1. Задание 1 СТАТИКА. Для одного из заданных положений плоского механизма составить уравнения и определить величину и направление технологической силы Q_m, удерживающую механизм в равновесии при действии на звенья сил тяжестей и уравновешивающего момента M_ур =0,8 Нм, приложенного к ведущему звену AB.

2. Задание 2 КИНЕМАТИКА. Для заданных положений ведущего звена построить планы скоростей и ускорений (при w₁=50 ед/с), и определить величину и направление линейных скорости и ускорения т.С.

3. Задание 3 ДИНАМИКА. Для одного из заданных положений механизма ABCD, при действии на ведущее звено AB внешнего момента М_дв = 0,8 Н∙м и технологической силы Q_т, действующей на звено CD в точке К, методом КИНЕТОСТАТИКИ определить значения реакций в опорах (точки А и D), приняв ω₁ = 50 рад/сек. Написать уравнение для определения кинетической энергии системы. Значения сил тяжести принять равным: Р₁ = 0,5 Н, Р₂ = 1,5 Н, Р₃ = 0,7 Н. Длины звеньев механизма измерить на рисунке.

Рисунок . Исходные данные.

1. Задание 1. СТАТИКА

Напишем условия равновесия для положения механической системы с учетом сил тяжестей звеньев, уравновешивающего момента M_ур равного движущему моменту M_дв, показанной на рисунке 2. Данная схема представляет собой систему тел. Для решения данной задачи необходимо расчленить систему на стержни, а действие утраченных связей заменить реакциями (внутренними силами).

Рисунок . Схема с указанием сил тяжести.

Изобразим силы тяжести звеньев, силы реакции опор.

Равновесие звена DC

Рисунок . Равновесие звена DC.

Запишем уравнения статики для звена DC. Для этого выберем положение начала координат для данного звена в точке D.

\* MERGEFORMAT (.)

\* MERGEFORMAT (.)

\* MERGEFORMAT (.)

Равновесие звена NBC

Рисунок . Равновесие звена NBC

Запишем уравнения статики для звена NBC. Для этого выберем положение начала координат для данного звена в точке C.

\* MERGEFORMAT (.)

\* MERGEFORMAT (.)

\* MERGEFORMAT (.)

Равновесие звена AB

Рисунок . Равновесие звена AB.

Запишем уравнения статики для звена NBC. Для этого выберем положение начала координат для данного звена в точке А.

\* MERGEFORMAT (.)

\* MERGEFORMAT (.)

\* MERGEFORMAT (.)

Для нахождения технологической силы воспользуемся уравнением :

\* MERGEFORMAT (.)

Так как , а также , то выражение принимает вид:

.

Таким образом, осталось определить значения и . Значения этих реакций связи определим из уравнений , , :

\* MERGEFORMAT (.)

Так как , а также , то:

Формула принимает следующий вид:

.

Теперь необходимо совместно решить систему уравнений, состоящую из уравнений и .

Перепишем каждое уравнение относительно и :

Подставим значения длин звеньев, сил тяжести и уравновешивающего момента.

В результате решения данной системы получаем следующие значения:

= 55,1 Н;

= -16,4 Н.

При подстановке полученных значений реакций связи в уравнение , получим значение технологической силы:

= 58,9 Н.

Задание 2. КИНЕМАТИКА

Построение плана скоростей. Определяем виды относительного движения звеньев: звенья 1 и 3 совершают вращательное движение, а звено 2 – плоско-параллельное.

Линейную скорость точки B звена 1 определяем по формуле :

,

где – угловая скорость звена 1, с^-1.

= 1 м/с.

Необходимо построить планы скоростей и ускорений для трёх положений звеньев механизма. Первое из положений показано на рисунке 1, при котором угол φ₁ = 150º.

На плане скоростей при φ₁ = 150º (рисунок 6) скорость V_B изображается отрезком p_Vb. Зададимся величиной этого отрезка мм и определим масштабный коэффициент плана скоростей:

= 0,05 .

Скорость точки C определяется из векторной системы уравнений:

где - векторы абсолютных скоростей точек; - векторы относительных скоростей (скорость точки С вокруг B и скорость точки С вокруг опоры D).

