Рынок вторичного жилья

Исходные данные о продаже квартир на вторичном рынке жилья

№ п/п

x₁

x₂

Задание

22.5

18.5

13.2

25.8

14.5

19.5

14.2

13.3

16.1

13.516

29.5

30.8

y – цена квартиры (тыс.$);

x₁ – жилая площадь(кв. м);

x₂ – время пути до метро (мин).

По имеющимся статистическим данным

отдельно для пар (у,х₁) и (у,х₂) найти:

а) уравнение линейной регрессии;

б) коэффициент корреляции;

в) среднюю величину у при х₁=35 (х₂=12);

г) 95% доверительные интервалы для

индивидуального и среднего значения у;

д) с надежностью 0.95 интервальные оценки коэффициента регрессии ₁и дисперсии ²;

е) коэффициент детерминации.

Оценить на уровне 0.05 значимость

уравнения регрессии.

Сделать анализ полученных результатов.

Табличные значения стандартных функций распределения:

t_0.05,14 = 2.145 F_0.05,1,14= 4.6

²_0.025,14=26.1 ²_0.975,14=5.63

1. Парная регрессия y на x₁.

а) Найти уравнение линейной регрессии для x₁.

№ п/п

y_i

x_i

y²

x²

x * y

x_i–

(x_i –)²

22,5

506,25

841

652,5

-3,3

10,89

676

1225

910

2,7

7,29

18,5

342,25

784

518

-4,3

18,49

13,2

174,24

900

396

-2,3

5,29

25,8

665,64

2601

1315,8

18,7

349,69

289

1444

646

5,7

32,49

324

900

540

2,3

5,29

441

1024

672

-0,3

0,09

14,5

210,25

729

391,5

-5,3

28,09

529

1521

897

6,7

44,89

19,5

29,5

380,25

870,25

575,25

-2,8

7,84

14,2

201,64

841

411,8

-3,3

10,89

13,3

176,89

900

399

-2,3

5,29

16,1

30,8

259,21

948,64

495,88

-1,5

2,25

13,5

182,25

784

378

-4,3

18,49

256

961

496

-1,3

1,69

Сумма

292,1

517,3

5613,87

17273,89

9694,73

548,95

Средняя

18,2

32,3

350,9

1079,6

605,9

34,3

Таким образом, выборочные средние значения = 32,3; = 18,2; = 605,9;

выборочная дисперсия = 34,3;

выборочная ковариация cov(x,y) = = 605,9-32,3*18,2 = 18,04;

Коэффициенты регрессии b₁== = 0,53

= 18,2 – 0,53*32,3 = 1,08

При увеличении жилой площади на 1 кв.м цена квартиры в среднем возрастает на 0,53 тыс.$.

Уравнение регрессии = 1,08 + 0,53 * x.

б) рассчитать коэффициент корреляции

Между величиной жилой площади квартиры и ценной квартиры наблюдается умеренная положительная зависимость.

в) определить среднюю величину y при x₁=35.

Средняя цена квартиры при жилой площади 35 кв.м составляет 19.63 тыс.$. Промежуточные вычисления для последующих расчетов проводим в таблице.

№ п/п

y_i

x_i

22,5

16.45

6.05

36.60

4.3

18.49

19.63

6.37

40.58

7.8

60.84

18,5

15.92

2.58

6.66

0.3

0.09

13,2

16.98

-3.78

14.29

-5.0

25.00

25,8

28.11

-2.31

5.34

7.6

57.76

21.22

-4.22

17.81

-1.2

1.44

16.98

1.02

1.04

-0.2

0.04

18.04

2.96

8.76

2.8

7.84

14,5

15.39

-0.89

0.79

-3.7

13.69

21.75

1.25

1.56

4.8

23.04

19,5

29,5

16.72

2.78

7.73

1.3

1.69

14,2

16.45

-2.25

5.06

-4.0

16.00

13,3

16.98

-3.68

13.54

-4.9

24.01

16,1

30,8

17.40

-1.30

1.69

-2.1

4.41

13,5

15.92

-2.42

5.86

-4.7

22.09

17.51

-1.51

2.28

-2.2

4.84

Сумма

292,1

517,3

169.59

281.27

Средняя

18,2

32,3

17.58

г) найти 95% доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения y.

