Определение капитальных вложений
Содержание
Введение
Цель работы - изучение экономической сущности и математической формализации задачи определения оптимального варианта распределения заданной суммы капитальных вложений между несколькими предприятиями отрасли, выпускающими взаимозаменяемую продукцию.
1. Экономическая сущность задачи
В отрасли имеется М предприятий, выпускающих однотипную взаимозаменяемую продукцию, спрос на которую пока не удовлетворяется полностью. С целью увеличения выпуска данной продукции на модернизацию этих предприятий выделена сумма капиталовложений в размере Х тыс. руб. Каждому предприятию с номером m=1, 2, …, M может быть выделена сумма Xm>=0, при этом сумма капиталовложений распределяется полностью, т.е.
(1)
Оптимизация распределения капиталовложений производится по критерию максимума суммарного прироста выпуска продукции всеми предприятиями
(2)
Здесь gm (xm) - прирост выпуска продукции на предприятии с номером m при условии, что ему выделена сумма капиталовложений xm.
2. Исходные данные
Исходными данными для решения задачи служат выполненные на каждом предприятии расчеты по обоснованию зависимостей прироста выпуска от размера капиталовложений gm (xm). Как правило, эти зависимости не удается получить в аналитической форме (в виде непрерывных и аналитических функций) и они представляются таблично, значениями функций при заданных дискретных значениях аргумента.
Для упрощения дальнейших вычислений будем считать, что величины xm кратны некоторой дискрете h=X/N где N - число дискрет в распределяемой сумме X. Дискрета h задается заранее, исходя из разумного компромисса между желательной точностью и трудоемкостью расчетов. Уменьшение величины дискреты h, вообще говоря, увеличивает точность, но при этом растет трудоемкость подготовки исходной информации и её последующей обработки.
С учетом принятого допущения величина капиталовложений xm меняемся дискретно, принимая значения xm=nh, n=0, 1, …, N. Каждое предприятие рассчитывает и представляет в министерство (N+1) М значений, которые удобно свести в табл.1.
При построении табл.1.1 принято М = 5; Х = 300 тыс. руб.; N = 6; h = 50 тыс. руб.
Таблица 1 - Прирост выпуска продукции при заданной величине капиталовложений, тыс. руб.
Величина капиталовложений тыс. руб.
Порядковый номер предприятия
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
0
0
0
0
0
0
50
30
20
20
40
30
100
83
75
61
62
72
1
2
3
4
5
6
150
98
100
112
97
108
200
127
150
140
134
122
250
158
165
152
160
148
300
195
20
180
185
190
3. Метод динамического программирования
Идея метода динамического программирования состоит в том, что выделенная сумма Х распределяется не между всеми М предприятиями (иначе получается полный перебор), а между двумя "предприятиями": последним предприятием (имеющем номер М) и группой из (М-1) - го предшествующего предприятия, для которого оптимальное распределение между ними любой частичной суммы уже известно. Это соответствует решению основного функционального уравнения динамического программирования М-го, последнего шага
(3)
Здесь fM (X) - максимальный суммарный прирост продукции, получаемый от М предприятий при оптимальном распределении суммы Х между M-тым и группой из (М-1) - го первых предприятий, при условии, что выделяемая им частичная сумма (Х-ХМ) распределяется оптимально;
fM-1 (X-ХМ) - максимальный суммарный прирост продукции, получаемый от (М-1) - го первых предприятий при оптимальном распределении между ними частичной суммы (Х-ХМ), оставшейся, от М-го предприятия.
Решить уравнение (3) невозможно, так как функция fM-1 (X-ХМ) неизвестна. Однако её можно выразить с помощью основного функционального уравнения для (М-1) - го шага через функцию максимального суммарного прироста продукции, получаемого при оптимальном распределении частичных сумм в группе из (М-2) - х первых предприятий
(4)
Снова неизвестна функция fM-2 (nh-ХМ-1) однако, используя основное fM-3 (nh-ХМ-2) функциональное уравнение, её можно определить аналогично через функцию и т.д. Эта процедура рекуррентных подстановок неизвестных функций максимального суммарного прироста продукции заканчивается точно через М шагов. Действительно, на последнем шаге подстановок (его номер m=1) получаем основное функциональное уравнение динамического программирования в виде
(5)
Функция f0 (nh-Х1) формально есть максимальный прирост продукции при оптимальном распределении частичной суммы (nh-Х1) в группе, состоящей из "0" предприятий. Естественно, такой группе, в которой нет ни одного предприятия, никаких средств не выделяется поэтому
f0 (nh-Х1) =0 (6)
Отсюда следует, что на первом шаге основное функциональное уравнение имеет следующее решение:
(7)
Это означает, что на первом шаге, когда рассматривается только одно первое предприятие, любая частичная сумма nh выделяется ему целиком, так как ее некому, кроме него, распределять. Таким образом, оптимальное управление на первой шаге
X1* (nh) = nh (8)
Представим найденное решение основного функционального уравнения на первом шаге в виде табл.2.