Система уравнений решается графическим способом. При этом учитывается, что , . Скорость точки D равна нулю (на плане скорость совпала с полюсом p_V).

Выполним построения для нахождения точки C:

1) Построим скорость , т.е. скорость точки С вокруг точки D – проведем на плане направление вектора . Из полюса p_V проведем линию перпендикулярно звену CD.

2) Построим скорость , т.е. скорость точки С вокруг точки B – проведем на плане направление вектора через точку b плана скоростей.

3) Точка плана скоростей лежит на пересечении двух направлений и . Достраиваем вектор - скорость точки С.

4) Находим величину скорости точки С из плана скоростей:

где - длина вектора на плане скоростей, мм.

Для плана механизма с φ₁ = 150º:

= 1,25 м/с.

= 1,8 м/с.

= 17 с^-1.

= 21 с^-1.

Для плана механизма с φ₁ = 180º:

= 0,4 м/с.

= 1,35 м/с.

= 13 с^-1.

= 7 с^-1.

Для плана механизма с φ₁ = 210º:

= 0,5 м/с.

= 0,65 м/с.

= 6 с^-1.

= 8 с^-1.

Построение плана ускорений. Ускорение точки B звена 1, совершающего вращательное движение, определяем по формуле

= 50 м/с².

Выбираем на плоскости точку p_a – полюс плана ускорений. Задаемся величиной отрезка p_ab = 50 мм, изображающего на плане ускорений нормальную составляющую, и определим масштаб плана ускорений

= 1 .

Ускорение точки C определяется из векторных уравнений:

где – векторы абсолютных ускорений точек, причем ;

– векторы нормальных ускорений;

– векторы тангенциальных ускорений.

Построение плана ускорений для плана механизма с φ₁ = 150º (рисунок 6):

Определим значения и длины отрезков нормальных ускорений:

= 31 м/с².

в масштабе плана ускорений:

= 31 мм.

= 26 м/с².

в масштабе плана ускорений:

= 26 мм.

Построение плана ускорений для плана механизма с φ₁ = 180º (рисунок 7):

Определим значения и длины отрезков нормальных ускорений:

= 17 м/с².

в масштабе плана ускорений:

= 17 мм.

= 3 м/с².

в масштабе плана ускорений:

= 3 мм.

Построение плана ускорений для плана механизма с φ₁ = 210º (рисунок 8):

Определим значения и длины отрезков нормальных ускорений:

= 4 м/с².

в масштабе плана ускорений:

= 4 мм.

= 4 м/с².

в масштабе плана ускорений:

= 4 мм.

Угловые ускорения звеньев 2 и 3 определяем по формулам:

;

Угловые ускорения для плана механизма с φ₁ = 150º:

= 57 с^-2;

= 1117 c^-2.

Угловые ускорения для плана механизма с φ₁ = 180º:

= 400 с^-2;

= 1400 c^-2.

Угловые ускорения для плана механизма с φ₁ = 210º:

= 457 с^-2;

= 933 c^-2.

Выполним построения для нахождения точки C (рисунки 6, 7, 8):

1) Для этого из точки b плана ускорений откладываем параллельно звену BC отрезок (нормальное направление ускорения) по направлению в сторону движения от точки С к точке В. Перпендикулярно BC проводим через конец этого отрезка линию - тангенциальное направление ускорения.

2) Из полюса p_a плана ускорений откладываем параллельно звену CD отрезок (нормальное направление ускорения) по направлению в сторону движения от точки С к точке D. Перпендикулярно CD проводим через конец этого отрезка линию - тангенциальное направление ускорения.

3) Пересечением 2-линий тангенциальных направлений получится точка C – вектор .

4) Находим величину ускорения точки С из плана ускорений:

• Для плана механизма с φ₁ = 150º:

= 73 м/с²;

• Для плана механизма с φ₁ = 180º:

= 84 м/с²;

• Для плана механизма с φ₁ = 210º:

= 57 м/с²;

ε₃

ω₁

ε₂

ω₂

ω₃

Рисунок . План механизма (а), скоростей (б) и ускорений (в) при φ₁ = 150º.

