Примеры решения эконометрических заданий

Скачать материал

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЛИАЛ В Г. ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОМ


Специальность «Финансы и кредит»






Контрольная работа по эконометрике

Вариант № 14














Железнодорожный 2009

Задание 1.2


Задача 1.

Найти среднее число государственных вузов, если статистические данные таковы:


Годы

1994

1995

1996

1997

1998

Кол-во ВУЗов

548

553

569

573

578


Найти: х - ?

Решение:

  1. Определим кол-во наблюдений: n = 5

  2. Запишем формулу:

х = 1 / n Σ ni = 1 * x i

  1. x = (1*( 548 + 553 + 569 + 573 + 578)) / 5 = 2821 / 5 = 564,2

Ответ: 564,2


Задача 2.

Рассчитать ковариацию между 2-мя рядами:


Поголовье КРС (млн.т)

57

54,7

52,2

48,9

43,3

39,7

35,1

Пр-во молока (тыс.т)

1,49

1,38

1,29

1,1

0,99

0,9

0,88


Найти: Cov - ?

Решение:

  1. Определим кол-во наблюдений: n = 7

  2. Определим выборочное среднее для скота:

х = (1 * (57 + 54,7 + 52,2 + 48,9 + 43,3 + 39,7 + 35,1)) / 7 = 330,9 / 7 = 47,271

  1. Определим выборочное среднее для молока:

y = (1 *(1,49 +1,38 + 1,29 + 1,1 + 0,99 + 0,9 + 0,88 ))/ 7 = 8,03 / 7 = 1,147

  1. Запишем формулу для определения ковариации:

Cov (x;y) = 1/n Σ ni = 1 (xi - x)(yi - y)

  1. Вычислим ковариацию:

Cov (x;y) = [1*((57-47,271)*(1,49-1,147)+(54,7-47,271)*(1,38-1,147)+ (52,2-47,271)*(1,29-1,147)+(48,9-47,271)*(1,1-1,147)+(43,3-47,271)*(0,99-1,147) + (39,7-47,271)*(0,9-1,147)+(35,1-47,271)*(0,88-1,147)) ]/7 = 11,439/7 = 1,634

Ответ: 1,634


Задача 3.

Определить выборочную дисперсию для ряда данных о потребление мяса (в кг на душу населения в год).


69

60

69

57

55

51

50


Найти: Var - ?

Решение:

  1. Определим кол-во наблюдений: n = 7

  2. Определим выборочное среднее:

х = (1*(69+60+69+57+55+51+50))/7 = 411/7 = 58,714

  1. Запишем формулу для определения вариации:

Var (x) = 1/n Σ ni = 1 (xi - x)2

  1. Определим вариацию:

Var = (1*(69-58,714)^2+(60-58,714)^2+(69-58,714)^2+(57-58,714)^2+(55-58,714)^2+(51-58,714)^2+(50-58,714)^2)/7 = 365,429/7 = 52,204

Ответ: 52,204


Задача 4.

Оценить параметры предполагаемой линейной зависимости объемов производства мяса по поголовью скота, если:

х (производство мяса) = 6,8

y (поголовье скота) = 47,3

Cov = 11,2

Var = 56,9

Оценить параметры

Решение:

  1. b = Cov (x;y)/Var (x)

b = 11,2/56,9

b = 0,196

  1. a = y – bx

a = 47,3 – 0,196 * 6,8

a = 45,968

  1. y = 45,968 + 0,196x


Задание 5.

Определить остаток в 1-ом наблюдение, если уравнение регрессии имеет вид:

y = 0,20x – 2,24


57

54,7

52,2

48,9

43,3

39,7

35,1

8,37

8,26

7,51

6,8

5,79

5,33

4,85


Найти: g 1 = ?

Решение:

  1. Выбор № наблюдений: i = 1

  2. х i = 57

  3. y i = 8,37

  4. Вычислим :

y*= 0,20x – 2,24

y*= 0,20x 1 – 2,24

y*= 0,20*57 – 2,24

y*= 9,16

  1. Определим остаток в 1-ом наблюдение:

g i = yi - xi

g 1 = 8,37 – 9,16

g 1 = - 0,79

Ответ: - 0,79


Задача 6.

