Федеральное Агентство по образованию

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра физики

ОТЧЕТ

Лабораторная работа по курсу "Общая физика"

ИЗУЧЕНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ

НА МАШИНЕ АТВУДА

Преподаватель Студент группы 220201

___________ /____________. / Стороженко Сергей Валерьевич

___________2011 г. 2011 г.

2011

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью работы является изучение закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда.

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА

Машина Атвуда

4

1

5

3

2

4

6

7

9

8

Рис.2.1.

1 -стойка; 2 - блок; 3 - нить; 4 - грузы; 5 - средний кронштейн; 6 - фотодатчик; 7 - линейка; 8 - миллисекундомер; 9 - опора.

Схема экспериментальной установки на основе машины Атвуда приведена на рис.2.1.

На вертикальной стойке 1 крепится легкий блок 2, через который перекинута нить 3 с грузами 4 одинаковой массы. В верхней части стойки расположен электромагнит, который может удерживать блок, не давая ему вращаться. На среднем кронштейне 5 закреплен фотодатчик 6. На корпусе среднего кронштейна имеется риска, совпадающая с оптической осью фотодатчика. Средний кронштейн имеет возможность свободного перемещения и фиксации на вертикальной стойке. На вертикальной стойке укреплена миллиметровая линейка 7, по которой определяют начальное и конечное положения грузов. Начальное положение определяют по нижнему срезу груза, а конечное - по риске на корпусе среднего кронштейна.

Миллисекундомер 8 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. Регулировочные опоры 9 используют для регулировки положения экспериментальной установки на лабораторном столе.

Принцип работы машины Атвуда заключается в том, что когда на концах нити висят грузы одинаковой массы, то система находится в положении безразличного равновесия. Если на правый груз положить перегрузок, то система грузов выйдет из состояния равновесия и начнет двигаться.

3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Средние значения времени < t > и квадрата времени < t² > прохождения грузом с перегрузом пути S:

(3.1)

(3.2)

Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути S:

(3.3)

Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути S:

σ_сл(t) = t(, n)  S(t) ; (3.4)

где t(, n) - коэффициент Стьюдента

стандартная абсолютная погрешность измерения времени:

(3.5)

где

t_i - времени прохождения пути при i –ом измерении ( i =1. … , n),

n – число измерений, < t > - среднее значение времени прохождения пути.

Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути S:

σ(t²) = 2 <t> σ(t) (3.6)

Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния:

(3.7)

Угловой коэффициент экспериментальной прямой:

 = (3.8)

Величина ускорения, определяемого из линеаризованного графика:

a = 2² (3.9)

Абсолютную случайную погрешность ускорения _сл(a) рассчитываем методом наименьших квадратов.

Рассчитываем параметры линеаризованного графика

(y = f(x) = Ax + B) и случайные абсолютные погрешности параметров.

Расчет производится по формулам: (3.10)

куда входят следующие величины:

(3.11)

где n – число экспериментальных точек.

Абсолютная случайная погрешность определения углового коэффициента: _сл(β):

(3.12)

где вспомогательная величина:

(3.13)

Абсолютная случайная погрешность ускорения:

(a) = 4 ()  (3.14)

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.

Макет № 82

Измеренные значения и результаты их обработки приведены в таблице 4.1.

Результаты прямых и косвенных измерений Таблица 4.1

S₁ = 10, см

S₂ = 20, см

S₃ = 30, см

S₄ = 35, см

S₅ =42, см

Номер измерения

=3,16 см^1/2

= 4,47 см^1/2

= 5,48 см^1/2

= 5,92 см^1/2

=6,48 см^1/2

t, c

t², c²

t, c

t², c²

t, c

t², c²

t, c

t², c²

t, c

t², c²

1

1,558

2,427

2,425

5,881

3,186

10,150

3,297

10,870

3,627

13,155

2

1,423

2,025

2,178

4,744

2,964

8,785

3,017

9,102

3,538

12,517

3

1,446

2,091

1,856

3,445

2,585

6,682

3,015

9,090

3,145

9,891

4

1,341

1,798

1,554

2,415

2,662

7,086

2,783

7,745

2,775

7,701

5

1,376

1,893

1,396

1,949

2,505

6,275

2,694

7,257

2,530

6,401

< t >, c

1,43

1,88

2,78

2,96

3,12

< t² >, c²

2,05

3,69

7,79

8,81

11,33

Средние значения времени < t > и квадрата времени < t² > прохождения пути S, приведенные в таблице 4.1, рассчитаны по выражениям 3.1 и 3.2 (число точек измерения n=5 ).