ε₃

ω₃

ε₃

ε₂

ω₂

ω₁

Рисунок . План механизма (а), скоростей (б) и ускорений (в) при φ₁ = 180º.

ω₁

ω₂

ε₂

ω₃

ε₃

Рисунок . План механизма (а), скоростей (б) и ускорений (в) при φ₁ = 210º.

Построение траекторию движения точки N. Для этого построим планы механизма для 12-ти положений: φ₁ = 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330, 360.

Рисунок . Построение планов механизма для 12-ти положений.

Построение планов механизма будем производить методом засечек:

• Определим траекторию движения точки B путём построения с помощью циркуля окружности с центром A радиусом, равным l₁;

• Далее с помощью циркуля построим дугу траектории движения точки C. Затем для каждого положения точки B с помощью циркуля проведём засечки на дуге, определяющей траекторию движения точки C, радиусом l₂. На пересечении засечек с дугой, определяющей траекторию движения точки C, будут определены положения точки C;

• Далее для каждого положения точки B с помощью циркуля проводим дугу радиусом 50 мм, проводим прямую через точку B, составляющую со звеном CB угол 15º. На пересечении полученной дуги с прямой получим точку N;

• Далее соединим все полученные положения точки N таким образом получив траекторию движения точки N.

Задание 3. ДИНАМИКА

Значения реакций в опорах определим для положения механизма φ₁ = 150º, изображённого на рисунке 10

Рисунок . Положение механизма при φ₁ = 150º

Изобразим активные силы и силы инерции, действующие на систему (рисунок 10).

Чтобы найти реакции звеньев 1 и 3 последовательно рассмотрим "равновесие" двух кинематических групп.

Расчёт звеньев 2-3.

Рисунок . "Равновесие" кинематической группы 2-3.

Вначале рассмотрим звено 2:

.

0,008 Н∙м.

Направлен момент инерции в сторону, противоположную угловому ускорению.

Определим из уравнения статики :

= 9,2 Н.

Направлена сила инерции в сторону, противоположную ускорению центра масс системы.

= 1,8 Н.

Согласно измерениям на рисунке 6 и значению :

60 м/с².

Рассмотрим сумму моментов для группы звеньев 2-3 относительно точки D:

Определим из уравнения статики :

= 0,03 Н∙м.

= 3,7 Н.

Согласно измерениям на рисунке 6 и значению :

36 м/с².

= 40,6 Н.

Полная реакция в паре B равна:

= 40,6 Н.

Векторное уравнение сил для группы 2-3 позволяет графически определить вектор по величине и направлению (рисунок 12).

Строим план сил в масштабе

= 0,5 Н/мм.

Найдем величины отрезков, изображающих на плане сил векторы сил:

= 2 мм;

= 118 мм;

= 3 мм;

= 18 мм;

= 4 мм;

= 81 мм;

Из плана сил определяем

= 41 Н.

Рисунок . План сил для определения .

Расчёт начального звена 1.

Рисунок . "Равновесие" начального звена 1

Из векторного уравнения сил для звена 1 графически определяем вектор по величине и направлению:

Строим план сил (рисунок 14) в масштабе

= 0,5 Н/мм.

Найдем величину отрезка, изображающего на плане сил вектор силы :

= 1 мм;

Из плана сил определяем

= 40,5 Н.

Рисунок . План сил для определения .

Напишем уравнение для определения кинетической энергии системы:

.

Для определения кинетической энергии системы определим кинетическую энергию каждого из тел, входящих в систему.

Кривошип 1 совершает вращательное движение относительно неподвижной оси, поэтому его кинетическая энергия равна:

,

где – момент инерции кривошипа 1 относительно точки A, кг∙м².

Рычаг 2 совершает плоскопараллельное движение, поэтому его кинетическая энергия равна:

,

где - скорость центра масс рычага 2, м/с;

- момент инерции рычага 2 относительно центра масс, кг∙м².

Кривошип 3 совершает вращательное движение относительно неподвижной оси, поэтому его кинетическая энергия равна:

,

где – момент инерции кривошипа 3 относительно центра масс, кг∙м².