Задача №1

Исходные данные:

№ наблю-дения

Уровень фактора (или тип региона)

Кировская область

Архангельск. область

Республика Карелия

Ленинград. Область

Калинингр. область

Псковская область

Новгород-ская область

1

2,90

3,90

4,90

2,10

6,10

7,00

8,00

2

2,10

5,00

3,50

6,90

10,0

10,00

1,00

3

10,30

2,80

4,00

2,00

15,1

12,10

1,10

4

4,90

8,90

3,00

3,10

5,00

5,90

2,00

5

4,00

4,10

1,90

5,90

5,10

6,10

2,00

6

2,90

4,90

1,20

7,90

6,00

5,10

1,10

7

1,10

1,50

4,10

6,10

5,00

6,10

1,19

8

2,30

3,90

3,00

2,70

6,10

8,90

1,10

9

2,00

1,80

2,90

7,00

3,10

5,00

3,19

10

1,00

3,00

5,90

3,00

2,00

5,91

11

1,00

2,50

2,90

5,20

3,10

4,80

12

1,10

3,90

5,00

13,00

10,90

1,00

13

1,01

4,50

5,00

3,00

5,10

0,19

14

1,91

1,91

2,00

2,10

1,00

1,00

15

1,09

1,10

9,00

3,00

16

1,10

1,10

8,10

2,10

17

2,10

1,90

15,9

2,90

18

2,91

2,10

6,20

1,00

19

2,09

2,20

20

3,90

21

2,90

22

2,10

23

2,50

Решение:

1. Находим сумму квадратов всех наблюдений (Q1), сумму квадратов итогов по столбцам, деленных на число наблюдений в соответствующем столбце (Q2), квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений (Q3).

№

наблю-дения

Квадрат наблюдений

Кировская область

Архан-гельская. область

Республика Карелия

Ленинград. Область

Калинингр. область

Псковская область

Новго-родская область

1

8,41

15,21

24,01

4,41

37,21

49,00

64,00

2

4,41

25,00

12,25

47,61

100,00

100,00

1,00

3

106,90

7,84

16,00

4,00

228,01

146,41

1,21

4

24,01

79,21

9,00

9,61

25,00

34,81

4,00

5

16,00

16,81

3,61

34,81

26,01

37,21

4,00

6

8,41

24,01

1,44

62,41

36,00

26,01

1,21

7

1,21

2,25

16,81

37,21

25,00

37,21

1,41

8

5,29

15,21

9,00

7,29

37,21

79,21

1,21

9

4,00

3,24

8,41

49,00

9,61

25,00

10,17

10

0

1,00

9,00

34,81

9,00

4,00

34,92

11

0

1,00

6,25

8,41

27,04

9,61

23,04

12

0

1,21

15,21

25,00

169,00

118,81

1,00

13

0

1,02

20,25

25,00

9,00

26,01

0,03

14

0

3,64

3,64

4,00

4,41

1,00

1,00

15

0

1,18

0

1,21

0

81,00

9,00

16

0

1,21

0

1,21

0

65,61

4,41

17

0

4,41

0

3,61

0

252,81

8,41

18

0

8,46

0

4,41

0

38,44

1,00

19

0

4,36

0

0

0

0

4,84

20

0

15,21

0

0

0

0

0

21

0

8,41

0

0

0

0

0

22

0

4,41

0

0

0

0

0

23

0

6,25

0

0

0

0

0

Q1-сумма квадратов

2997,78

кол-во наблю-дений

9

23

14

18

14

18

19

115

Q2

19,759

10,893

11,063

20,223

53,036

62,897

9,256

187,127

26,068

2. Вычисляем оценку дисперсии фактора:

3. Вычисляем оценку дисперсии, связанной со случайностью:

4. Рассчитываем значение F-статистики (статистики Фишера):

5. Проверяем значимость фактора (q =0,05; h₁ = K-1; h₂ = N-K)

F = 2,29, так как расчетное меньше табличного, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что связь между сроком окупаемости и типом региона не существенна.

6. Строим диаграмму средних значений сроков окупаемости для всех рассматриваемых регионов.