Таблица 2 - Определение оптимальных управлений и максимальных прирос продукции на первом шаге
Частичная распределяемая сумма
Сумма, выделяемая первому предприятию
Оптимальное управление
Максимальный прирост продукции
0
50
100
150
200
250
300
0
0
0
0
50
30
50
30
100
83
100
83
150
-
98
150
98
200
127
200
127
250
158
250
158
300
195
300
195
В табл.2 заполнена числами только главная диагональ. Эти числа берутся из табл.1 исходных данных для первого предприятия. Пустые клетки левее главной диагонали показывают, что на 1-м шаге вся частичная сумма nh целиком отдается первому предприятию, так как на атом шаге других предприятий нет. Пустые клетки справа от главной диагонали показывают, что не может распределяться частичная сумма, большая имеющейся.
ШАГ 1 тривиален, однако важен в том отношении, что позволяет начать процесс рекуррентного вычисления на последующих шагах по основному функциональному уравнению
fm (nh) =max{gm (xm) +fm-1 (nh-xm) }, n=1, 2, …, N;
0<=xm<=nh, m=1, 2, …, M.
ШАГ 2. Распределение частичных сумм между вторым предприятием и группой из "одного первого предприятия". Для второго шага основное функциональное уравнение имеет вид
F2 (nh) =max{g2 (x2) +f1 (nh-x2) },
0<=x2<=nh; 1<=n<=N
Его решение представлено в табл.3
Таблица 3 - Определение оптимальных управлений и максимальных приростов продукции на 2-м шаге.
Частичная распределяемая сумма
Сумма, выделяемая второму предприятию
Оптимальное управление
Максимальный прирост продукции
0
50
100
150
200
250
300
0
0+0
0
0
0
50
0+30
30
20+0
20
0
30
100
0+83
83
20+30
50
75+0
75
0
83
150
0+98
98
20+83
103
75+30
105
100+0
100
100
105
200
0+127
127
20+98
118
75+83
158
100+30
130
150+0
150
100
158
250
0+158
158
20+127
147
75+98
173
100+83
183
150+30
180
165+0
165
150
183
300
0+195
195
20+158
178
75+127
204
100+98
198
150+83
233
165+30
195
200+0
200
200
233
В клетках таблицы записываются через знак "+" 2 числа, равные g2 (x2) и f1 (nh-x2). Величины g2 (x2) берутся из табл.1, а величины f1 (nh-x2) из последнего столбца табл.2.
В последнем столбце табл.3 проставлены максимумы сумм в соответствующих строках, предшествующем столбце - соответствующая этому максимуму оптимальная величина капитальных вложений, выделяемых второму предприятию.
ШАГ 3. Зная оптимальное распределение всех частичных сумм между первыми двумя предприятиями, перейдем к их распределению между третьим предприятием и группой из первых двух (табл.4).
Таблица 4 - Определение оптимальных управлений и максимальных прирост продукции на 3-м шаге
Частичная распределяемая сумма
Сумма, выделяемая третьему предприятию
Оптимальное управление
Максимальный прирост продукции
0
50
100
150
200
250
300
0
0+0
0
0
0
50
0+30
30
20+0
20
0
30
100
0+83
83
20+30
50
61+0
61
0
83
150
0+105
105
20+83
103
61+30
91
112+0
112
150
112
200
0+158
158
20+105
125
61+83
144
112+30
142
140+0
140
0
158
250
0+183
183
20+158
178
61+105
166
112+83
195
140+30
170
152+0
0
150
195
300
0+233
233
20+183
203
61+158
219
112+105
217
140+83
233
152+30
182
180+0
180
0
233
ШАГ 4. Определение оптимального распределения на 4-м шаге.
Таблица 5 - Определение оптимальных управлений и максимальных приростов продукции на 4-м шаге
Частичная распределяемая сумма
Сумма, выделяемая четвертому предприятию
Оптимальное управление
Максимальный прирост продукции
0
50
100
150
200
250
300
0
0+0
0
0
0
50
0+30
30
40+0
40
50
40
100
0+83
83
40+40
80
62+0
62
0
83
150
0+112
112
40+83
123
62+40
102
97+0
97
50
123
200
0+158
158
40+112
152
62+83
145
97+40
137
134+0
134
0
163
250
0+195
195
40+158
198
62+112
174
97+83
180
134+40
174
160+0
160
50
198
300
0+233
233
40+195
235
62+158
220
97+112
220
134+83
217
160+40
200
185+0
185
50
235
ШАГ 5. Определение оптимального распределения на 5-м шаге.
