Примеры решения эконометрических заданий

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЛИАЛ В Г. ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОМ

Специальность «Финансы и кредит»

Контрольная работа по эконометрике

Вариант № 14

Железнодорожный 2009

Задание 1.2

Задача 1.

Найти среднее число государственных вузов, если статистические данные таковы:

Годы

1994

1995

1996

1997

1998

Кол-во ВУЗов

548

553

569

573

578

Найти: х - ?

Решение:

Определим кол-во наблюдений: n = 5
Запишем формулу:

х = 1 / n Σ ⁿ_i_{= 1} * x _i

x = (1*( 548 + 553 + 569 + 573 + 578)) / 5 = 2821 / 5 = 564,2

Ответ: 564,2

Задача 2.

Рассчитать ковариацию между 2-мя рядами:

Поголовье КРС (млн.т)

54,7

52,2

48,9

43,3

39,7

35,1

Пр-во молока (тыс.т)

1,49

1,38

1,29

1,1

0,99

0,9

0,88

Найти: Cov - ?

Решение:

Определим кол-во наблюдений: n = 7
Определим выборочное среднее для скота:

х = (1 * (57 + 54,7 + 52,2 + 48,9 + 43,3 + 39,7 + 35,1)) / 7 = 330,9 / 7 = 47,271

Определим выборочное среднее для молока:

y = (1 *(1,49 +1,38 + 1,29 + 1,1 + 0,99 + 0,9 + 0,88 ))/ 7 = 8,03 / 7 = 1,147

Запишем формулу для определения ковариации:

Cov (x;y) = 1/n Σ ⁿ_{i = 1} (x_i - x)(y_i - y)

Вычислим ковариацию:

Cov (x;y) = [1*((57-47,271)*(1,49-1,147)+(54,7-47,271)*(1,38-1,147)+ (52,2-47,271)*(1,29-1,147)+(48,9-47,271)*(1,1-1,147)+(43,3-47,271)*(0,99-1,147) + (39,7-47,271)*(0,9-1,147)+(35,1-47,271)*(0,88-1,147)) ]/7 = 11,439/7 = 1,634

Ответ: 1,634

Задача 3.

Определить выборочную дисперсию для ряда данных о потребление мяса (в кг на душу населения в год).

Найти: Var - ?

Решение:

Определим кол-во наблюдений: n = 7
Определим выборочное среднее:

х = (1*(69+60+69+57+55+51+50))/7 = 411/7 = 58,714

Запишем формулу для определения вариации:

Var (x) = 1/n Σ ⁿ_{i = 1} (x_i - x)²

Определим вариацию:

Var = (1*(69-58,714)^2+(60-58,714)^2+(69-58,714)^2+(57-58,714)^2+(55-58,714)^2+(51-58,714)^2+(50-58,714)^2)/7 = 365,429/7 = 52,204

Ответ: 52,204

Задача 4.

Оценить параметры предполагаемой линейной зависимости объемов производства мяса по поголовью скота, если:

х (производство мяса) = 6,8

y (поголовье скота) = 47,3

Cov = 11,2

Var = 56,9

Оценить параметры

Решение:

b = Cov (x;y)/Var (x)

b = 11,2/56,9

b = 0,196

a = y – bx

a = 47,3 – 0,196 * 6,8

a = 45,968

y = 45,968 + 0,196x

Задание 5.

Определить остаток в 1-ом наблюдение, если уравнение регрессии имеет вид:

y = 0,20x – 2,24

54,7

52,2

48,9

43,3

39,7

35,1

8,37

8,26

7,51

6,8

5,79

5,33

4,85

Найти: g₁= ?

Решение:

Выбор № наблюдений: i = 1
х_i= 57
y_i= 8,37
Вычислим :

y*= 0,20x – 2,24

y*= 0,20x ₁– 2,24

y*= 0,20*57 – 2,24

y*= 9,16

Определим остаток в 1-ом наблюдение:

g _i= y_i- x_i

g₁= 8,37 – 9,16

g ₁ = - 0,79

Ответ: - 0,79

Задача 6.

