Федеральное Агентство по образованию

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра физики

ОТЧЕТ

Лабораторная работа по курсу "Общая физика"

ИЗУЧЕНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ

НА МАШИНЕ АТВУДА

Преподаватель Студент группы 645-1

___________ /____________. / __________ / ____________ /

___________20__ г. __________ 20__ г.

20__

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью работы является изучение закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда.

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА

Машина Атвуда

4

1

5

3

2

4

6

7

9

8

Рис.2.1.

1 -стойка; 2 - блок; 3 - нить; 4 - грузы; 5 - средний кронштейн; 6 - фотодатчик; 7 - линейка; 8 - миллисекундомер; 9 - опора.

Схема экспериментальной установки на основе машины Атвуда приведена на рис.2.1.

На вертикальной стойке 1 крепится легкий блок 2, через который перекинута нить 3 с грузами 4 одинаковой массы. В верхней части стойки расположен электромагнит, который может удерживать блок, не давая ему вращаться. На среднем кронштейне 5 закреплен фотодатчик 6. На корпусе среднего кронштейна имеется риска, совпадающая с оптической осью фотодатчика. Средний кронштейн имеет возможность свободного перемещения и фиксации на вертикальной стойке. На вертикальной стойке укреплена миллиметровая линейка 7, по которой определяют начальное и конечное положения грузов. Начальное положение определяют по нижнему срезу груза, а конечное - по риске на корпусе среднего кронштейна.

Миллисекундомер 8 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. Регулировочные опоры 9 используют для регулировки положения экспериментальной установки на лабораторном столе.

Принцип работы машины Атвуда заключается в том, что когда на концах нити висят грузы одинаковой массы, то система находится в положении безразличного равновесия. Если на правый груз положить перегрузок, то система грузов выйдет из состояния равновесия и начнет двигаться.

3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Средние значения времени < t > и квадрата времени < t² > прохождения грузом с перегрузом пути S:

(3.1)

(3.2)

Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути S:

(3.3)

Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути S:

σ_сл(t) = t(, n)  S(t) ; (3.4)

где t(, n) - коэффициент Стьюдента

Стандартная абсолютная погрешность измерения времени:

(3.5)

где

t_i - времени прохождения пути при i –ом измерении ( i =1. … , n),

n – число измерений, < t > - среднее значение времени прохождения пути.

Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути S:

σ(t²) = 2 <t> σ(t) (3.6)

Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния:

(3.7)

Угловой коэффициент экспериментальной прямой:

 = (3.8)

Величина ускорения, определяемого из линеаризованного графика:

a = 2² (3.9)

Абсолютную случайную погрешность ускорения _сл(a) рассчитываем методом наименьших квадратов.

Рассчитываем параметры линеаризованного графика

(y = f(x) = Ax + B) и случайные абсолютные погрешности параметров.

Расчет производится по формулам: (3.10)

куда входят следующие величины:

(3.11)

где n – число экспериментальных точек.

Абсолютная случайная погрешность определения углового коэффициента: _сл(β):

(3.12)

где вспомогательная величина:

(3.13)

Абсолютная случайная погрешность ускорения:

(a) = 4 ()  (3.14)

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.

Измеренные значения и результаты их обработки приведены в таблице 4.1.

Результаты измерений

Таблица 4.1

S₁ = 36 , см

S₂ = 31 , см

S₃ = 26 , см

S₄ = 21 , см

S₅ = 16 , см

Номер измерения

= 6 , см^1/2

=

5,568

, см^1/2

= 5,099 , см^1/2

= 4,583 , см^1/2

= 4 , см^1/2

t, c

t², c²

t, c

t², c²

t, c

t², c²

t, c

t², c²

t, c

t², c²

1

4,857

23,59

4,534

20,56

4,396

19,32

3,756

14,11

3,348

11,21

2

4,991

24,91

4,793

22,97

4,384

19,22

3,958

15,67

3,350

11,22

3

5,184

26,87

4,734

22,41

4,089

16,72

3,661

13,40

3,185

10,14

4

5,066

25,66

4,485

20,12

4,208

17,71

3,985

15,88

3,246

10,54

5

5,084

25,85

4,520

20,43

4,364

19,04

3,975

15,80

3,260

10,63

< t >, c

5,036

4,614

4,288

3,868

3,278

< t² >, c²

25,36

21,30

18,40

14,97

10,75

Средние значения времени < t > и квадрата времени < t² > прохождения пути S, приведенные в таблице 4.1, рассчитаны по выражениям 3.1 и 3.2 (число точек измерения n=5 ).