Для рядов 1,2 уравнения регрессии y = 0,20 – 2,24 (задача 5), найти необъясненную сумму квадратов отклонений.


57

54,7

52,2

48,9

43,3

39,7

35,1

8,37

8,26

7,51

6,8

5,79

5,33

4,85


Найти: RSS = ?

Решение:

  1. Определим число наблюдений: n = 7

  2. Вычислим: yi = a + bxi , получим

y1*= 0,20*57 – 2,24, y1*= 9,16

y2*= 0,20*54,7 – 2,24, y2*= 8,7

  1. Определим остатки:

g 1 = 8,37 – 9,16, g 1 = - 0,79

g 2 = 8,268,7, g 2 = - 0,44

  1. Определим RSS для 1 и 2 ряда:

RSS = Σ ni =1 g i2

RSS = (- 0,79)2 + (-0,44)2

RSS = 775, 2592

Ответ: 0,8177

Задача 7.

Определить объясненную сумму квадратов отклонений для рядов и уравнения регрессии y = 0,20 – 2,24 (задача 5).


57

54,7

52,2

48,9

43,3

39,7

35,1

8,37

8,26

7,51

6,8

5,79

5,33

4,85


Найти: ESS = ?

Решение:

  1. Определим число наблюдений: n = 7

  2. Вычислим: yi = a + bxi , получим

y1= 0,20*57 – 2,24, y1 = 9,16

y2 = 0,20*54,7 – 2,24, y2 = 8,7

y3 = 0,20*52,2 – 2,24, y3 = 8,2

y4 = 0,20*48,9 – 2,24, y4 = 7,54

y5 = 0,20*43,3 – 2,24, y5 = 6,42

y6 = 0,20*39,7 – 2,24, y6 = 5,7

y7 = 0,20*35,1 – 2,24, y7 = 4,78

  1. Определим выборочное среднее y = 1 / n Σ ni = 1 * y i получим:

y = (1 *(9,16+8,7+8,2+7,54+6,42+5,7+4,78))/ 7

y = 7,214

  1. Вычислим ESS:

ESS = Σi = 1n ( yi* - yi)2

ESS = (9,16 – 7,214)2+(8,7 – 7,214)2+(8,2 – 7,214)2+(7,54 – 7,214)2+(6,42 – 7,214)2+(5,7 – 7,214)2+(4,78 – 7,214)2

ESS = 15,921

Ответ: 15,921


Задача 8.

В задачах 6 и 7 рассчитаны RSS и ESS. Определить TSS и проверить выполнение соотношения между этими 3-мя характеристиками.

RSS = 0,8177

ESS = 15,921

Решение:

  1. Рассчитаем общую сумму квадратов отклонений:

TSS = Σi = 1n ( yi - y)2

TSS = 12,016


уi

8,37

8,26

7,51

6,8

5,79

5,33

4,85

Σ = 46,91

Σ/n = 6,701

( yi - y)2

2,784

2,429

0,654

0,010

0,831

1,881

3,428

Σ = 12,016



  1. Проверим:

TSS = ESS + RSS

TSS = 15,921 + 0,8177

TSS = 16,7387

16,7387 ≠ 12,016 – несовпадение значений.


Задача 9.

Для рассчитанного уравнения регрессии определена ESS = 15,37/ Найти коэффициент детерминации, если TSS = 16,21.

Найти: R2 = ?

Решение:

  1. Определим коэффициент детерминации:

R2 = ESS/TSS

R2 = 15,37/16,21

R2 = 0,948

Ответ: 0,948

Задача 10

Определить выборочную корреляцию между 2-мя величинами, если ковариация составляет 11,17, вариация первого ряда составляет 59,86 , а второго 2,32.

Cov (x,y) = 11,17

Var (x) = 59,86

Var (y) = 2,32

Найти: Zxy - ?