Таблица 6 - Определение оптимальных управлений и максимальных приростов продукции на 5-м шаге
Частичная распределяемая сумма
Сумма, выделяемая пятому предприятию
Оптимальное управление
Максимальный прирост продукции
0
50
100
150
200
250
300
0
0+0
0
0
0
50
0+40
40
30+0
30
0
40
100
0+83
83
30+40
70
72+0
72
0
83
150
0+123
123
30+83
113
72+40
112
108+0
108
0
123
200
0+158
158
30+123
153
72+83
155
108+40
148
122+0
122
0
158
250
0+198
198
30+158
188
72+123
195
108+83
191
122+40
162
148+0
148
0
198
300
0+235
235
30+198
228
72+158
230
108+123
231
122+83
205
148+40
188
190+0
190
0
235
Результаты расчетов на всех 5-и шагах представим в виде табл.7.
Таблица 7 - Сводная таблица оптимальных управлений и максимальных приростов продукции
Распределяемая сумма
Номер шага распределения
1
2
3
4
5
x1*
f1
x2*
F2
x3*
f3
x4*
f4
x5*
f5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
50
50
30
0
30
0
30
50
40
0
40
100
100
83
0
83
0
83
0
83
0
83
150
150
98
100
105
150
112
50
123
0
123
200
200
127
100
158
0
158
0
158
0
158
250
250
158
150
183
150
195
50
198
0
198
300
300
195
200
233
0
233
50
235
0
235
Таблица 8 - Оптимальное распределение частичных сумм между 5-ю предприятиями.
-
Распределяемая сумма
Выделяемые предприятиям суммы
Макс. Суммарный прирост продукции
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
50
0
0
0
50
0
40
100
100
0
0
0
0
83
150
100
50
0
0
0
123
200
100
100
0
0
0
158
250
100
100
0
50
0
198
300
100
0
150
50
0
235
Оптимальное распределение суммы 300 тыс. руб.:
X1*
100
x2*
0
x3*
150
x4*
50
x5*
0
Максимальный прирост выпуска продукции при оптимальном распределении равен 235 тыс. руб. Эта величина находится на пересечении строки "Распределяемая сумма - 300"' и столбцов 5-го шага. Задача решена.
4. Метод полного перебора вариантов
Самый простой способ решения распределительных задач подобного типа состоит в полном переборе всех возможных вариантов распределения исходной суммы между предприятиями и выбор того варианта, при котором суммарный прирост выпуска продукции будет максимальным. Недостатком метода полного перебора является то, что число вариантов распределения быстро растет при увеличении количества предприятий и уменьшении дискреты распределения.
По условиям варианта имеем 6 предприятий и 7 дискрет.
Таблица 9 - Расчет числа вариантов распределения между 6-ю предприятиями суммы 300 тыс. руб. с дискретой 37,5 тыс. руб. по методу полного перебора
№
Тип распределения
Число вариантов
1
Одному - 300
С61=6
2
Одному - 262,5, другому - 37,5
С61 С51=30
3
Одному - 225, другому - 75
С61 С51=30
4
Одному - 225, другому - 37,5, третьему - 37,5
С61 С52=60
5
Одному - 187,5, другому - 112,5
С61 С51 =30
6
Одному - 187,5, второму - 75, третьему - 37,5
С61 С52С52=120
7
Одному - 187,5, трем по - 37,5
С61 С52=60
8
Двум по - 150
С62=60
9
Одному - 150, второму - 112,5, третему - 37,5
С61 С51С41=60
10
Одному - 150, второму - 75, двум по - 37,5
С61 С51 С42=180
11
Одному - 150, двум по - 75
С61 С52=60
12
Одному - 150, четырем по - 37,5
С61 С54=30
13
Двум по - 112,5 другому - 75
С62 С41=68
14
Двум по - 112,5 двум по - 37,5
С62 С42=90
15
Одному - 112,5, второму - 75, трем по - 37,5
С61 С51 С43=120
16
Одному - 112,5, двум по - 75, третьему - 37,5
С61 С52 С32=180
17
Одному - 112,5, пятерым по - 37,5
С61 С55=6
18
Четырем по - 75
С64=15
19
Трем по - 75, двум по - 37,5
С63 С32=60
20
Двум по - 75, четырем по - 37,5
С62 С44=15
Итого вариантов: 1287
Число вариантов распределения методом полного перебора можно также подсчитать по формуле коэффициентов биномиального распределения
(9)
Сколько вариантов распределения пришлось рассмотреть при использовании метода динамического программирования?
(10)
В нашем случае это составило 1287 вариантов, т.е. по сравнению с методом полного перебора число рассматриваемых вариантов сократилась более чем в 60 раза.