Для первой точки измерения (S₁ = 36 см):

Стандартную абсолютную погрешность измерения времени рассчитываем по формуле 3.5 для числа измерений n=5:

Δt₁= t₁−< t>₁ = 4,857−5,036 = -0,179 с; Δt₁² = (-0,179)² = 0,032 с²;

Δt₂= t₂−< t>₁ = 4,991−5,036 = -0,045 с; Δt₂² = (-0,045)² = 0,002 с²;

Δt₃= t₃−< t>₁ = 5,184−5,036 = 0,148 с; Δt₃² = (0,148)² = 0,022 с²;

Δt₄= t₄−< t>₁ = 5,066−5,036 = 0,030 с; Δt₄² = (0,030)² = 0,001 с²;

Δt₅= t₅−< t>₁ = 5,084−5,036 = 0,048 с; Δt₅² = (0,048)² = 0,002 с²;

№

измерения

№ опыта

t, с

Δt, с

Δt², с²

, с

S(t), с

σ(t),с

σ(t²), с²

1

1

4,857

-0,179

0,032

5,036

0,055

0,118

1,189

2

4,991

-0,045

0,002

3

5,184

0,148

0,022

4

5,066

0,030

0,001

5

5,084

0,048

0,002

t₁ = 5,036 ± 0,118, с

2

6

4,534

-0,080

0,006

4,614

0,063

0,130

1,200

7

4,793

0,179

0,032

8

4,734

0,120

0,014

9

4,485

-0,129

0,017

10

4,520

-0,094

0,009

t₂ = 4,614 ± 0,130, с

3

11

4,396

0,108

0,012

4,288

0,063

0,130

1,120

12

4,384

0,096

0,009

13

4,089

-0,199

0,040

14

4,208

-0,080

0,006

15

4,364

0,076

0,006

t₃ = 4,288 ± 0,130, с

4

16

3,756

-0,112

0,013

3,868

0,071

0,148

1,145

17

3,958

0,090

0,008

18

3,661

-0,207

0,043

19

3,985

0,117

0,014

20

3,975

0,107

0,012

t₄ = 3,868 ± 0,148, с

5

21

3,348

0,070

0,005

3,278

0,032

0,071

0,466

22

3,350

0,072

0,005

23

3,185

-0,093

0,009

24

3,246

-0,032

0,001

25

3,260

-0,018

0,0003

t₅ = 3,278 ± 0,071, с

Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути определяется по формуле 3.4. При доверительной вероятности =0,9 и числе измерений n =5 коэффициент Стьюдента t(, n) = 2,1:

σ_сл(t)₁ = 2,1*0,055 = 0,116 c ;

Результаты расчетов погрешностей

прямых и косвенных измерений времени и квадрата времени.

Таблица 4.2

Абсолютную систематическую приборную погрешность измерения времени определяем как половину цены наименьшего деления секундомера :

σ_сис(t) = 0,0005 с ;

Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути по формуле 3.3 :

Так как величина σ_сис(t) много меньше величины σ_сл(t)₁ (σ_сис(t) = 0,0005 с << σ_сл(t)₁ = 0,116 c), то в дальнейшем будем считать, что σ(t)₁ ≈ σ_сис(t)₁ .

Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути рассчитываем по формуле 3.6 :

σ(t²)₁ = 2×5,036×0,116 = 1,168 с² ;

Результаты измерений записываем в виде < t > ±  σ(t) :

t₁= 5,036±0,116 с.

Результаты расчетов случайной, приборной и общей погрешности измерений времени и квадрата времени приведены в таблице 4.2.

Абсолютную погрешность измерения расстояния определяем как половину цены деления линейки:

σ(S) = 0,05 см ;

Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния по формуле 3.7 :

Для остальных точек измерений (при других значениях S) расчет проводится аналогично.

Результаты расчетов приведены в таблицах 4.2 и 4.3.

Таблица 4.3.

n/n

S , см

σ(S), см

, см^0,5

σ(). см^0,5

, c

()², c²

() , c см^0,5

1

36

0,05

6

0,004

5,036

25,36

30,22

2

31

0,05

5,568

0,005

4,614

21,29

25,69

3

26

0,05

5,099

0,005

4,288

18,39

21,87

4

21

0,05

4,583

0,006

3,868

14,96

17,73

5

16

0,05

4

0,006

3,278

10,75

13,11



130

 

25,25

 

21,08

90,75

108,6

МНК

S₆

S₂

S₁

S₄

S₃

На основании данных, приведенных в таблицах 4.2, 4.3 строим графики зависимостей S = f₁(t) ( рис. 4.1.) и S = f₂(t²) ( рис. 4.2.), на графиках наносим доверительные интервалы.

t, с

S, см

S = f₁(t)

0

1

2

3

4

5

6

40

30

20

10

Рисунок 4.1. Зависимость пройденного пути S от времени t.