Решение:

  1. Запишем формулу для определения выборочной корреляции:

Zxy = Cov2(x,y)/ √ Var(x) * Var(y)

  1. Вычислим выборочную корреляцию:

Zxy = (11,17)2/ √ 59,86*2,32

Zxy = 124,769/11,785

Zxy = 10,588

Ответ: 10,588

Задание 2.2


Задача 1.

Производство х1

30,8

34,3

38,3

37,7

33,8

39,9

38,7

37,0

31,4

Импорт х2

1,1

1,2

0,4

0,2

0,1

0,1

0,1

0,2

0,33

Потребление у

15,7

16,7

17,5

18,8

18,0

18,3

18,5

19,1

18,0


Найти: Var = ? и парную Cov = ?

Решение:

  1. Определим число наблюдений: n = 9

  2. Найдем выборочное среднее для рядов: х = 1 / n Σ ni = 1 * x i

х1 = (1*(30,8 + 34,3 + 38,3 + 37,7 + 33,8 + 39,9 + 38,7 + 37,0 + 31,4)) / 9

х1 = 35,767

х2 = (1*(1,1 + 1,2 + 0,4 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,2 + 0,33)) / 9

х2 = 0,414

у = (1*(15,7 + 16,7 + 17,5 + 18,8 + 18,0 + 18,3 + 18,5 + 19,1 + 18,0)) / 9

у = 17,844

  1. Рассчитаем Var для рядов: Var = 1 / n Σ ni = 1 * ( x ixi )2


(x1 – x1)

-4,967

-1,467

2,533

1,933

-1,967

4,133

2,933

1,233

-4,367

Σ = 87,120

Σ/n = 9,680

(x1– x1)2

24,668

2,151

6,418

3,738

3,868

17,084

8,604

1,521

19,068

(x2 – x2)

0,686

0,786

-0,014

-0,214

-0,314

-0,314

-0,314

-0,214

-0,084

Σ = 1,483

Σ/n = 0,165

(x2– x2)2

0,470

0,617

0,000196

0,046

0,099

0,099

0,099

0,046

0,007

(y – y)

-2,144

-1,144

-0,344

0,956

0,156

0,456

0,656

1,256

0,156

Σ = 9,202

Σ/n = 1,022

(y– y)2

4,599

1,310

0,119

0,913

0,024

0,208

0,430

1,576

0,024


  1. Вычислим Cov: Cov (x,y) = 1 / n Σ ni = 1 * (xi – x)*(yi – y)


(x1-x1)(y-y)

10,651

1,679

-0,873

1,847

1,923

1,549

-0,679

Σ = 17,673

Σ/n = 1,964

(x2 –x2)(y-y)

-1,470

-0,899

0,005

-0,205

-0,206

-0,269

-0,013

Σ = -3,250

Σ/n = -0,361

(x1-x1)(x2 –x2)

-3,405

-1,152

-0,037

-0,415

-0,922

-0,264

0,369

Σ = -6,508

Σ/n = -0,723


Ответ: Var1 = 9,680 Cov1 = 1,964

Var2 = 0,165 Cov2 = -0,361

Var3 = 1,022 Cov3 = -0,723


Задача 2.

Определить коэффициенты при объясняющих переменных, для линейной регрессии, отражающих зависимость потребления картофеля от его производства и импорта, используя данные из задачи 1.

Найти: b1,2 = ?

Решение:

  1. Определим Var рядов объясняющих переменных:

Var1) = 9,680

Var2) = 0,165

  1. Определим Cov:

Cov(x1;у) = 1,964

Cov2;у) = -0,361

Cov12) = -0,723

  1. Вычислим b1 и b2 по формулам:

b1 = Cov(x1;у)* Var2) - Cov2;у)* Cov12)/ Var1)* Var2) – (Cov12))2

b2 = Cov2;у)* Var1) - Cov(x1;у)* Cov12)/ Var1)* Var2) - (Cov12))2

b1 = (1,964*0,165) – (-0,361*-0,723)/ (9,680*0,165) - (-0,723)2

b1 = 0,059

b2 = (-0,361*9,680) – (1,964*-0,723)/ (9,680*0,165) - (-0,723)2

b2 = - 1,931

Ответ: 0,059 ; - 1,931


Задача 3.