Для рядов 1,2 уравнения регрессии y = 0,20 – 2,24 (задача 5), найти необъясненную сумму квадратов отклонений.

54,7

52,2

48,9

43,3

39,7

35,1

8,37

8,26

7,51

6,8

5,79

5,33

4,85

Найти: RSS = ?

Решение:

Определим число наблюдений: n = 7
Вычислим: y_i = a + bx_i , получим

y₁^*= 0,20*57 – 2,24, y₁^*= 9,16

y₂^*= 0,20*54,7 – 2,24, y₂^*= 8,7

Определим остатки:

g₁= 8,37 – 9,16, g₁ = - 0,79

g₂= 8,26 – 8,7, g₂ = - 0,44

Определим RSS для 1 и 2 ряда:

RSS = Σⁿ_{i =1} g _i²

RSS = (- 0,79)² + (-0,44)²

RSS = 775, 2592

Ответ: 0,8177

Задача 7.

Определить объясненную сумму квадратов отклонений для рядов и уравнения регрессии y = 0,20 – 2,24 (задача 5).

54,7

52,2

48,9

43,3

39,7

35,1

8,37

8,26

7,51

6,8

5,79

5,33

4,85

Найти: ESS = ?

Решение:

Определим число наблюдений: n = 7
Вычислим: y_i = a + bx_i , получим

y₁= 0,20*57 – 2,24, y₁= 9,16

y₂= 0,20*54,7 – 2,24, y₂= 8,7

y₃= 0,20*52,2 – 2,24, y₃= 8,2

y₄= 0,20*48,9 – 2,24, y₄= 7,54

y₅= 0,20*43,3 – 2,24, y₅= 6,42

y₆= 0,20*39,7 – 2,24, y₆= 5,7

y₇= 0,20*35,1 – 2,24, y₇= 4,78

Определим выборочное среднее y = 1 / n Σ ⁿ_i_{= 1} * y _i получим:

y = (1 *(9,16+8,7+8,2+7,54+6,42+5,7+4,78))/ 7

y = 7,214

Вычислим ESS:

ESS = Σ_{i = 1}ⁿ ( y_i^* - y_i)²

ESS = (9,16 – 7,214)²+(8,7 – 7,214)²+(8,2 – 7,214)²+(7,54 – 7,214)²+(6,42 – 7,214)²+(5,7 – 7,214)²+(4,78 – 7,214)²

ESS = 15,921

Ответ: 15,921

Задача 8.

В задачах 6 и 7 рассчитаны RSS и ESS. Определить TSS и проверить выполнение соотношения между этими 3-мя характеристиками.

RSS = 0,8177

ESS = 15,921

Решение:

Рассчитаем общую сумму квадратов отклонений:

TSS = Σ_{i = 1}ⁿ ( y_i - y)²

TSS = 12,016

у_i

8,37

8,26

7,51

6,8

5,79

5,33

4,85

Σ = 46,91

Σ/n = 6,701

( y_i - y)²

2,784

2,429

0,654

0,010

0,831

1,881

3,428

Σ = 12,016

Проверим:

TSS = ESS + RSS

TSS = 15,921 + 0,8177

TSS = 16,7387

16,7387 ≠ 12,016 – несовпадение значений.

Задача 9.

Для рассчитанного уравнения регрессии определена ESS = 15,37/ Найти коэффициент детерминации, если TSS = 16,21.

Найти: R² = ?

Решение:

Определим коэффициент детерминации:

R² = ESS/TSS

R² = 15,37/16,21

R² = 0,948

Ответ: 0,948

Задача 10

Определить выборочную корреляцию между 2-мя величинами, если ковариация составляет 11,17, вариация первого ряда составляет 59,86 , а второго 2,32.

Cov (x,y) = 11,17

Var (x) = 59,86

Var (y) = 2,32

Найти: Z_xy - ?