Средние сроки окупаемости:

Показатель

Кировская область

Архангельск. область

Республика Карелия

Ленинград. Область

Калинингр. область

Псковская область

Новго-родская область

Ср.срок окупаемости

3,54

2,76

3,17

3,93

6,27

7,08

2,36

Согласно таблицы и диаграммы самый маленький срок окупаемости инвестиционных проектов сложился в Новгородской области, следовательно, данная область является приоритетной.

Задача 2

Исходные данные:

Моменты времени (дни)

0

20

40

60

80

100

120

-60

-40

-20

0

20

40

60

Расчет для варианта(убрать)

340+510

400+59

440+610

430+69

520+79

570+710

550+89

У-физ.объем товарооборота (шт.)

850

459

1050

499

599

1280

639

Решение.

1. Изобразить данные графически.

2. Составить уравнение линейной регрессии.

3. Для расчета параметров уравнения регрессии (y_t = a₀ + a₁t) составляем вспомогательную таблицу:

Моменты времени (дни)

У-физ.объем товарооборота (шт.)

t

t^2

y*t

Урасч.

У^2

0

850

-60

3600

-51000

708,24

722500

20

459

-40

1600

-18360

728,16

210681

40

1050

-20

400

-21000

748,08

1102500

60

499

0

0

0

768

2493001

80

599

20

400

11980

787,92

358801

100

1280

40

1600

51200

807,84

1638400

120

639

60

3600

38340

827,76

408321

∑

5376

0

11200

11160

5376

6934204

Для нахождения a₀ и a₁ составляем систему уравнений:

∑у =n*a₀ + a₁ ∑t

∑уt =a₀ ∑t + a₁ ∑t²

Так как при t =60мин = 0, ∑t=0, система принимает вид:

5376 =7*a₀

11160 = a₁ *11200

Откуда:

a₀ = 768 и a₁ = 0,996

Уравнение регрессии имеет вид:

y_t = 768 + 0,996 t

Задача 3

Исходные данные:

Год

1

2

3

4

5

6

7

8

231+8

171+10

291+8

309+10

317+28

362+210

351+8+10

361+10+8

Спрос

239

181

299

319

345

572

369

379

Решение

1. Находим среднее значение, среднее квадратичное отклонение, коэффициенты автокорреляции (для лагов τ=1;2) и частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка.

2. - среднее значение:

- среднее квадратическое отклонение:

Год

1

2

3

4

5

6

7

8

У

239

181

299

319

345

572

369

379

У-Уср

239

181

299

319

345

572

369

379

(У-Уср)^2

57121

32761

89401

101761

119025

327184

136161

143641

∑(У-Уср)^2

1007055

• Найдем коэффициент автокорреляции r(τ) временного ряда (для лага τ=1), т.е. коэф-т корреляции между последовательностями семи пар наблюдений:

Год

1

2

3

4

5

6

7

Уt

239

181

299

319

345

572

369

Уt+ τ

181

299

319

345

572

369

379

Вычисляем необходимые суммы:

∑ Уt = 239+181+…+369 =2319

∑ Уt² = 239² + 181² + … + 369² = 860449

∑ Уt+ τ = 181+ 299+ … +379 = 2464

∑ У² t+ τ = 181² +299² + … +379² =949934

∑ Уt *Уt+ τ = 239*181 + 181*299 + … + 369*3729=851073

Находим коэффициент автокорреляции:

• Найдем коэффициент автокорреляции r(τ) временного ряда (для лага τ=2), т.е. коэф-т корреляции между последовательностями шести пар наблюдений:

Год

1

2

3

4

5

6

Уt

239

181

299

319

345

572

Уt+ τ

299

319

345

572

369

379

Вычисляем необходимые суммы:

∑ Уt = 239+181+…+572 =1955

∑ Уt² = 239² + 181² + … + 572² = 727253

∑ Уt+ τ = 299+ 319+ … +379 = 2283

∑ У² t+ τ = 299² +319² + … +379² =917173

∑ Уt *Уt+ τ = 239*299 + 181*319 + … + 572*379 =758916

Находим коэффициент автокорреляции:

Для определения частного коэффициента корреляции 1-го порядка найдем коэффициент автокорреляции между членами ряда У_е+1 и У_е+2:

Год

1

2

3

4

5

6

Уt+ 1

181

299

319

345

572

369

Уt+ 2

299

319

345

572

369

379

Вычисляем необходимые суммы:

∑ Уt+1= 181+299+…+369 =2080

∑ У²t +1= 181² + 299² + … + 369² = 806293

∑ Уt+ 2 = 299+ 319+ … +379 = 2283

∑ У² t+ 2 = 299² +319² + … +379² =917173

∑ Уt+1 *Уt+ 2 = 181*299 + 299*319 + … + 369*379 =807814

Находим коэффициент автокорреляции:

- Найдем частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка:

3. Найти уравнение неслучайной составляющей (тренда) для временного ряда, полагая тренд линейным.

4. Находим коэффициенты для системы нормальных уравнений:

Система нормальных уравнений имеет вид:

8b₀ + 36b₁ = 2703

36b₀ + 204b₁ = 13546

Отсюда находим b₀ = 189,068;b₁ =33,068

Уравнение тренда:

Y_t = 189,068+33,068t

То есть спрос ежегодно увеличивается в среднем на 33.068 ед.

5. Провести сглаживание временного ряда методом скользящих средних, используя простую среднюю арифметическую с интервалом сглаживания m = 3 года.

6. у₂ = 1/3 (у₁ + у₂ + у₃) = 1/3 (239+181+299)=239,7

7. у₃ = 1/3 (у₂ + у₃ + у₄) = 1/3 (181+299+319)=266,3

У₄ =1/3(у₃+ у₄+ у₅)=1/3(299+572+345)=405.3

У₅ =1/3(y₄+y₅+y₆)=1/3(319+345+572)=412

У₆=1/3(у₅ + у₆ + у₇₎=1/3(345+572+369)=428,7

У₇=1/3(у₆ + у₇ + у₈₎=1/3(572+369+379)=440

В результате получим сглаженный ряд:

Год

1

2

3

4

5

6

7

8

Уt

-

239,7

266,3

405,3

412,0

428,7

440,0

-

8. Дать точечную и с надежностью 0,95 интервальную оценки прогноза среднего и индивидуального значений спроса на некоторый товар в момент времени t=взятый год. (Полагаем, что тренд линейный, а возмущения удовлетворяют требованиям классической модели).

По полученному выше уравнению регрессии Y_t = 189,068 + 33,068t оценим условное математическое ожидание. Оценкой у(9) является групповая средняя:

У_t=9 = 189,068 + 33,068*9 =486,68(ед)

Составим вспомогательную таблицу для оценки дисперсии.

Год

У

Уt

еt = У-Уt

et-1

et *et-1

et ^2

1

239

222,1

16,9

0,0

0,0

285,6

2

181

252,2

-74,2

16,9

-1253,98

5505,6

3

299

288,3

10,7

-74,2

-793,94

114,5

4

319

321,3

2,3

10,7

24,6

5,3

5

345

354,4

-9,4

2,3

-21,62

88,4

6

572

387,5

184,5

-9,4

-1734,3

34040,3

7

269

420,5

-51,5

184,5

-9501,8

2652,3

8

379

453,6

-74,6

-51,5

384,19

5565,2

9439,02

48257,2

Вычислим оценку s² дисперсии ^

Вычислим оценку дисперсии групповой средней:

Значение t_0.95;6 = 2,45, критерий Стьюдента. Теперь находим интервальную оценку прогноза среднего значения спроса:

486,68 – 2,45*69,76 ≤у(9)≤ 486,68+2,45*69,76

Или

315,77≤у(9)≤ 657,59

Для нахождения интервальной оценки прогноза индивидуального значения вычислим дисперсию его оценки:

Теперь находим интервальную оценку:

486,68-2,45*113,69 ≤ у^* (9) ≤ 486,68+2,45*113,69

Или

208,14 ≤ у^* (9) ≤ 765,22

Вывод:

Следовательно, с надежностью 0,95 среднее значение спроса на товар на 9-й год будет заключено от 315,77 до 657,59 (ед.), а его индивидуальное значение – от 208,14до 765,22 (ед.)