Рассчитать коэффициент А для регрессии, отражающий зависимость потребления картофеля от его производства и импорта (исп. Данные из задачи 1 и 2)

Найти: а = ?

Решение:

  1. определим средние значения:

х1 = 35,767 х2 = 0,414 у = 17,844

  1. Определим коэффициенты b1 и b2:

b1 = 0,059 b2 = -1,931

  1. Вычислим значение коэффициента а: а = у – b1x1b2x2

a = 17,844 - 0,059*35,767 – (-1,931*0,414)

a = 16,533

Ответ: 16,533


Задача 4.

Рассчитать значение личного потребления картофеля, используя полученные в задаче 2 и 3 коэффициенты регрессии.

Решение:

  1. Определим коэффициенты b1 и b2:

b1 = 0,059 b2 = -1,931

  1. Определим коэффициент а:

а = 16,533

  1. Определим вектор регрессионного значения по формуле:

[Х*]= а + b1[x1]+ b2[x2]



1

2

3

4

5

6

7

8

9

[Х*]

16,226

16,240

18,020

18,371

18,334

18,694

18,623

18,33

17,748

Задача 5.

Рассчитать общую, объясненную и не объясненную сумму квадратов отклонений для рассчитанной ранее регрессии по потреблению картофеля.

Найти: RSS, TSS, ESS - ?

Решение:

  1. Определим средненаблюдаемое у и средне расчетное у* независимых переменных:


Потребление у

15,7

16,7

17,5

18,8

18

19,1

18

Σ = 160,6

Σ/n = 17,84

у*

16,226

16,240

18,020

18,371

18,334

18,330

17,748

Σ= 160,6

Σ/n = 17,84


у = y*

  1. Определим общую сумму квадратов отклонений по формуле:

TSS = Σi = 1n ( yi - y)2

TSS = 9,202


( yi - y)2

4,60

1,31

0,12

0,91

0,21

0,43

1,58

0,02

Σ= 9,202


  1. Определим объясненную сумму квадратов отклонений по формуле:


ESS = Σi = 1n ( yi – y*)2

ESS = 7,316


( yi – y*)2

2,614

2,571

0,031

0,279

0,241

0,724

0,609

0,237

0,009

Σ= 7,316


  1. Определим не объясненную сумму квадратов отклонений по формуле:

RSS = Σi = 1n ( yi – y*)2

RSS = 1,882

( yi – y*)2

0,277

0,212

0,271

0,184

0,112

0,155

0,015

0,593

0,063

Σ= 1,882


Ответ: 9,202 ;7,316; 1,882


Задача 6.

Вычислить коэффициент детерминации, используя данные из задачи 5

Найти: R-?

Решение:

  1. Вычислим TSS и ESS:

TSS = 9,202

ESS = 7,316

  1. Найдем R2 по формуле:

R2 = ESS/TSS

R2 = 7,316/9,202

R2 = 0,795

Ответ: 0,795


Задача 7.

Для оценки возможной мультиколлиниарности, рассчитать коэффиц. корреляции между рядами данных (задача 1).

Решение:

  1. Найдем Var:

Var1) = 9,680

Var2) = 0,165

  1. Найдем Cov:

Cov12) = -0,723

  1. Рассчитаем коэффициент корреляции:

r(x12) = Cov12)/√ Var1)- Var2)

r(x12) = -0,723/3,085

r(x12) = - 0,234

Ответ: - 0,234


Задача 8.

Определить несмещенную оценку дисперсии случайного члена регрессии для потребления картофеля.

Найти: Su2(u) - ?

