Определение момента инерции тела и проверка теоремы Штейнера методом крутильных колебаний

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ.

Цель работы: изучить метод крутильных колебаний (трифилярный подвес) и применить его для определения момента инерции тела и проверки теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Приборы и принадлежности: установка, секундомер, штангенциркуль, линейка, образцы для измерений.

ТЕОРИЯ МЕТОДА И ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ.

Установка для определения момента инерции тела, которая применяется в данной работе, называется трифилярным подвесом. Состоит она из диска (платформы) (рис.1), горизонтально подвешенной на трех симметрично расположенных нитях 2. Вверху нити прикреплены к основанию 3, имеющему три симметрично расположенных выступа. Основание с помощью болта 5 и упругой пластины 6 соединено с кронштейном 4.

Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, проходящей через ее середину. При этом центр тяжести платформы перемещается вдоль оси вращения.

Пусть масса платформы m0, вращаясь в некотором направлении, поднялась на высоту h от положения равновесия. Изменение ее потенциальной энергии при этом составит

E1=m0gh (1)

где g – ускорение силы тяжести.

Возвратившись в положение равновесия, платформа будет иметь угловую скорость 0 и кинетическая энергия ее будет

E2=I (2)

где I – момент инерции платформы относительно оси вращения.

Пренебрегая работой сил трения, закон сохранения механической энергии запишется

I= m0gh (3)

При малой амплитуде колебания платформы будут гармоническими, т.е. зависимость углового смещения  от времени t имеют вид

=sin (4)

где  - амплитуда;

Т – период колебаний.

В свою очередь угловая скорость = или =. Максимальное изменение угловой скорости 0 , соответствующее моменту времени, когда платформа проходит через положение равновесия

= (5)

Из (3) и (5) имеем

mgh=I()² (6)

Найдем h. Пусть l – длина нитей подвеса (рис.2), R – расстояние от центра платформы до точек крепления нитей на ней, r – радиус окружности, на которой лежат точки крепления нитей к основанию.

Из рис.2 видим, что

h=OO1=BC-BC1=

В свою очередь

Поэтому

При малых углах смещения

; (BC+BC1)=2l

учитывая это, будем иметь

(7)

тогда из (6) и (7) находим

(8)

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.

Упражнение 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА.

Убедиться в том, что платформа расположена горизонтально.
Определить R,r,l (масса платформы m0=(1.0250.0005)кг.), R и r удобно определить из известной геометрической формулы, измерив предварительно с помощью линейки расстояние между точками подвеса двух нитей вверху и внизу.
Путем несильного нажатия на край основания 3 (рис.1) сообщить платформе вращательный импульс и при помощи секундомера измерить время 50-70 полных ее колебаний. Опыт повторить 3-5 раз.
Найти период Т0 из этих этих колебаний по формуле (8) определить I0 – момент инерции платформы. Результаты занести в таблицу 1.
Платформу нагрузить исследуемым телом, предварительно определив его массу m. Определить период колебаний T1 системы тело-платформа (масса системы – m+m0) и момент инерции системы I1. Величина момента инерции тела найдется как разница I=I1-I0. Опыт повторить 3-5 раз. Результаты измерений занести в таблицу 2.
Найти ошибку определения I.
Сравнить полученное значение I и I0с теоретическим, вычисленным по формуле момента инерции для данного тела.

Упражнение 2: ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ГЮЙГЕНСА- ШТЕЙНЕРА (ШТЕЙНЕРА-ЖУРАВСКОГО).

Взять два одинаковых тела и в соответствии с упражнением 1 определить их момент инерции 2I2. Для этого, положив тела одно на другое в центре платформы так, чтобы центры масс тел лежали на одной вертикали с центром масс платформы. Момент инерции одного тела относительно проходящей через центр масс оси будет равен I2. Опыт повторить 3-5 раз. Результаты занести в таблицу 3.
Расположить тела на некотором расстоянии друг от друга симметрично относительно центра платформы.
Определить расстояние a от центра масс из тел до оси вращения и его момент инерции I3. Из опыта найти момент инерции системы из двух тел 2I3. Опыт повторить 3-5 раз. Результаты измерений занести в таблицу 4.
Найти I3 по теореме Штейнера