Контрольная работа

По эконометрики

Обзор корреляционного поля

Эти данные скорее всего можно аппроксимировать при помощи линейной регрессии вида ŷ = а - b·x, как самой простой.

Рассчитаем необходимые суммы и запишем их в таблице № 1:

Таблица №1:

i

x

y

x²

y²

x·y

ŷ

e

e²

A(%)

1

2,5

69

6,25

4761

172,5

66,40

2,60

6,75

3,76

2

3

65

9

4225

195

64,85

0,15

0,02

0,23

3

3,4

63

11,56

3969

214,2

63,61

-0,61

0,37

0,97

4

4,1

59

16,81

3481

241,9

61,44

-2,44

5,94

4,13

5

5

57

25

3249

285

58,65

-1,65

2,71

2,89

6

6,3

55

39,69

3025

346,5

54,61

0,39

0,15

0,70

7

7

54

49

2916

378

52,44

1,56

2,43

2,89

Сумма:

31,3

422

157,31

25626

1833,1

422,00

0,00

18,38

15,57

Среднее:

4,471

60,286

22,473

3660,857

261,871

-

-

-

2,22%

Ковариация между y и x рассчитывается по формуле , где , , . Дисперсия и среднее квадратическое отклонение для x и y находим по формулам:

= 2,479, = 26,490, 1,575, 5,147.

= -7,692 / 2,479 = -3,103; = 60,286 + 3,103 · 4,471 = 74,159

Получили уравнение регрессии: ŷ = 74,159 - 3,103·х (округлено до сотых).

Оцениваем качество полученной линейной модели:

а) TSS = 25624 - (31,3²) : 7 = 185,492; RSS = TSS - ESS = 185,429 - 18,38 = 176,051, где ESS = = 18,38 (в таблице №1); F - статистика = RSS · (n - m - 1) : ESS = 176,051 · ·5 :18,38 = 45,45.

Табличное значение на 1% уровне значимости равно 16,26 (см. таблицу распределения Фишера - Снедекора). Фактическое значение F - статистики больше табличного на 1% уровне значимости, следовательно уравнение регрессии в целом значимо и на 5% уровне значимости.

б) Средняя ошибка аппроксимации равна (ΣА)/7 = ((ΣIy-ŷI: y) · 100%) / 7 = 15,57 / 7 = =2,22%, что говорит о хорошей аппроксимации зависимости моделью (2,22% < 6%).

Вывод: модель получилась приемлемая (в смысле аппроксимации).

в) Коэффициент корреляции находим по формуле: = -0,949: сильная обратная линейная зависимость.

г) Коэффициент детерминации находим следующим образом: = 0,901 или вариация x определяет вариацию y на 90,1%.

Проверка на соответствие условиям теоремы Гаусса - Маркова

а) По таблице №2 рассчитаем статистику Дарбина - Уотсона:

Таблица №2

i

e²

e

e_i-1

(e_i-e_i-1)²

=16,050 : 18,38 = 0,8734.

1

6,75

2,60

-

-

2

0,02

0,15

2,598

5,996

3

0,37

-0,61

0,149

0,576

4

5,94

-2,44

-0,610

3,342

5

2,71

-1,65

-2,438

0,628

6

0,15

0,39

-1,646

4,134

7

2,43

1,56

0,388

1,373

Итого:

18,38

-

-1,559

16,050

Полученное значение попадает в область неопределённости: DW (0,7; 1,35). Это значит, что для прояснения вопроса относительно автокорреляции остатков необходимо дальнейшее исследование ряда остатков другими методами, в которых отсутствует зона неопределённости.

б) Воспользуемся тестом серий Бройша - Годфри:

Таблица №3

t

e_t

e_t-1

e²_t-1

e_t·e_t-1

ê_t

(y-bx)²

1

2,598

0,149

0,022

0,387

0,074

6,371

2

0,149

-0,610

0,372

-0,091

-0,302

0,204

3

-0,610

-2,438

5,944

1,487

-1,208

0,358

4

-2,438

-1,646

2,709

4,013

-0,816

2,632

5

-1,646

0,388

0,151

-0,639

0,192

3,379

6

0,388

1,559

2,430

0,605

0,773

0,148

Итого:

-1,559

-2,598

11,628

5,763

-1,287

13,092

На основании полученных данных построим уравнение регрессии без свободного члена вида ŷ=b·x. При этом стандартная ошибка коэффициента регрессии b, рассчитанная по формуле:

,

, = 1,181,

что меньше значения t _табл. =2,57. Это означает, что автокорреляция первого уровня отсутствует.

