Определение устойчивости равновесия Расчет зависимости напряженности электрического поля от

302

Два положительных точечных заряда и закреплены на расстоянии друг от друга. Определить, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд так, чтобы он находился в равновесии. Указать, какой знак должен иметь этот заряд для того, чтобы равновесие было устойчивым, если перемещение зарядов возможны только вдоль прямой, проходящей через закрепленные заряды.

Решение:

Определим знак заряда, при котором равновесие будет устойчивым.

Если заряд отрицательный, то при смещении его влево сила (направленная влево) возрастает, а сила (направленная вправо) возрастает. Под действием этой силы заряд удаляется от положения равновесия. То же происходит и при смещении заряда вправо. Равновесие будет неустойчивым.

Если заряд положителен, то при смещении его влево сила (направленная вправо) возрастает, а сила (направленная влево) убывает, следовательно, результирующая сила будет направлена вправо и заряд возвращается к положению равновесия. То же происходит и при смещении заряда вправо. Равновесие будет устойчивым.

Предположим, что заряд находится в точке . Тогда условие равновесия заряда запишется так:

Подставив в уравнение вместо сил их значения по закону Кулона, и произведя сокращения, получим:

Решая относительно , получаем:

Так как –эта точка расположена вне отрезка , что невозможно для равновесия заряда .

Произведем вычисления:

Ответ: положительный.

322

На двух концентрических сферах радиусом и равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями и соответственно. Используя теорему Гаусса, найти зависимость напряженности электрического поля от расстояния для трех областей: и . Принять , . 2) вычислить напряженность в точке, удаленной от центра на расстояние и указать направление вектора для значений , . 3) построить график .

Решение:

1) Для определения напряженности в области проведем гауссову поверхность радиусом .

По теореме Остроградского –Гаусса имеем:

Для области : -заряда внутри сферы нет

Напряженность поля в области равна нулю.

Для области проведем гауссову поверхность радиуса :

Площадь гауссовой поверхности:

Площадь поверхности шара:

Для области проведем гауссову поверхность радиуса . Гауссова поверхность охватывает обе сферы:

2) Найдем напряженность для точки, удаленной от центра на расстояние :

3) Строим график :

3) Строим график Е(r):

-9

-6

-3

-12

-15

-18

-21

III

332

Электрическое поле создано зарядами и , находящимися в точках и соответственно (). Точка находится на прямой (). Точка находится на продолжении отрезка (). Определить работу сил поля, совершаемую при перемещении заряда из точки в точку .

Решение:

Для определения работы А₁₂ сил поля воспользуемся соотношением:

Расстояние между точкой, в которой расположен заряд и точкой по теореме Пифагора равно

Применяя принцип суперпозиции электрических полей, определим потенциалы и точек и поля:

Разность потенциалов:

Искомая работа:

Проверим единицы измерения:

Произведем вычисления:

Ответ: .

352

Конденсаторы емкостями , и соединены последовательно и находятся под напряжением . Определить напряжение и заряд на каждом из конденсаторов.

Решение:

Так как конденсаторы соединены последовательно, то:

Заряд:

Произведем вычисления:

Разности потенциалов:

Ответ: .

402

По двум скрещенным под прямым углом бесконечно длинным проводам текут токи и (). Определить магнитную индукцию в центре отрезка, перпендикулярного к обоим проводам, если длина его составляет . Указать направление вектора для выбранных направлений тока.

Решение:

В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей, магнитная индукция , создаваемая токами и определяется выражениями:

Направление векторов и найдем по правилу буравчика. Вектор , создаваемый 2-м проводом направлен перпендикулярно плоскости рисунка «от нас». Вектор , создаваемый 1-м проводом, направлен вверх от точки . Так как , скалярно получаем:

Магнитные индукции, создаваемые проводами определим по формулам расчета магнитной индукции для бесконечно длинного прямолинейного провода с током:

В нашем случае: ;

Получаем:

Искомая магнитная индукция:

Произведем вычисления:

Ответ:

412

Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две ее стороны параллельны проводу. По рамке и проводу текут одинаковые токи . Определить силу , действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки находится от него на расстоянии, равном ее длине.

Решение:

Сила, действующая на провод с током в магнитном поле:

где -угол между направлением тока в проводе и вектором магнитной индукции .

На стороны рамки, расположенные перпендикулярно проводу, действуют силы равные по модулю и противоположные по направлению, которые уравновешивают друг друга.

Магнитная индукция поля прямого тока:

Сила, действующая на ближайшую сторону рамки:

Сила, действующая на дальнюю сторону рамки:

Суммарная сила:

Проверим единицы измерения:

Произведем вычисления:

Ответ: .

442

Альфа-частица влетела в скрещенные под прямым углом магнитное () и электрическое поля. Определить ускорение альфа-частицы в начальный момент времени, если ее скорость перпендикулярна векторам и , причем силы, действующие со стороны этих полей, противоположно направлены.

Решение:

На движущуюся заряженную частицу в скрещенных магнитном и электрическом полях действуют две силы:

Сила Лоренца, направленная перпендикулярно скорости и вектору магнитной индукции и кулоновская сила , противоположно направленная вектору напряженности электростатического поля.

Ускорение можно найти по 2-му закону Ньютона:

Куловская сила:

Сила Лоренца:

Искомое ускорение электрона:

-масса альфа-частицы

- заряд -частицы

Проверим единицы измерения:

Произведем вычисления:

Ответ: .

462

В проволочное кольцо, присоединенное к баллистическому гальванометру, вставили прямой магнит. При этом по цепи прошел заряд . Определить изменение магнитного потока через кольцо; если сопротивление цепи гальванометра .

Решение:

В тот момент, когда вставили магнит, произошло изменение магнитного поля. В кольце возникнет ЭДС индукции, определяемая основным законом электромагнитной индукции:

Возникшая ЭДС индукции вызовет в рамке индукционный ток, мгновенное значение которого можно определить, воспользовавшись законом Ома для полной цепи:

где –сопротивление гальванометра

Проинтегрируем последнее равенство:

Откуда искомая величина:

Проверим единицы измерения:

Произведем вычисления:

Ответ: .