(2.2)

так как , где ω - частота световых колебаний, а с - скорость света, то отсюда следует, что

Встречающиеся в нерелятивистской механике энергии должны быть меньше собственной, энергии частицы mс², поэтому

(2.3)

т. е. энергия применяемых в световом пучке квантов света должна быть больше, нежели разность между высотой потенциального барьера и энергией частицы. Таким образом, этот пример иллюстрирует положение о необходимости применить для измерения координаты приборы, обладающие достаточно большой энергией, чтобы можно было локализовать частицу.

§ 3. Вырывание электронов из металла. Холодная эмиссия

Теория туннельного эффекта имеет ряд весьма важных приложений в теории металлов и в ядерной физике. С помощью этой теории удалось понять ряд явлений, которые не нашли своего объяснения в классической физике. К числу этих явлений следует в первую очередь отнести холодную эмиссию, т. е. вырывание электронов из металла под действием электрического поля, а также возникновение контактной разности потенциалов. Однако прежде всего скажем несколько слов о теории «электронного газа», лежащей в основе электронной теории проводимости металлов.

Высокая электропроводность металлов говорит о том, что электроны способны сравнительно свободно перемещаться внутри всей кристаллической решетки металла. Затруднен лишь их выход из металла в вакуум, требующий затраты некоторой энергии, так называемой работы выхода. Это наводит на мысль рассматривать простейшую модель металла как свободный электронный газ, движущийся в потенциальной яме, внутри которой (т. е. в металле) потенциальная энергия равна нулю V=0, а вне, т. е. в вакууме, V=V_о>0.

Подобная упрощенная модель позволяет уяснить многие явления в металлах и поэтому в некоторых пределах является вполне разумной. Она была введена еще в классической теории (теория Друде, Лоренца и т. д.). В этом случае к электронам применялась классическая статистика Максвелла—Больцмана, которая до этого с успехом объяснила многие явления кинетической теории газов.

Однако в классической теории модель «электронного газа» встретила большие затруднения при построении теории теплоемкости. В самом деле, согласно известной теореме классической статистической механики о равномерном распределении энергии по степеням свободы на одну степень свободы в среднем должна приходиться энергия:

(3.1)

Отсюда видно, что доля каждого свободного электрона в общей теплоемкости такая же, как и свободного атома

Это противоречит экспериментальным фактам, согласно которым теплоемкость одноатомного металла определяется лишь теплоемкостью атомов решетки, т. е. свободные электроны в первом приближении никакого вклада в теплоемкость металла не вносят.

Это противоречие было разрешено Зоммерфельдом, который показал, что к электронам в металле необходимо применять не классическую статистику с функцией распределения

а квантовую статистику Ферми – Дирака с функцией распределения

В основе квантовой статистики Ферми—Дирака лежит принцип Паули, согласно которому на каждом энергетическом уровне может находиться максимум два электрона (два квантовых состояния, отличающихся направлениями спинов).

Если нам задана трехмерная потенциальная яма кубической формы с длиной стороны, равной L, то составляющие импульса p =ђk будут связаны с целыми числами n₁, n₂, n_з, характеризующими энергетический уровень, соотношениями:

Учтем, что на единичный интервал квантовых чисел:

(3.2)

приходится лишь один уровень, на котором могут находиться два электрона.

Поэтому если в единице объема находится ρ_о электронов, то максимальный импульс, которым может обладать электрон при абсолютном нуле температуры (T=0), определяется из соотношения

(3.3)

Или (3.4)

Соответствующая максимальная кинетическая энергия электронов равна:

(3.5)

Эта максимальная энергия при T= 0 соответствует уровню Ферми. Оценим значение этой энергии, например, для серебра. Плотность серебра равна 10,5, атомный вес 107,9. Считая, что число свободных электронов равно числу атомов серебра в единице объема, имеем:

Здесь мы использовали число Авогадро, т. е. число атомов в одном грамм-атоме, равное 6,02·10²³. Отсюда по формуле (3.5) находим, что

W

рис 3.1 Модель потенциальной ямы для металла. (Е макс. – верхняя граница заполненных уровней при Т=0 (энергия Ферми).

Средняя энергия в металле будет определяться выражением

(3.6)

Отсюда видно, что при сравнительно низких температурах электронный газ никакого вклада в теплоемкость не должен вносить, так как

Исходя из этой модели (рис 3.1), мы видим, что для вырывания электрона из металла необходимо сообщить ему энергию не меньшую, чем работа выхода

(3.7)

Как известно, в случае внешнего фотоэффекта электрон получает от поглощенного фотона энергию ђω. При этом электрон может покинуть металл, обладая кинетической энергией.

(3.8)

(уравнение Эйнштейна). Отсюда следует, что работа выхода есть минимальная энергия, которую нужно затратить, чтобы энергия электрона стала больше высоты потенциального барьера.