Решение:

Запишем формулу для определения выборочной корреляции:

Z_xy = Cov²(x,y)/ √ Var(x) * Var(y)

Вычислим выборочную корреляцию:

Z_xy = (11,17)²/ √ 59,86*2,32

Z_xy= 124,769/11,785

Z_xy = 10,588

Ответ: 10,588

Задание 2.2

Задача 1.

Производство х1

30,8

34,3

38,3

37,7

33,8

39,9

38,7

37,0

31,4

Импорт х2

1,1

1,2

0,4

0,2

0,1

0,2

0,33

Потребление у

15,7

16,7

17,5

18,8

18,0

18,3

18,5

19,1

18,0

Найти: Var = ? и парную Cov = ?

Решение:

Определим число наблюдений: n = 9
Найдем выборочное среднее для рядов: х = 1 / n Σ ⁿ_i_{= 1} * x _i

х₁= (1*(30,8 + 34,3 + 38,3 + 37,7 + 33,8 + 39,9 + 38,7 + 37,0 + 31,4)) / 9

х₁= 35,767

х₂= (1*(1,1 + 1,2 + 0,4 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,2 + 0,33)) / 9

х₂= 0,414

у = (1*(15,7 + 16,7 + 17,5 + 18,8 + 18,0 + 18,3 + 18,5 + 19,1 + 18,0)) / 9

у= 17,844

Рассчитаем Var для рядов: Var = 1 / n Σ ⁿ_i_{= 1} * ( x _i – x_i )²

(x₁ – x₁)

-4,967

-1,467

2,533

1,933

-1,967

4,133

2,933

1,233

-4,367

Σ = 87,120

Σ/n = 9,680

(x₁– x₁)²

24,668

2,151

6,418

3,738

3,868

17,084

8,604

1,521

19,068

(x₂ – x₂)

0,686

0,786

-0,014

-0,214

-0,314

-0,214

-0,084

Σ = 1,483

Σ/n = 0,165

(x₂– x₂)²

0,470

0,617

0,000196

0,046

0,099

0,046

0,007

(y – y)

-2,144

-1,144

-0,344

0,956

0,156

0,456

0,656

1,256

0,156

Σ = 9,202

Σ/n = 1,022

(y– y)²

4,599

1,310

0,119

0,913

0,024

0,208

0,430

1,576

0,024

Вычислим Cov: Cov (x,y) = 1 / n Σ ⁿ_{i = 1} * (x_i – x)*(y_i – y)

(x₁-x₁)(y-y)

10,651

1,679

-0,873

1,847

1,923

1,549

-0,679

Σ = 17,673

Σ/n = 1,964

(x₂ –x₂)(y-y)

-1,470

-0,899

0,005

-0,205

-0,206

-0,269

-0,013

Σ = -3,250

Σ/n = -0,361

(x₁-x₁)(x₂ –x₂)

-3,405

-1,152

-0,037

-0,415

-0,922

-0,264

0,369

Σ = -6,508

Σ/n = -0,723

Ответ: Var₁ = 9,680 Cov₁ = 1,964

Var₂ = 0,165 Cov₂ = -0,361

Var₃ = 1,022 Cov₃ = -0,723

Задача 2.

Определить коэффициенты при объясняющих переменных, для линейной регрессии, отражающих зависимость потребления картофеля от его производства и импорта, используя данные из задачи 1.

Найти: b_1,2 = ?

Решение:

Определим Var рядов объясняющих переменных:

Var(х₁) = 9,680

Var(х₂) = 0,165

Определим Cov:

Cov(x₁;у) = 1,964

Cov(х₂;у) = -0,361

Cov(х₁;х₂) = -0,723

Вычислим b₁ и b₂ по формулам:

b₁ = Cov(x₁;у)* Var(х₂) - Cov(х₂;у)* Cov(х₁;х₂)/ Var(х₁)* Var(х₂) – (Cov(х₁;х₂))²

b₂ = Cov(х₂;у)* Var(х₁) - Cov(x₁;у)* Cov(х₁;х₂)/ Var(х₁)* Var(х₂) - (Cov(х₁;х₂))²

b₁ = (1,964*0,165) – (-0,361*-0,723)/ (9,680*0,165) - (-0,723)²

b₁ = 0,059

b₂ = (-0,361*9,680) – (1,964*-0,723)/ (9,680*0,165) - (-0,723)²

b₂ = - 1,931

Ответ: 0,059 ; - 1,931

Задача 3.

