72,9

70,17

-2,73

7,4513

123,8

73,2

6,072

67

66,12

-0,88

0,7754

126,9

75,3

6,106

69,7

69,60

-0,10

0,0095

134,1

71,3

6,133

70

69,93

-0,07

0,0052

123,1

77,3

6,164

69,8

69,41

-0,39

0,1501

126,7

76

6,198

69,1

70,21

1,11

1,2213

130,4

76,6

6,238

70,7

72,71

2,01

4,0254

129,3

84,7

7,905

80,1

80,97

0,87

0,7499

145,4

92,4

16,065

105,2

104,90

-0,30

0,0892

163,8

80,3

16,01

102,5

103,97

1,47

2,1539

164,8

82,6

17,88

108,7

108,51

-0,19

0,0362

227,2

70,9

20,65

134,8

134,01

-0,79

0,6218

Сумма

17,29

Вторая группа с оставшимися 12 месяцами

Y = - 180,51+0,48Х₁+ 1,48Х₂ + 3,88Х₃

164

89,9

22,6

116,7

118,64

1,94

3,7566

183,7

81,3

22,86

117,8

116,28

-1,52

2,3051

195,8

83,7

24,18

128,7

130,73

2,03

4,1131

219,4

76,1

24,23

129,8

130,90

1,10

1,2075

209,8

80,4

24,44

133,1

133,52

0,42

0,1723

223,3

78,1

24,22

136,3

135,68

-0,62

0,3783

223,6

79,8

24,19

139,7

138,23

-1,47

2,1529

236,6

82,1

24,75

151

150,01

-0,99

0,9765

236,6

83,2

25,08

154,6

152,92

-1,68

2,8117

248,6

80,8

26,05

160,2

158,85

-1,35

1,8343

253,4

81,8

26,42

163,2

164,05

0,85

0,7252

351,4

68,3

27

191,7

192,99

1,29

1,6589

Сумма

22,09

Таким образом, С₁ = 17,29, С₂ = 22,09.

Остаточная сумма квадратов по кусочно-линейной модели:

С_кл = С₁ + С₂ = 17,29 + 22,09 = 39,38

Соответствующее ей число степеней свободы составит 16

Остаточная сумма квадратов единого уравнения тренда: С = 147,69

Сокращение остаточной дисперсии при переходе от единого уравнения к кусочно-линейной модели можно определить следующим образом:

ΔС = С – С_кл = 147,69 – 39,38 = 108,31

Далее в соответствии с предложенной Г. Чоу методикой определим фактическое значение F-критерия по следующим дисперсиям на одну степень свободы вариации:

F_рас = = = 11,0

Получили F_рас > F_табл = 3,01 значит, гипотеза о структурной стабильности тенденции не принимается, а влияние структурных изменений на динамику Y признаем значимым.

Задача 2.

Модель макроэкономической производственной функции описывается следующим уравнением:

lnY = -3,52 + 1,53lnK + 0,47lnL + ε , R² = 0,875.

(2,43) (0,55) (0,09) F = 237,4

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии.

Задание:

1. Оцените значимость коэффициентов модели по t-критерию Стьюдента и сделайте вывод о целесообразности включения факторов в модель.

2. Запишите уравнение в степенной форме и дайте интерпретацию параметров.

3. Можно ли сказать, что прирост ВНП в большей степени связан с приростом затрат капитала, нежели с приростом затрат труда?

Решение:

1. Коэффициент детерминации =0,875, показывает, что данная модель объясняет 87,5% вариацию ВНП, а необъясненные факторы – 12,5%.

Значимость коэффициентов модели b₀, b₁, b₂ оценим с использованием t-критерия Стьюдента:

t _b0 = -3,52 / 2,43 = -1,45

t _b1 = 1,53 / 0,55 = 2,78

t _b2 = 0,47 / 0,09 = 5,22

Табличное значение t - критерия при 5% уровне значимости составляет 2,16. так как выполняется только для коэффициентов b₁ и b₂ , то коэффициенты модели b₁ и b₂ существенны (значимы).

Таким образом, целесообразно включение в модель обоих факторов (затраты капитала и затраты труда).

