Параметры матрицы рассеяния могут быть рассчитаны по известной матрице проводимости четырехполюсника по формуле:

,

где – единичная матрица.

Необходимо отметить важную особенность параметров матрицы рассеяния, связанную с направлением прохождения сигнала. При изменении направления передачи изменятся лишь индексы в параметрах рассеяния ( на , на ), знаки же величин, входящих в уравнения (3.1) останутся прежними.

Установим связь между параметрами волновой теории (S-матрицей) и параметрами классической теории (Y-матрицей). Для этого рассмотрим четырехполюсники с направлениями падающих и отраженных волн, а также токов и напряжений, как показано на рисунках, и, соответствующие данным системам параметров, уравнения:

Рис. 3.2 Четырехполюсники в системе волновой и классической теорий

Учитывая введенные ранее обозначения для падающих и отраженных волн

,

а также выразив из этих уравнений токи и напряжения, подставим их в уравнения для S-параметров:

.

(минус, так как ток направлен из четырехполюсника).

2

U

1

U

1

I

2

I



1

U



1

U



2

U



2

U

Рис. 3.3 К расчету S-матрицы по матрице Y

Подставляя в уравнения для параметров, получим:

.

Приведем к общему знаменателю:

.

Перегруппируем слагаемые

.

и выразим из полученных уравнений падающие и отраженные волны:

.

Далее учтем нормировку матрицы проводимости: .

.

Первое уравнение получим в виде:

.

Преобразуем второе уравнение:

.

Получим:

Матрица коэффициентов полученной системы запишется:

.

Волновая матрица передачи. Если в качестве зависимых переменных выбрать волны на входе четырехполюсника – волну падающую на вход и волну отраженную от входа, а в качестве независимых переменных – волны на выходе - распространяющуюся к нагрузке и отраженную от нагрузки, то система уравнений, коэффициентами в которой будут параметры волновой матрицы передачи, запишется:

. (3.2)



1

u



2

u



2

u

г

R

г

E

н

Z



1

u

]

[

T

Описание четырехполюсников в виде волновой матрицы передачи удобно при их каскадном соединении. Результирующая матрица передачи в этом случае определится по соотношению:

.

Где k-количество каскадно соединенных четырехполюсников.

Можно показать, что для взаимных четырехполюсников справедливо соотношение , а для симметричных: .

Связь между волновой матрицей и матрицей классической теории Y устанавливают соотношения:

.

3.3. Расчет схемных функций по матрице передачи

Рассчитаем входной и выходной импедансы четырехполюсника, а также коэффициент передачи напряжения при произвольных нагрузках на входе и на выходе по А-матрице (или ABCD-матрице, как принято обозначать в зарубежных источниках) в соответствии с принятыми на рисунке обозначениями.



1

u



2

u



2

u

н

Z



1

u

2

u

г

Z

E

1

u

1

i

2

i

]

[

ABCD

. (3.3)

Определим сопротивления нагрузки и генератора:

; . (3.4)

Входное сопротивление определится в результате деления первого уравнения исходной системы на второе:

.

Физический смысл параметров А-матрицы передачи:

- обратный коэффициент передачи напряжения;

- сопротивление передачи;

- проводимость передачи;

- обратный коэффициент передачи тока.

Коэффициент передачи по напряжению от источника к нагрузке найдем, подставляя входное напряжение из (3.4), а затем входной ток из второго уравнения - в первое уравнение системы (3.3):

.

Для вывода выражения для схемной функции рассмотрим четырехполюсник с независимым источником напряжения на выходе:

2

u

г

Z

1

u

1

i

2

i

]

[

ABCD

Поставив в систему уравнений (3.3) входной и выходной токи с учетом знаков, получим:

, выражая

из первого уравнения и подставляя во второе – получим:

.

Коэффициент отражения от входа:

.

Коэффициент отражения от выхода:

.

3.4. Связь между системами волновых параметров

1. Связь между волновыми матрицами устанавливается соотношениями:

,

где .

Матрицы существуют, если .

2. Связь между матрицами волновой и классической теорий:

;

;

.