Рассчитать коэффициент А для регрессии, отражающий зависимость потребления картофеля от его производства и импорта (исп. Данные из задачи 1 и 2)

Найти: а = ?

Решение:

определим средние значения:

х₁ = 35,767 х₂ = 0,414 у = 17,844

Определим коэффициенты b₁ и b₂:

b₁ = 0,059 b₂ = -1,931

Вычислим значение коэффициента а: а = у – b₁x₁ – b₂x₂

a = 17,844 - 0,059*35,767 – (-1,931*0,414)

a = 16,533

Ответ: 16,533

Задача 4.

Рассчитать значение личного потребления картофеля, используя полученные в задаче 2 и 3 коэффициенты регрессии.

Решение:

Определим коэффициенты b₁ и b₂:

b₁ = 0,059 b₂ = -1,931

Определим коэффициент а:

а = 16,533

Определим вектор регрессионного значения по формуле:

[Х*]= а + b₁[x₁]+ b₂[x₂]

[Х*]

16,226

16,240

18,020

18,371

18,334

18,694

18,623

18,33

17,748

Задача 5.

Рассчитать общую, объясненную и не объясненную сумму квадратов отклонений для рассчитанной ранее регрессии по потреблению картофеля.

Найти: RSS, TSS, ESS - ?

Решение:

Определим средненаблюдаемое у и средне расчетное у* независимых переменных:

Потребление у

15,7

16,7

17,5

18,8

19,1

Σ = 160,6

Σ/n = 17,84

у*

16,226

16,240

18,020

18,371

18,334

18,330

17,748

Σ= 160,6

Σ/n = 17,84

у = y*

Определим общую сумму квадратов отклонений по формуле:

TSS = Σ_{i = 1}ⁿ ( y_i - y)²

TSS = 9,202

( y_i - y)²

4,60

1,31

0,12

0,91

0,21

0,43

1,58

0,02

Σ= 9,202

Определим объясненную сумму квадратов отклонений по формуле:

ESS = Σ_{i = 1}ⁿ ( y_i – y*)²

ESS = 7,316

( y_i – y*)²

2,614

2,571

0,031

0,279

0,241

0,724

0,609

0,237

0,009

Σ= 7,316

Определим не объясненную сумму квадратов отклонений по формуле:

RSS = Σ_{i = 1}ⁿ ( y_i – y*)²

RSS = 1,882

( y_i – y*)²

0,277

0,212

0,271

0,184

0,112

0,155

0,015

0,593

0,063

Σ= 1,882

Ответ: 9,202 ;7,316; 1,882

Задача 6.

Вычислить коэффициент детерминации, используя данные из задачи 5

Найти: R-?

Решение:

Вычислим TSS и ESS:

TSS = 9,202

ESS = 7,316

Найдем R² по формуле:

R² = ESS/TSS

R² = 7,316/9,202

R² = 0,795

Ответ: 0,795

Задача 7.

Для оценки возможной мультиколлиниарности, рассчитать коэффиц. корреляции между рядами данных (задача 1).

Решение:

Найдем Var:

Var(х₁) = 9,680

Var(х₂) = 0,165

Найдем Cov:

Cov(х₁;х₂) = -0,723

Рассчитаем коэффициент корреляции:

r(x₁;х₂) = Cov(х₁;х₂)/√ Var(х₁)- Var(х₂)

r(x₁;х₂) = -0,723/3,085

r(x₁;х₂) = - 0,234

Ответ: - 0,234

Задача 8.

Определить несмещенную оценку дисперсии случайного члена регрессии для потребления картофеля.