5. Интуитивные распределения
5.1 Равномерное распределение
При равномерном распределении суммы в 300 тыс. руб. между 5-ю предприятиями получается, что каждому из них нужно выделить по 60 тыс. руб.
Используя данные о приросте выпуска продукции на предприятиях при выделении им 50 и 100 тыс. соответственно, рассчитаем прирост выпуска продукции при выделении им по 60 тыс. рублей.
Из рис.1 можно найти прирост продукции при выделении предприятию 60-ти тыс. руб.
Величина прироста при распределении суммы капитальных вложений по 60тыс. руб. определяется путем решения ряда пропорций.
Для первого предприятия 50/10=53/y y=10,6 величина прироста на дополнительные 10 тыс. руб. капитальных вложений. Всего прирост будет равен 40,6.
Для второго предприятия 50/10=55/y y=11 50/10=22/y y=4,4 величина прироста на дополнительные 10 тыс. руб. капитальных вложений. Всего прирост будет равен 44,4
Для третьего предприятия 50/10=41/y y=8,2 величина прироста на дополнительные 10 тыс. руб. капитальных вложений. Всего прирост будет равен 28,2.
Для четвертого предприятия 50/10=22/y y=4,4 величина прироста на дополнительные 10 тыс. руб. капитальных вложений. Всего прирост будет равен 44,4.
Для пятого предприятия 50/10=42/y y=8,4 величина прироста на дополнительные 10 тыс. руб. капитальных вложений. Всего прирост будет равен 38,4.
Рисунок 1 - Равномерное распределение капиталовложений
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
тыс
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 предприятие
2 предприятие
3 предприятие
4 предприятие
5 предприятие
Итак максимальный прирост при равномерном распределении равен.
38,4+44,4+28,2+40,6+31=182,6тыс. руб.
5.2 Метод наибольшей плановой эффективности
При этом методе вся сумма 300тыс. руб. отдается предприятию с наибольшей плановой эффективностью, то есть тому, которое при капиталовложениях 300тыс. руб. дает максимальный прирост продукции. По данным таблицы 1 видно, что это предприятие № 2. Если ему выделить 300тыс. руб., то максимальный прирост продукции будет 200 тыс. руб.
5.3 Самостоятельное интуитивное распределение
Из предположения о том, что при увеличении суммы капиталовложений, выделяемых конкретному предприятию, увеличивается прирост продукции, которое оно дает. Распределение базирующее на основе оценки фондорентабельности каждого вложения.
Для осуществления данного распределения рассчитаем фондорентабельность. Всех вложений в предприятие. Расчеты представим в таблице 10.
Таблица 10 - фондорентабельность капиталовложений
Распределяемая сумма
Фондорентабельность предприятий
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
50
0,60
0,40
0,40
0,80
0,60
100
0,83
0,75
0,61
0,62
0,72
150
0,65
0,67
0,75
0,65
0,72
200
0,64
0,75
0,70
0,67
0,61
250
0,63
0,66
0,61
0,64
0,59
300
0,65
0,07
0,60
0,62
0,63
Проанализировав величину фондорентабельности выделим максимальные. Максимальная эффективность вложений достигается при вложении во второе предприятие 50 тыс. руб., далее в четвертое 100 тыс. руб., в третье 150 тыс. руб.
Экономический эффект увеличения выпуска продукции.
40+83+112=235.
Таким образом интуитивное распределение с применением методик финансового анализа дало оптимальное распределение.
Заключение
При выделяемой сумме 300тыс. руб. между пятью предприятиями и с дискретой 50тыс. руб, распределение капиталовложений методом динамического программирования дает оптимальное распределение капиталовложений, которое дает прирост продукции 235тыс. руб.
X1*
0
x2*
50
x3*
100
x4*
0
x5*
150
При методе динамического программирования число рассматриваемых вариантов - 198, а если бы задача решалась методом полного перебора, то число вариантов возросло бы до 1287.
Равномерное распределение дает максимальный прирост продукции -182,6тыс. руб.
Выделение всей суммы капиталовложений предприятию с наибольшей эффективностью дает прирост продукции 200тыс. руб.
Интуитивное распределение (сформулированное самостоятельно) дает прирост продукции 235тыс. руб.
Литература
1.Мешковой Н.П. Лабораторные работы по экономике промышленности: Челябинск 2001.
2.Стандарты предприятия. Курсовые и дипломные проекты. Общие требования к оформлению: Челябинск 2007.
Нравится материал? Поддержи автора!
Ещё документы из категории финансы :
Чтобы скачать документ, порекомендуйте, пожалуйста, его своим друзьям в любой соц. сети.
После чего кнопка «СКАЧАТЬ» станет доступной!
Кнопочки находятся чуть ниже. Спасибо!
Кнопки:
Скачать документ