Для первой точки измерения (S₁ = 10 см):

Стандартную абсолютную погрешность измерения времени рассчитываем по формуле 3.5 для числа измерений n=5:

Δt₁= t₁−< t>₁ = 1,558−1,43 = 0,13 с; Δt₁² = ( 0,13)² = 0,0169 с²;

Δt₂= t₂−< t>₁ = 1,423−1,43 = -0,007 с; Δt₁² = (-0,007)² = 0,000049 с²;

Δt₃= t₃−< t>₁ = 1,446−1,43 = 0,016 с; Δt₁² = (0,016)² = 0,000256 с²;

Δt₄= t₄−< t>₁ = 1,341−1,43 = -0,089 с; Δt₁² = (-0,089)² = 0,00792 с²;

Δt₅= t₅−< t>₁ = 1,376−1,43 = -0,054 с; Δt₁² = (-0,0584)² = 0,002916 с²;

0,0169 +0,000049+0,000256+0,00792+0,002916

S(t)₁ = 5x(5-1) = 0,001 с;

Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути определяется по формуле 3.4. При доверительной вероятности =0,9 и числе измерений n =5 коэффициент Стьюдента t(, n) = 2,1:

σ_сл(t)₁ = 2,1×0,001 = 0,0021 c ;

Результаты расчетов погрешностей

прямых и косвенных измерений времени и квадрата времени.

Таблица 4.2

№

измерения

№ опыта

t, с

Δt, с

Δt², с²

, с

S(t), с

σ(t),с

σ(t²), с²

1

1

1,558

0,13

0,0169

1,43

0,001

0,0021

0,006

2

1,423

-0,007

0,000049

3

1,446

0,016

0,000256

4

1,341

-0,089

0,00792

5

1,376

-0,054

0,002916

t₁ = 1,43 ± 0,0021, с

2

6

2,425

0,545

0,297025

1,88

0,036

0,076

0,286

7

2,178

0,298

0,088804

8

1,856

-0,024

0,000576

9

1,554

-0,326

0,106276

10

1,396

-0,484

0,234256

t₂ = 1,88± 0,076 с

3

11

3,186

0,406

0,164836

2,78

0,012

0,0252

0,14

12

2,964

0,184

0,033856

13

2,585

-0,195

0,038025

14

2,662

-0,118

0,013924

15

2,505

-0,275

0,075625

t₃ = 2,78 ± 0,0252, с

4

16

3,297

0,337

0,113569

2,96

0,011

0,0231

0,14

17

3,017

0,057

0,003249

18

3,015

0,055

0,003025

19

2,783

-0,177

0,031329

20

2,694

-0,266

0,070756

t₄ = 2,96± 0,0231, с

5

21

3,627

0,507

0,257049

3,12

0,045

0,0945

0,56

22

3,538

0,418

0,174724

23

3,145

0,025

0,000625

24

2,775

-0,345

0,119025

25

2,530

-0,59

0,3481

t₅ = 3,12 ± 0,0945, с

Абсолютную систематическую приборную погрешность измерения времени определяем как половину цены наименьшего деления секундомера :

σ_сис(t) = 0,0005 с ;

Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути по формуле 3.3 :

σ(t)1 = 0,0005²+0,0021² = 0,0021 с;

Так как величина σ_сис(t) много меньше величины σ_сл(t)₁ (σ_сис(t) = 0,0005 с << σ_сл(t)₁ = 0,0021 c), то в дальнейшем будем считать, что σ(t)₁ ≈ σ_сис(t)₁ .

Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути рассчитываем по формуле 3.6 :

σ(t²)₁ = 2×1,43×0,0021 = 0,006 с² ;

Результаты измерений записываем в виде < t > ±  σ(t) :

t₁= 1,43±0,0021 с.

Результаты расчетов случайной, приборной и общей погрешности измерений времени и квадрата времени приведены в таблице 4.2.

Абсолютную погрешность измерения расстояния определяем как половину цены деления линейки:

σ(S) = 0,05 см ;

Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния по формуле 3.7 :

Для остальных точек измерений (при других значениях S) расчет проводится аналогично.

Результаты расчетов приведены в таблицах 4.2 и 4.3.

Таблица 4.3.

n/n

S , см

σ(S), см

, см^0,5

σ(). см^0,5

, c

()², c²

() , c см^0,5

1

10

0,5

3,16

0,01

1,43

2,05

4,519

2

20

0,5

4,47

0,01

1,88

3,69

8,404

3

30

0,5

5,48

0,01

2,78

7,79

15,234

4

35

0,5

5,92

0,01

2,96

8,81

17,523

5

42

0,5

6,48

0,01

3,12

11,31

20,218



137

 

25,51

 

12,17

33,65

65,90

МНК

S₆

S₂

S₁

S₄

S₃

На основании данных, приведенных в таблицах 4.2, 4.3 строим графики зависимостей S = f₁(t) ( рис. 4.1.) и S = f₂(t²) ( рис. 4.2.), на графиках наносим доверительные интервалы.

t, с

S, см

S = f₁(t)

0

1

2

3

4

5

6

40

30

20

10

Рисунок 4.1. Зависимость пройденного пути S от времени t.