Найти: S_u²(u) - ?

Решение:

Найдем RSS:

RSS = 1,882

Найдем число степеней выборки

k = n-m-1

k = 9-2-1

k = 6

Найдем несмещенную оценку случайного члена:

S_u²(u) = RSS/ n-m-1

S_u²(u) = 1,882/9-2-1

S_u²(u) = 0,3136

Ответ: 0,3136

Задача 9.

Рассчитать стандартные ошибки оценок коэффициента при объясняющ. переменных для модели множеств. регрессии по потреблению картофеля.

Найти: С.О.(b₁), C.O.(b₂) - ?

Решение:

Найдем дисперсию случайного члена:

S_u²(u) = 0,3136

Найдем Var:

Var(х₁) = 9,680

Var(х₂) = 0,165

Найдем коэффиц. корреляции:

r(x₁;х₂) = - 0,234

Вычислим стандартные ошибки С.О.(b₁), C.O.(b₂):

С.О.(b₁) = (√(S_u²(u)/n * Var(х₁)) * (1/1- r² (x₁;х₂))

С.О.(b₁) = (√(0,3136/9*9,680))* (1/1-(- 0,234))

C.O.(b₂) = (√(S_u²(u)/n * Var(х₂)) * (1/1- r² (x₁;х₂))

C.O.(b₂) = (√(0,3136/9*0,165))* (1/1-(- 0,234))

С.О.(b₁) = 0,0486

C.O.(b₂) = 0,3724

Ответ: 0,0486; 0,3724.

Задача 10.

Рассчитать статистику Дарбина-Уотсона.

Найти: DW - ?

Решение:

Определим остатки в наблюдениях:

e_k = y_k – y^*_k; k = (1:n)

y(k)

15,7

16,7

17,5

18,8

18,3

18,5

19,1

y(k)*

16,226

16,240

18,020

18,371

18,334

18,694

18,623

18,330

e(k)

-0,526

0,461

-0,520

0,429

-0,334

-0,394

-0,123

0,770

ek-e(k-1)

-0,987

0,981

-0,949

0,763

0,060

-0,271

-0,893

0,519

ek-e(k-1)^2

0,973

0,962

0,901

0,582

0,004

0,073

0,798

0,269

e(k)^2

0,277

0,212

0,271

0,184

0,112

0,155

0,015

0,593

(e _k-e _{k – 1}) ²= 4,562

e _k² = 1,882

Вычислим статистику Дарбина-Уотсона:

DW = Σ (e _k-e _{k – 1})²/ Σ e _k²

DW = 2,424

DW > 2

Ответ: т.к. DW > 2, то автокорреляция отрицательная.

Задание 3.2

Задача 1.

Рассчитать выборочное среднее для ряда данных по личным потребительским расходам на косметику (млрд. руб.):

6.3 6.6 6.8 7.0 7.1 7.4 7.9 7.8 7.4

Найти: а

Решение:

Запишем формулу: a=1/N*Σ ^N_t₌₁*x (t)
Вычислим:

а = 1*(5.9 + 6.3 + 6.6 + 6.8 + 7.0 + 7.1 + 7.4 + 7.9 + 7.8 + 7.4)/10

а = 7,02 (млрд. руб.)

Ответ: 7,02 (млрд. руб.)

Задача 2.

Рассчитать выборочную дисперсию по данным задачи 1.

Найти: σ = ?

Решение:

а = 7,02
Запишем формулу для вычисления дисперсии: σ² = 1/N*Σ^N_t₌₁ x(t)-a
Вычислим:

х(t)

5,9

6,3

6,6

6,8

7,1

7,4

7,9

7,8

х(t)-a

-1,120

-0,720

-0,420

-0,220

-0,020

0,080

0,380

0,880

0,780

(х(t)-a)²

1,254

0,518

0,176

0,048

0,0004

0,006

0,144

0,774

0,608

σ = 3,676

Ответ: 3,676

Задача 3.