S, см

0

120

18

24

30

36

40

30

20

10

S = f₂(t²)

t², с²

6

Рисунок 4.2. Зависимость пройденного пути S от квадрата времени t².

На рис.4.3. представлен линеаризованный график = f₃(t) зависимости квадратного корня пройденного пути от времени t.

t, с

0

1

2

3

4

5

6

8

6

4

2

Δt

Рисунок 4.3. Зависимость от времени t.

На графике (рис. 4.3) видно, что прямая пересекает доверительные интервалы для всех экспериментальных точек.

Определим из графика угловой коэффициент прямой по формуле 3.8:

_граф = 5 / 8,3 = 1,19 см^0,5/с ;

Величину ускорения определим по формуле 3.9:

a_граф = 2×(1,19)² = 2,83 см/с² ;

По методу наименьших квадратов (МНК) рассчитаем параметр  линеаризованного графика =  t и случайную абсолютную погрешность параметра _сл( ).

По формулам 3.11, используя данные таблицы 4.3, определяем значение величин S₁ − S₆ для расчета по МНК (число точек n =5):

S₁ = 21,08 c; S₄ = 90,75 c² ;

S₂ = 25,25 см^1/2 ; S₆ = 130 см ;

S₃ = 108,6 cсм^1/2 ; S₅ = 5×90,75 − (21,08)² = 9,4 c  см^1/2 .

По формуле 3.10 определим параметр  линеаризованного графика:

 = (5×108,6 − 21,08 ×25,25) / 9,4 = 1,14 см^1/2/c.

Угловой коэффициент прямой  = 1,14 см^1/2/c.

Значение вспомогательной величины S₀ по формуле 3.13:

S₀ = 130/ 3 – (25,25² + 1,14 ²×9,4 ) / 15 = 0,01 см.

По формуле 3.12 определим погрешность вычисления углового коэффициента прямой:

() = (5×0,01² /9,4) ^0,5 = 0,01 см^1/2/c .

Величина ускорения по формуле 3.9 :

a = 2×1,14² = 2,6 см/с².

Абсолютная случайная погрешность ускорения по формуле 3.14 :

(a) = 4×1,14×0,01 = 0,046 см/с² .

Получаем:

a = (2,6 ±  0,046) см/с² = (2,6 ±  0,046)×10^-2 м/с² .

5. ВЫВОДЫ

В результате проделанной работы мы смогли в пределах погрешностей измерений построить линеаризованный график зависимости . Все точки в этой зависимости укладываются на прямую в пределах их погрешностей.

Подтвердили справедливость закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда:

при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью справедливо выражение S = at²/2 ,

где S – путь пройденный телом за время движения t,

a – ускорение движения.

В ходе работы определена величина ускорения и сделана оценка ее погрешности:

a = (2,46 ±  0,23)  10^-2 м/с² .

6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

6.1.Какие силы действуют на груз с перегрузом во время движения? 
Сила тяжести и сила натяжения нити. 

6.2.Запишите уравнения движения для  каждого из грузов. 
Уравнения движения грузов имеют вид: 
(M+m)g –T₁=(M+m)a₁ 
Mg –T₂ =Ma₂. 
А так как нить не растяжима, то а_1=;-а₂; если блок невесом, то Т₁=Т₂. 
Данные уравнения получены путем составления основного уравнения динамики для первого и второго грузов. 
6.3.Причина, по которым теоретические выводы не совпадают с результатами измерений. 
Погрешности измерений физических величин  (случайные и погрешности прибора) приводят к несовпадению теоретических результатов и результатов эксперимента 

6.4.Каким образом из линеаризованного графика можно оценить систематическую погрешность измерения времени. 
Систематическая погрешность приводит к тому, что прямая не будет проходить из начала координат. Величина отклонения от начала координат – систематическая погрешность. 
6.5. Укажите физические допущения, используемые при теоретическом анализе движения грузов. 
Блок и нить невесомы, нить нерастяжима, сила трения отсутствует.