рис 3.2 Потенциальная энергия электрона в металле без поля и при наличии внешнего электрического поля. (штриховой линией показан ход потенциальной кривой с учетом сил электростатического изображения)

Если электроны в металле (электронный газ) имеют температуру выше абсолютного нуля, то часть электронов заполняет энергетические уровни выше уровня Ферми. Если увеличить кинетическую энергию электронного газа путем нагревания металла, то некоторая часть электронов может иметь энергию, превышающую энергию потенциального барьера, благодаря чему возникает ток из металла. Это явление, получившее название термоэлектронной эмиссии, используется, в частности для получения пучка электронов в электронных лампах. Однако возникновение тока электронов возможно и при низких температурах под влиянием постоянного внешнего электрического поля напряженности ξ, приложенного к поверхности проводника и направленного против оси –х. В этом случае потенциальная энергия электрона заряда -е₀ равна (рис 3.2):

(3.9)

Помимо внешнего электрического поля, на электрон действует так называемая сила электрического изображения. Дело в том, что электрон, обладая зарядом —e_о, создает на поверхности металла индуцированный заряд e_о (рис 3.3).

Таким образом, полная сила, действующая на электрон, равна

(3.10)

Эффективная потенциальная энергия, учитывающая силы электрического изображения, равна:

(3.11)

Величина V_эфф имеет максимум в точке x₀:

(3.12)

причем максимальное значение V_эфф меньше У₀, так как

(3.13)

Учет сил электрического изображения показывает, что при наложении внешнего поля работа выхода уменьшается и становится равной

(3.14)

Однако силы электрического изображения не в состоянии объяснить холодную эмиссию. Действительно, оценка максимального тока (при W=0) приводит, например, для вольфрама к значению

(3.15)

между тем как на опыте достаточно сильный ток появляется уже при поле Е4·10⁶ в/см (Малликен).

рис 3.3 Силы электрического изображения: на находящийся вне металла электрон действуют силы притяжения индуцированным зарядом.

Таким образом, в рамках классической теории невозможно объяснить с количественной стороны явление холодной эмиссии.

В квантовой теории, когда допустимо прохождение электронов сквозь потенциальный барьер, для потенциальной энергии можно ограничиться выражением (3.9) и не учитывать сил электрического изображения, поскольку последние лишь весьма незначительно изменят окончательный результат. Из графика потенциальной энергии (рис 3.2) видно, что внешнее электрическое поле создает потенциальный барьер конечной ширины. Благодаря туннельному эффекту электрон может преодолеть этот барьер, причем коэффициент прозрачности равен

(3.16)

Интеграл в экспоненте должен быть взят по всей ширине барьера от точки х=0 до точки х=х₁, которая определяется из условия

(3.17)

Тогда

(3.18)

Окончательно для коэффициента прозрачности D получаем выражение:

(3.19)

где величина ξ₀ зависит от работы выхода из металла свободных электронов. Ток холодной эмиссии пропорционален коэффициенту прозрачности

(3.20)

Отсюда следует, что холодная эмиссия должна наблюдаться при напряженности электрического поля ξ~10⁶ в/см, что хорошо согласуется с экспериментальными данными.

§ 4. Контактная разность потенциалов

На основе туннельного эффекта можно объяснить и явление так называемой контактной разности потенциалов, которое было открыто ещё Вольтом.

рис 4.1 Два металла до сближения: W₁ и W₂ – работа выхода; E₀₁ b E₀₂ – верхние границы заполненных уровней (энергия Ферми)

Рассмотрим два металла различной природы, обладающих различными работами выхода, а вместе с тем и уровнями Ферми (рис 4.1). Если привести их в соприкосновение, то они оказываются разделенными потенциальным барьером конечной ширины. Поскольку часть занятых электронами энергетических уровней в металле I лежит выше границы заполненных уровней металла II, возможен туннельный переход электронов на свободные уровни металлов II. Обратный переход, как видно из 6.6, исключен, поскольку электроны металла II при таком переходе будут иметь энергию, соответствующую заполненным уровням металла I. Очевидно, далее, что возникший электрический ток прекратится только в том случае, когда верхнее заполненные уровни металлов сравняются.

рис 4.2 Два металла после сближения. Возникновение контактной разности потенциалов.

В результате туннельного эффекта металл II, получив избыток электронов, заряжается отрицательно и соответственно металл I заряжается положительно. При этом начало отсчета энергетических уровней металла II поднимается вверх по отношению к началу отсчета уровней металла I (рис 4.2). После того как наступило термодинамическое равновесие, при котором уровни Ферми в обоих металлах должны сравняться, электрический ток прекратится, но зато между металлами возникает разность потенциалов, пропорциональная разности работ выхода:

(4.1)

Эта величина и представляет собой контактную разность потенциалов.

Заключение

Туннельный эффект обусловливает возможность протекания термоядерных реакций на Солнце и звёздах при температуре в десятки и сотни млн. градусов, а также в земных условиях в виде термоядерных взрывов.