Найти оценку ковариации для τ = 0,1,2 (используя данные из задачи 1)

х(t)-a

-1,120

-0,720

-0,420

-0,220

-0,020

0,080

0,380

0,880

(х(t)-a)^2

1,254

0,518

0,176

0,048

0,000

0,006

0,144

0,774

(х(t)-a)* (х(t+1)-a)

0,8064

0,3024

0,0924

0,0044

-0,0016

0,0304

0,3344

0,6864

(х(t)-a)* (х(t+2)-a)

0,4704

0,1584

0,0084

-0,0176

-0,0076

0,0704

0,2964

0,3344

∑ τ (0) = 3,676

∑ τ (1) = 2,552

∑ τ (2) = 1,313

ρ(τ) = 1/(N- τ)∑_t₌₁^N^- ^τ (x(t)-в)* (x(t+1)-в)

ρ (0) = 0,367

ρ (1) = 0,283

ρ (2) = 0,164

Ответ: 0,367; 0,283; 0,164.

Задача 4.

Рассчитать выборочную автокорреляцию для τ = 1,2, используя данные из задачи 1

Найти: r= ? для τ = 1,2

Решение:

Найдем τ = 0,1,2

ρ(0) = 0,367

ρ(1) = 0,283

ρ(2) = 0,164

Рассчитаем выборочную автокорреляцию для τ = 1,2, по формуле:

r(τ) = ρ (τ)/ τ(0)

r(1) = 0,283/0,367

r(1) = 0,771

r(2) = 0,164/0,367

r(2) = 0,446

Ответ: 0,771; 0,446

Задача 5.

Рассчитать выборочную частную автокорреляцию 1-го порядка, используя данные из задачи 1.

Найти: r_{частная}(2) = ?

Решение:

Найдем выборочную автокорреляцию

r(1) = 0,771

r(2) = 0,446

Рассчитаем выборочную частную автокорреляцию 1-го порядка:

r_{частная}(2) = r(2) – r² (1)/ 1 - r² (1)

r_{частная}(2) = 0,446 – (0,771)² / 1 - (0,771)²

r_{частная}(2) = - 0,365

Ответ: - 0,365

Задача 6.

С помощью критерия основанного на медиане, проверить гипотезу о неизменности среднего значения временного ряда:

6200

6300

6400

6600

6400

6500

не рассматриваем

6600

6700

6500

не рассматриваем

6700

6600

6300

6400

6000

Решение:

Определим число наблюдений: n=15
Отранжеруем временные ряды в порядке возрастания:

6000 6200 6300 6300 6400 6400 6400 6500 6500 6600 6600 6600 6600 6700 6700

Вычислим медиану:

n = 15;

х_мед = n+1/2 = 15+1/2

x_мед= 8

x_мед= 6500

Создаем ряд из + и -, в соответствие с правилом:

если х(i) < х_мед , то +; если х(i) > х_мед , то -.

Определим общее число серий:

v(15) = 6

Протяженность самой длинной серии:

τ(20) = 3

Проверим неравенства:

v(n) > (1/2*(n+2)-1,96*√n-1)

v(n) = (1/2*(15+2) – 1,96*√15-1)

v(n) = 1,166

6 > 1 – выполняется

τ(n) < (1,43*ln(n+1))

τ(n) < (1,43*ln(15+1))

τ(n) = 3,96

3 < 3,96 – выполняется

Так как выполняются оба неравенства, гипотеза о неизменности среднего значения временного ряда принимается.

Ответ: гипотеза принимается.

Листать вверх Листать вниз

Получить код

Скачать материал (0.04 Мб)

Нравится материал? Поддержи автора!

Ещё документы из категории экономико-математическое моделирование:

Лабораторные по системному анализу

Экономико-математическая задача по оптимизации рационов кормления

Расчет семейного бюджета на полугодие

Функции и формы статистической таблицы. Основные элементы и правила построения

Системный анализ объекта

Сравнительный анализ методов оптимизации

Моделювання економічних та виробничих процесів