2. Запишем уравнение в степенной форме:

Y = е ^-3,52 * К^1,53 * L^0,47 * ε¹

Интерпретация параметров:

b ₁ = 1,53, значит при увеличении только затрат капитала на 1% ВНП в среднем увеличится на 1,5% (1,01^1,53 = 1,015);

b ₂ = 0,47, значит при увеличении только затрат труда на 1% ВНП вырастет в среднем на 0,5% (1,01^,47 = 1,005).

3. Прирост ВНП в большей степени связан с приростом затрат капитала, нежели с приростом затрат труда, это видно из интерпретации параметров.

Задача 3.

Структурная форма модели имеет вид:

где: C_t – совокупное потребление в период t,

Y_t – совокупный доход в период t,

I_t – инвестиции в период t,

Т_t – налоги в период t,

G_t – государственные расходы в период t,

Y_t-1 – совокупный доход в период t-1.

Задание:

1. Проверьте каждое уравнение модели на идентифицируемость, применив необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

2. Запишите приведенную форму модели.

3. Определите метод оценки структурных параметров каждого уравнения.

Решение:

1 уравнения – функция потребления

2 уравнения – функция инвестиций

3 уравнения – функция налога

4 уравнения – тождество дохода

Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое уравнения системы на необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

В модели четыре эндогенные переменные (С_t, I_t, T_t, Y_t) и две предопределенных переменных – одна экзогенная (G_t) и одна лаговая (Y_t-1). Последнее уравнение представляет собой тождество, поэтому практически статистическое решение необходимо только для первых трех уравнений системы, которые необходимо проверить на идентифицируемость.

1. Обозначим через Н число эндогенных переменных в уравнении системы и через D число экзогенных переменных, отсутствующих в уравнении системы.

1 уравнения

С_t = а₁ + b₁₁Y_t + b₁₂T_t + ₁

В рассматриваемой эконометрической модели первое уравнение системы неидентифицируемо, ибо оно содержит Н = 3 и D = 2, и выполняется необходимое условие (D + 1 = Н), однако, не выполняется достаточное условие идентификации, ранг матрицы равен 2 < 3, что видно в следующей таблице:

Уравнения

I_t

G_t

Y_t-1

2

-1

0

b₂₁

3

0

0

0

4

1

1

0

2 уравнения

I_t = а₂ + b₂₁Y_t-1 + ₂

Второе уравнение системы сверхидентифицируемо: Н = 1 и D = 1, т.е. счетное правило выполнено: D + 1 > Н, также выполнено достаточное условие идентификации: ранг матрицы 3 и определитель не равен 0:

Уравнения

С_t

Y_t

Т_t

G_t

1

-1

b₂₁

b₁₂

0

3

0

b₃₁

- 1

0

4

1

0

0

1

3 уравнения

T_t = а₃ + b₃₁Y_t + ₃

Третье уравнение системы также сверхидентифицируемо: Н = 2 и D = 2, т.е. счетное правило выполнено: D + 1 > Н, также выполнено достаточное условие идентификации: ранг матрицы 3 и определитель не равен 0:

Уравнения

С_t

I_t

G_t

Y_t-1

1

-1

0

0

0

2

0

- 1

0

b₂₁

4

1

1

1

0

Таким образом, структурная модель неидентифицируема, поскольку в системе имеются неидентифицируемые уравнения.

2. Запишем приведенную форму модели.

С_t = δ₁ + δ₁₁ G_t + δ₁₂ Y_t-1+ ζ₁

I_t = δ₂ + δ₂₁ G_t + δ₂₂ Y_t-1+ ζ₂

T_t = δ₃ + δ₃₁ G_t + δ₃₂ Y_t-1+ ζ₃

Y_t = δ₄ + δ₄₁ G_t + δ₄₂ Y_t-1+ ζ₄

2. Метод оценки структурных параметров первого уравнения системы – метод максимального правдоподобия, а второго и третьего уравнений системы - двухшаговый метод наименьших квадратов.

Список литературы

1. «Практикум по эконометрике: Учебное пособие», И.И. Елисеева, С.В, Курышева, Н.М. Гордиенко и др.; под ред. И.И. Елисеевой, – М.: Финансы и статистика, 2005;

2. «Эконометрика: учебник», под ред. И.И. Елисеевой, - М.: «Финансы и статистика», 2008;

3. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А., «Эконометрика: начальный курс», - М.: «Дело», 2004;

4. Орлова И.В., «Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL. Практикум: Учебное пособие для вузов», – М.: Финстатинформ, 2006.

«___»_________200_г. ____________________

(подпись студента)