С учетом значений из обеих таблиц:

Остаточная дисперсия

Дисперсия среднего значения

= 0.920

Стандартное отклонение

Дисперсия индивидуального значения y₀

Стандартное отклонение y₀

Для доверительной вероятности =0,95 уровень значимости  = 1- = 0,05.

Табличное значение t-распределения Стьюдента для уровня значимости  = 0,05 и числа степеней свободы k = n-2 =16-2 =14 составляет t_0.05,8 = 2,31.

Доверительный интервал для среднего значения

19.63 – 2.1450.96  y  19.63 + 2.1450.96

17.57 y  21.69

Доверительный интервал для индивидуального значения

19.63 – 2.1453.61  y₀  19.63 + 2.1453.61

11.89  y₀  27.37

С учетом возможных ошибок средняя цена квартиры с площадью 35 кв.м с вероятностью 95% лежит в пределах от 17,57 до 21,69 тыс.$; при этом отдельно цена квартиры колебаться от 11,89 до 27,37 тыс.$.

д) с надежностью 0,95 найти интервальные оценки коэффициента регрессии ₁ и дисперсии возмущений ².

Дисперсия коэффициента регрессии == 0.022

Стандартное отклонение

Доверительный интервал для коэффициента регрессии ₁

0.53–2.1450.148  ₁  0.53+ 2.1450.148

0.21  ₁  0.85

С надежностью 0,95 увеличение площади квартиры на 1 кв.м приводит к увеличению цены квартиры на величину от 0,21 до 0,85 тыс.$.

Табличные значения распределения ²Пирсона для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы 14 составляют

;

Доверительный интервал дисперсии возмущений

7,42  ²  34,42

Интервал для стандартного отклонения 2,72    5,87.

С надежностью 0,95 дисперсия ошибок расчета находится в пределах от 7,42 до 34,42, а стандартное отклонение цены квартиры от среднего значения лежит в пределах от 2,72 до 5,87.

Оценить на уровне 0,05 значимость уравнения регрессии.

Общая сумма квадратов отклонений y = 281,27

Остаточная сумма квадратов = 169,59

Сумма квадратов, объясненная регрессией = 281,27–169,59 = 111,68

Величина F-критерия

= 9,23,

где m – число параметров (коэффициентов), рассчитанных по уравнению регрессии m=2.

Табличное значение F-распределения Фишера для уровня значимости =0,05 и числа степеней свободы k1=n-m=14 и k2=m-1=1 составляет F_0,05,1,14=4,6.

Так как расчетное значение F-критерия больше табличного критического, то уравнение регрессии y по x₁ следует признать значимым, т.е. заслуживающим доверия.

Определим коэффициент детерминации.

0,40

Вариация зависимой переменной (цены квартиры) на 40% определяется фактором x –площадью квартиры.

2. Парная регрессия y на x₂.

а) Найти уравнение линейной регрессии для x₂.

№ п/п

y_i

x_i

y²

x²

x * y

x_i–

(x_i –)²

22,5

506,25

225

337,5

1,9

3,61

676

100

260

-3,1

9,61

18,5

342,25

100

185

-3,1

9,61

13,2

174,24

625

330

11,9

141,61

25,8

665,64

100

258

-3,1

9,61

289

144

204

-1,1

1,21

324

225

270

1,9

3,61

441

400

420

6,9

47,61

14,5

210,25

100

145

1,9

3,61

529

115

-8,1

65,61

19,5

380,25

225

292,5

1,9

3,61

14,2

201,64

144

170,4

-1,1

1,21

13,3

176,89

66,5

-8,1

65,61

16,1

259,21

100

161

-3,1

9,61

13,5

182,25

625

337,5

11,9

141,61

256

100

160

-3,1

9,61

Сумма

292,1

209

5613,87

3263

3712,4

526,96

Средняя

18,2

13,1

350,9

203,94

232,025

32,9

Таким образом, выборочные средние значения = 13,1; = 18,2; = 232,025;

выборочная дисперсия = 32,9;

выборочная ковариация cov(x,y) = = 232,025-13,1*18,2 = -6,4;

Коэффициенты регрессии b₁== = -0,19

= 18,2 – (-0,19)*13,1 = 20,7

При увеличении времени пути до метро на 1 мин. цена квартиры в среднем снижается на 0,19 тыс.$.