Решение:

  1. Найдем RSS:

RSS = 1,882

  1. Найдем число степеней выборки

k = n-m-1

k = 9-2-1

k = 6

  1. Найдем несмещенную оценку случайного члена:

Su2(u) = RSS/ n-m-1

Su2(u) = 1,882/9-2-1

Su2(u) = 0,3136

Ответ: 0,3136


Задача 9.

Рассчитать стандартные ошибки оценок коэффициента при объясняющ. переменных для модели множеств. регрессии по потреблению картофеля.

Найти: С.О.(b1), C.O.(b2) - ?

Решение:

  1. Найдем дисперсию случайного члена:

Su2(u) = 0,3136

  1. Найдем Var:

Var1) = 9,680

Var2) = 0,165

  1. Найдем коэффиц. корреляции:

r(x12) = - 0,234

  1. Вычислим стандартные ошибки С.О.(b1), C.O.(b2):

С.О.(b1) = (√(Su2(u)/n * Var1)) * (1/1- r2 (x12))

С.О.(b1) = (√(0,3136/9*9,680))* (1/1-(- 0,234))

C.O.(b2) = (√(Su2(u)/n * Var(х2)) * (1/1- r2 (x1;х2))

C.O.(b2) = (√(0,3136/9*0,165))* (1/1-(- 0,234))

С.О.(b1) = 0,0486

C.O.(b2) = 0,3724

Ответ: 0,0486; 0,3724.


Задача 10.

Рассчитать статистику Дарбина-Уотсона.

Найти: DW - ?

Решение:

  1. Определим остатки в наблюдениях:

ek = yk – y*k; k = (1:n)


y(k)

15,7

16,7

17,5

18,8

18

18,3

18,5

19,1

y(k)*

16,226

16,240

18,020

18,371

18,334

18,694

18,623

18,330

e(k)

-0,526

0,461

-0,520

0,429

-0,334

-0,394

-0,123

0,770

ek-e(k-1)

-0,987

0,981

-0,949

0,763

0,060

-0,271

-0,893

0,519

ek-e(k-1)^2

0,973

0,962

0,901

0,582

0,004

0,073

0,798

0,269

e(k)^2

0,277

0,212

0,271

0,184

0,112

0,155

0,015

0,593


(e k-e k – 1) 2= 4,562

e k2 = 1,882

  1. Вычислим статистику Дарбина-Уотсона:

DW = Σ (e k-e k – 1)2/ Σ e k2

DW = 2,424

DW > 2

Ответ: т.к. DW > 2, то автокорреляция отрицательная.

Задание 3.2


Задача 1.

Рассчитать выборочное среднее для ряда данных по личным потребительским расходам на косметику (млрд. руб.):

6.3 6.6 6.8 7.0 7.1 7.4 7.9 7.8 7.4

Найти: а

Решение:

  1. Запишем формулу: a=1/N*Σ Nt=1*x (t)

  2. Вычислим:

а = 1*(5.9 + 6.3 + 6.6 + 6.8 + 7.0 + 7.1 + 7.4 + 7.9 + 7.8 + 7.4)/10

а = 7,02 (млрд. руб.)

Ответ: 7,02 (млрд. руб.)


Задача 2.

Рассчитать выборочную дисперсию по данным задачи 1.

Найти: σ = ?

Решение:

  1. а = 7,02

  2. Запишем формулу для вычисления дисперсии: σ2 = 1/NNt=1 x(t)-a

  3. Вычислим:


х(t)

5,9

6,3

6,6

6,8

7

7,1

7,4

7,9

7,8

х(t)-a

-1,120

-0,720

-0,420

-0,220

-0,020

0,080

0,380

0,880

0,780

(х(t)-a)2

1,254

0,518

0,176

0,048

0,0004

0,006

0,144

0,774

0,608

σ = 3,676

Ответ: 3,676


Задача 3.