Однако следует отметить, что и тест Дарбина - Уотсона и тест серий Бройша - Годфри применяются только для выборок достаточно большого размера¹, в то время как предложенная нам для анализа выборка состоит только лишь из семи значений.

в) При помощи критерия серий проверим случайность распределения уровней ряда остатков. С 95% вероятностью распределение ряда остатков считается случайным, если одновременно выполняются два неравенства:

1)

общее число серий должно быть больше двух, и 2) - максимальная длина серии должна быть строго меньше пяти.

Данные для расчётов получаем из таблицы № 4.

Таблица № 4. Критерий серий линейная модель не проходит:

e_i

e_i - e_i-1

серии

Число серий = 2, Продолжительность самой длинной серии

равна 3.

2 = = [2.079] = 2. (не выполняется),

хотя 3 < 5. Значит уровни распределены не случайно.

0,149

-2,449

+

-0,610

-0,759

+

-2,438

-1,828

+

-1,646

0,792

-

0,388

2,033

-

1,559

1,172

-

г) Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверяем, используем RS-критерий:

= 2,63, где .

Значение нашего RS-критерия для 7 наблюдений практически попадает в интервал [2,67 3,69], (для 10 наблюдений) хотя и этот критерий определён для выборок более 10 единиц.

д) При помощи теста ранговой корреляции Спирмена определяем отсутствие или наличие гетероскедастичности.

Таблица № 5.

Ранг Х

Х

I e_i I

Ранг е_i

D_i

D²_i

Коэффициент ранговой кореляции определяется по формуле:

1

2,5

2,60

7

-6

36

2

3

0,15

4

-2

4

3

3,4

0,61

3

0

0

4

4,1

2,44

1

3

9

5

5

1,65

2

3

9

6

6,3

0,39

5

1

1

7

7

1,56

6

1

1

Так как абсолютное значение статистики коэффициента ранговой корелляции =0,175 оказалась значительно меньше табличного значения , то гетероскедастичность отсутствует.

Вывод: линейная модель не соответствует всем предпосылкам регрессионного анализа (условиям теоремы Гаусса-Маркова) и, хотя она пригодна для прогнозирования, но возникает вопрос о её значимости.

Доверительные интервалы для параметра b регрессии

Стандартные ошибки для параметров регрессии находим по формулам:

= 0,46,

= 2,18.

Проверим на статистическую значимость коэффициент b модели, для чего рассчитаем t-статистику по формуле . Полученная t-статистика равна -6,742, что по модулю больше табличного значения t = 2,57. Экономически этот параметр интерпретируется так: при изменении дохода потребителей на одну единицу объёмы продаж изменятся на -3,103 ед.

Проверим на статистическую значимость коэффициент a модели, для чего рассчитаем t-статистику по формуле . Полученная t-статистика равна 33,992, что больше табличного значения t = 2,57. Доверительный интервал параметра b определяем по формуле:

;

s = = 1,917,

Доверительный интервал параметра b составляет ; или ( t_табл. = 2.57, Δ = 2,57 · 0,4602 = 1,1827).

Проведённый анализ коэффициентов регрессии говорит о том, что параметры регрессии значимы, кроме того и уравнение регрессии в целом значимо на 1% уровне значимости (cм. выше). Это позволяет использовать построенную нами модель для получения прогнозов.

Точечный и интервальный прогнозы

Вначале находим точечный прогноз для значения х, на 25% превышающего среднее значение = 4,47 ( т.е. при = 5,589), . Тогда стандартная ошибка прогноза составит:

,

t_табл. = 2.57, Δ = 2,57 · 2,18 = 5,604.

Интервальный прогноз для точечного прогноза при = 5,589 () составит: или .

1^ Кристофер Доугерти. Введение в эконометрику. М.: Инфра М, 2001. С. 238.