Уравнение регрессии = 20,7 – 0,19 * x.

б) рассчитать коэффициент корреляции

Между временем пути до метро от квартиры и ценной квартиры наблюдается слабая отрицательная зависимость.

в) определить среднюю величину y при x₂=12.

Средняя цена квартиры при времени пути до метро 12 минут составляет 19.63 тыс.$.

Промежуточные вычисления для последующих расчетов проводим в таблице

№ п/п

y_i

x_i

22,5

17,85

4,65

21,62

4.3

18.49

18,80

7,2

51,84

7.8

60.84

18,5

18,80

-0,3

0,09

0.3

0.09

13,2

15,95

-2,75

7,56

-5.0

25.00

25,8

18,80

7,0

49,0

7.6

57.76

18,42

-1,42

2,02

-1.2

1.44

17,85

0,15

0,02

-0.2

0.04

16,90

4,1

16,81

2.8

7.84

14,5

18,80

-4,3

18,49

-3.7

13.69

19,75

3,25

10,56

4.8

23.04

19,5

17,85

1,65

2,72

1.3

1.69

14,2

18,42

-4,22

17,81

-4.0

16.00

13,3

19,75

-6,45

41,60

-4.9

24.01

16,1

18,80

-2,7

7,29

-2.1

4.41

13,5

15,95

-2,45

6,003

-4.7

22.09

18,80

-2,8

7,84

-2.2

4.84

Сумма

292,1

209

261,27

281.27

Средняя

18,2

13,1

17.58

г) найти 95% доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения y.

С учетом значений из обеих таблиц:

Остаточная дисперсия

Дисперсия среднего значения

= 1,21

Стандартное отклонение

Дисперсия индивидуального значения y₀

Стандартное отклонение y₀

Для доверительной вероятности =0,95 уровень значимости  = 1- = 0,05.

Доверительный интервал для среднего значения

18,42 – 2,1451,1  y  18,42 + 2,1451,1

16,06 y  20,78

Доверительный интервал для индивидуального значения

18,42 – 2,1454,46  y₀  18,42 + 2,1454,46

8,85  y₀  27,99

С учетом возможных ошибок средняя цена квартиры с временем пути до метро 12 минут с вероятностью 95% лежит в пределах от 16,06 до 20,78 тыс.$; при этом отдельно цена квартиры колебаться от 8,85 до 27,99 тыс.$.

д) с надежностью 0,95 найти интервальные оценки коэффициента регрессии ₁ и дисперсии возмущений ².

Дисперсия коэффициента регрессии == 0.035

Стандартное отклонение

Доверительный интервал для коэффициента регрессии ₁

-0,19–2,1450,187  ₁  -0,19 + 2,1450,187

0,59 ₁  0,21

С надежностью 0,95 увеличение времени пути до метро на 1 минуту приводит к увеличению цены квартиры на величину от – 0,59 до 0,21 тыс.$.

Табличные значения распределения ²Пирсона для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы 14 составляют

;

Доверительный интервал дисперсии возмущений

11,44  ²  53,03

Интервал для стандартного отклонения 3,38    7,28.

С надежностью 0,95 дисперсия ошибок расчета находится в пределах от 11,44 до 53,03, а стандартное отклонение цены квартиры от среднего значения лежит в пределах от 3,38 до 7,28.

Оценить на уровне 0,05 значимость уравнения регрессии.

Общая сумма квадратов отклонений y = 281,27

Остаточная сумма квадратов = 261,27

Сумма квадратов, объясненная регрессией = 281,27–261,27 = 20

Величина F-критерия

= 1,07,

где m – число параметров (коэффициентов), рассчитанных по уравнению регрессии m=2.