S, см

0

4

8

12

16

20

24

40

30

20

10

S = f₂(t²)

t², с²

Рисунок 4.2. Зависимость пройденного пути S от квадрата времени t².

На рис.4.3. представлен линеаризованный график = f₃(t) зависимости квадратного корня пройденного пути от времени t.

t, с

0

1

2

3

4

5

6

8

6

4

2

Δt

Рисунок 4.3. Зависимость от времени t.

На графике (рис. 4.3) видно, что прямая пересекает доверительные интервалы для всех экспериментальных точек.

Определим из графика угловой коэффициент прямой по формуле 3.8:

_граф = 4 / 2,3 = 1,73 см^0,5/с ;

Величину ускорения определим по формуле 3.9:

a_граф = 2×1,73² =5,98 см/с² ;

По методу наименьших квадратов (МНК) рассчитаем параметр  линеаризованного графика =  t и случайную абсолютную погрешность параметра _сл( ).

По формулам 3.11, используя данные таблицы 4.3, определяем значение величин S₁ − S₆ для расчета по МНК (число точек n =5):

S₁ = 12,17 c; S₄ = 33,65 c² ;

S₂ = 25,51см^1/2 ; S₆ = 137 см ;

S₃ = 65,90 cсм^1/2 ; S₅ = 5×33,65 − 12,17 ² = 20,14 c  см^1/2 .

По формуле 3.10 определим параметр  линеаризованного графика:

 = (5×65,90 − 12,17 ×25,51) / 20,14 = 0,94 см^1/2/c.

Угловой коэффициент прямой  = 0,94 см^1/2/c.

Значение вспомогательной величины S₀ по формуле 3.13:

S₀ = 137/ 3 – (25,51² + 0,94 ²×20,14 ) / 15 = 1,03 см.

По формуле 3.12 определим погрешность вычисления углового коэффициента прямой:

() = (5×1,03² /20,14) ^0,5 = 0,513 см^1/2/c .

Величина ускорения по формуле 3.9 :

a = 2×0,94² = 1,76 см/с².

Абсолютная случайная погрешность ускорения по формуле 3.14 :

(a) = 4×0,94×0,513 = 1,93 см/с² .

Получаем:

a = (1,76 ± 1,93) см/с² = (1,76 ± 1,93)×10^-2 м/с² .

5. ВЫВОДЫ

В результате проделанной работы мы смогли в пределах погрешностей измерений построить линеаризованный график зависимости . Все точки в этой зависимости укладываются на прямую в пределах их погрешностей.

Подтвердили справедливость закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда:

при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью справедливо выражение S = at²/2 ,

где S – путь пройденный телом за время движения t,

a – ускорение движения.

В ходе работы определена величина ускорения и сделана оценка ее погрешности:

a = (1,76 ±  1,93)  10^-2 м/с² .

6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие силы действуют на груз с перегрузком во время движения?

На груз с перегрузом во время движения действует сила тяжести F_тяж2 и противоположно направленная сила натяжения нити T₂.

Сила тяжести F_тяж2 = (M + m)g, где M – масса груза, m – масса перегрузка, g – ускорение свободного падения.

2. Запишите уравнение движения для каждого из грузов.

Уравнение движения грузов имеют вид:

(M + m)g – T₁ = (M + m)a₁ - груз с перегрузом (справа)

Mg – T₂ = Ma₂ -груз (слева)

В силу не растяжимости нити a₂= - a₁; при невесомом блоке T₁ = T₂ имеем следующие уравнения движения:

(M + m)g – T = (M + m)a

Mg – T = - Ma

3. Укажите возможные причины, обуславливающие несовпадение теоретических выводов с результатами измерений.

- физические допущения, принятые при теоретическом анализе движения грузов в эксперименте; погрешности измерения величин;

- точность вычислений.

4. Каким образом из линеаризованного графика можно оценить систематическую погрешность измерения времени?

Систематическая погрешность измерения времени σ_сис(t) приводит к тому, что прямая на линеаризованном графике не проходит через начало координат. Величина отрезка, отсекаемого прямой при пересечении с осью t ( от точки пересечения до начала координат), есть величина систематической погрешности измерения времени σ_сис(t).

5. Укажите физические допущения, используемые при теоретическом анализе движения грузов в машине Атвуда.

Идеализация движения грузов на машине Атвуда:

- нить и блок невесомы, нить не растяжима, сила трения на оси блока мала, можно пренебречь.