В симметричном потенциале, состоящем из двух одинаковых ям, разделённых слабопроницаемым барьером, туннельный эффект приводит к интерференции состояний в ямах, что приводит к слабому двойному расщеплению дискретных уровней энергии. Для бесконечного периодичного в пространстве набора ям каждый уровень превращается в зону энергий. Таков механизм образования узких электронных энергетических зон в кристаллах с сильной связью электронов с узлами решётки.

Если к полупроводниковому кристаллу приложено электрическое поле, то зоны разрешённых энергий электронов становятся наклонными в пространстве. Тем самым уровень потенциальной энергии электрона пересекает все зоны. В этих условиях становится возможным переход электрона из одной энергетической зоны в другую за счёт туннельного эффекта. Классически недоступной областью при этом является зона запрещённых энергий. Это явление называется пробоем Зинера. Квазиклассическое приближение отвечает здесь малой величине напряжённости электрического поля. В этом пределе вероятность пробоя Зинера определяется в основном экспонентой, в показателе которой стоит большая отрицательная величина, пропорциональная отношению ширины запрещённой энергетической зоны к энергии, набираемой электроном в приложенном поле на расстоянии, равном размеру элементарной ячейки.

Похожий эффект проявляется в туннельных диодах, в которых зоны наклонены благодаря полупроводникам р- и n-типа по обе стороны от границы их соприкосновения. Туннелирование осуществляется благодаря тому, что в зоне, куда переходит носитель заряда, имеется конечная плотность незанятых состояний.

Благодаря туннельному эффекту возможен электрический ток между двумя металлами, разделёнными тонкой диэлектрической перегородкой. Эти металлы могут находиться как в нормальном, так и в сверхпроводящем состоянии. В последнем случае может иметь место Джозефсона эффект.

Туннельному эффекту обязаны такие явления, происходящие в сильных электрических полях, как автоионизация атомов и автоэлектронная эмиссия из металлов. В обоих случаях электрическое поле образует барьер конечной прозрачности. Чем сильнее электрическое поле, тем прозрачнее барьер и тем сильнее электронный ток из металла. На этом принципе основан сканирующий туннельный микроскоп - прибор, измеряющий туннельный ток из разных точек исследуемой поверхности и дающий информацию о характере её неоднородности. Используя туннельный ток как индикатор приближения к поверхности и нарисовав несколько вариантов её профилей, можно сложить из рисунков трехмерную картинку исследуемой поверхности. Сканирующий микроскоп, удерживая постоянную величину туннельного тока, рисует ту поверхность, на которой вероятность пребывания электронов постоянна, то есть, по сути, ту самую пси-функцию, которую используют для описания квантовых объектов.

Туннельный эффект возможен не только в квантовых системах, состоящих из одной частицы. Так, например, низкотемпературное движение дислокаций в кристаллах может быть связано с туннелированием конечной части дислокации, состоя из многих частиц. В такого рода задачах линейную дислокацию можно представить как упругую струну, лежащую первоначально вдоль оси у в одном из локальных минимумов потенциала V(x, у). Этот потенциал не зависит от у, а его рельеф вдоль оси х представляет собой последовательность локальных минимумов, каждый из которых находится ниже другого на величину, зависящую от приложенного к кристаллу механического напряжения. Движение дислокации под действием этого напряжения сводится к туннелированию в соседний минимум определенного отрезка дислокации с последующим подтягиванием туда оставшейся её части. Такого же рода туннельный механизм может отвечать за движение волн зарядовой плотности в диэлектрике Пайерлса.

Для расчётов эффектов туннелирования таких многоразмерных квантовых систем удобно использовать квазиклассическое представление волновой функции в виде ψ~exp(iS), S—классическое действие системы. Для туннельного эффекта существенна мнимая часть S, определяющая затухание волновой функции в классически недоступной области. Для её вычисления используется метод комплексных траекторий.

Квантовая частица, преодолевающая потенциальный барьер может быть связана с термостатом. В классической механике это соответствует движению с трением. Тем самым, для описания туннелирования необходимо привлечение теории, получившей название диссипативной квантовой механики. Такого рода соображения необходимо использовать для объяснения конечного времени жизни токовых состояний контактов Джозефсона. В этом случае происходит туннелирование эффекта квантовой частицы через барьер, а роль термостата играют нормальные электроны.

Список литературы

1. Д. И. Блохинцев “Основы квантовой механики”. – М.: Наука, 1976.

2. А. А. Соколов, И. М. Тернов “Квантовая механика и атомная физика”. Учебн. пособие для физ.-мат. фак-тов пединститутов. М.: Просвещение, 423 с. с илл., 1970.

3. П. Эткинс “Кванты справочник концепций”. – М.: Мир, 496 с., 1977.

4. Гоголинский К. “Орбитали зондовой микроскопии”/ К. Гоголинский, В. Решетов// Вокруг Света, М.: Вокруг света.- 2005. - №6. – с. 106-114.