Найти оценку ковариации для τ = 0,1,2 (используя данные из задачи 1)

х(t)-a

-1,120

-0,720

-0,420

-0,220

-0,020

0,080

0,380

0,880

(х(t)-a)^2

1,254

0,518

0,176

0,048

0,000

0,006

0,144

0,774

(х(t)-a)* (х(t+1)-a)

0,8064

0,3024

0,0924

0,0044

-0,0016

0,0304

0,3344

0,6864

(х(t)-a)* (х(t+2)-a)

0,4704

0,1584

0,0084

-0,0176

-0,0076

0,0704

0,2964

0,3344


τ (0) = 3,676

τ (1) = 2,552

τ (2) = 1,313

ρ(τ) = 1/(N- τ)∑t=1N- τ (x(t)-в)* (x(t+1)-в)

ρ (0) = 0,367

ρ (1) = 0,283

ρ (2) = 0,164

Ответ: 0,367; 0,283; 0,164.


Задача 4.

Рассчитать выборочную автокорреляцию для τ = 1,2, используя данные из задачи 1

Найти: r= ? для τ = 1,2

Решение:

  1. Найдем τ = 0,1,2

ρ(0) = 0,367

ρ(1) = 0,283

ρ(2) = 0,164

  1. Рассчитаем выборочную автокорреляцию для τ = 1,2, по формуле:

r(τ) = ρ (τ)/ τ(0)

r(1) = 0,283/0,367

r(1) = 0,771

r(2) = 0,164/0,367

r(2) = 0,446

Ответ: 0,771; 0,446


Задача 5.

Рассчитать выборочную частную автокорреляцию 1-го порядка, используя данные из задачи 1.

Найти: rчастная (2) = ?

Решение:

  1. Найдем выборочную автокорреляцию

r(1) = 0,771

r(2) = 0,446

  1. Рассчитаем выборочную частную автокорреляцию 1-го порядка:

rчастная (2) = r(2) – r2 (1)/ 1 - r2 (1)

rчастная (2) = 0,446 – (0,771)2 / 1 - (0,771)2

rчастная (2) = - 0,365

Ответ: - 0,365


Задача 6.

С помощью критерия основанного на медиане, проверить гипотезу о неизменности среднего значения временного ряда:


1

6200

-

2

6300

-

3

6400

-

4

6600

+

5

6400

-

6

6500

не рассматриваем

7

6600

+

8

6700

+

9

6500

не рассматриваем

10

6700

+

11

6600

+

12

6600

+

13

6300

-

14

6400

-

15

6000

-


Решение:

  1. Определим число наблюдений: n=15

  2. Отранжеруем временные ряды в порядке возрастания:

6000 6200 6300 6300 6400 6400 6400 6500 6500 6600 6600 6600 6600 6700 6700

  1. Вычислим медиану:

n = 15;

хмед = n+1/2 = 15+1/2

xмед = 8

xмед = 6500

  1. Создаем ряд из + и -, в соответствие с правилом:

если х(i) < хмед , то +; если х(i) > хмед , то -.

  1. Определим общее число серий:

v(15) = 6

  1. Протяженность самой длинной серии:

τ(20) = 3

  1. Проверим неравенства:

v(n) > (1/2*(n+2)-1,96*√n-1)

v(n) = (1/2*(15+2) – 1,96*√15-1)

v(n) = 1,166

6 > 1 – выполняется

τ(n) < (1,43*ln(n+1))

τ(n) < (1,43*ln(15+1))

τ(n) = 3,96

3 < 3,96 – выполняется

Так как выполняются оба неравенства, гипотеза о неизменности среднего значения временного ряда принимается.

Ответ: гипотеза принимается.

Нравится материал? Поддержи автора!

Ещё документы из категории экономико-математическое моделирование:

X Код для использования на сайте:
Ширина блока px

Скопируйте этот код и вставьте себе на сайт

X

Чтобы скачать документ, порекомендуйте, пожалуйста, его своим друзьям в любой соц. сети.

После чего кнопка «СКАЧАТЬ» станет доступной!

Кнопочки находятся чуть ниже. Спасибо!

Кнопки:

Скачать документ
КУРСЫ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ И ПЕРЕПОДГОТОВКИ Бесплатные олимпиады Инфоурок