Уравнение состояние

Статистика атмосферы и простейшее приложение

Уравнение №1 и №2 в метеорологии и их нужно знать наизусть.

Лекция 2.1

Уравнение состояние воздуха и его приложение.

Уравнение статики атмосферы в дифференциальной форме.

2.1.1 Уравнение состояние сухого воздуха и его использования для расчёта плотности воздуха.

Основные const термодинамики.

• а.е.м. = m (C¹²) = 1.66*10^-27 кг

• A = 6.02*10²⁶ кмоль^-1

Число Авогадро равно числу частиц (атомов молекул ионов и др. в одном кмоль вещества.)

• µ - молекулярная масса относительная выраженная в долях а.е.м.

µ_с.в. = 28,965 µ_В.П.= 18,015

R_у = 8,31*10³ Дж/кмоль * К – универсальная газовая постоянная.

R_с.в. = = 287 Дж/кг* К – удельная газовая постоянная сухого воздуха (для 1 кг масса)

R_{вод.пара} = = 461,5 Дж/кг* К – удельная постоянная водяного пара

K = 1,38*10^-23 Дж/ К – постоянная Больцмана или универсальная газовая постоянная отнесённая к одной молекуле т.е.

K =

2. Уравнение состояния идеального газа. Пусть m (кг) – произвольная масса газа имеющего относительно-молекулярную массу µ в V_m (м³) тогда для этой массы газа справедливо уравнение состояния:

P * V_m R_yT (1) где р, Па – давление; Т – температура в К

Уравнение (1) очень хорошо выполняется в атмосфере т.к. по своим свойствам она близка к идеальному газу. Запишем уравнение (1) для m = 1 кг сухого воздуха:

P * = T P = ρR_св T (2) где ρ (кг/м³) – сухого воздуха

R_св = Дж/кг К

= V₁

= R_св m = 1кг

P = ρR_свT

Уравнение (2) широко используется в метеорологии т.к.:

ρ = (3)

по измеренным P и T.

2) Как промежуточное уравнение во многих расчётах. 3) Для замыкания системы дифференциальных уравнений погоды. 4) Для оценки концентрации частиц на высотах т.к. для верхней атмосферы уравнение (3) можно записать в виде:

P = nKT n = (4)

где n [м^-3] – концентрация частиц в м^-3 Пример №1. Показания на 5 ноября 2010 года.

Пусть:

Р = 931гПа (9,31*10⁴ Па) Т= 16 С (289 К) R_св = 287 Дж/кг* К. Найти: ρ - ? Решение: ρ по формуле (3)

ρ = = 9,31*10⁴/ 287*289 = 1,122 кг/м³

Пример №2

Пусть z = 100 км, где р = 3,2*10^-2Па, Т = -78 С (1,95*10² К), К = 1,38*10^-23 Найти n [м^-3] -? Решение: Тогда n[м^-3] = 3,2*10^-2 / 1,38*10^{-23 *}1,95*10² = 1,2*10¹⁹ м^-3 (частиц в 1 м³)

Лекция 2.1.2

Уравнение состояние водяного пара и влажного воздуха.

Давление водяного пара входящего в состав влажного воздуха обозначается через e,гПа(парциальное давление водяного пара) (упругость водяного пара старвй термин). Температура водяного пара тоже что и воздуха, поэтому уравнение состояние водяного пара будет:

e = ρ_вп * T (5) Откуда : ρ = (6)

a (г/м³) = 217 a - (абсолютная ВП) Реальный воздух всегда влажный при температуре (-10 С; -20 С) влажностью можно пренебречь. Атмосферное давление по барометру поэтому:

P = (P_сух + e)

Для влажного воздуха можно записать в виде:

P = ρ_вв*R_св *T (1+0.608*S) (7)

P = ρ_вв* T (1+0.378) (8)

S (кг/кг) – массовая доля водяного пара в системе СИ. Из формул (7) и (8) следует:

ρ_вв = (9)

ρ_вв = (10)

В формулах (7 – 10) если (е = 0; S = 0), то они преобразуются в формулу для сухого воздуха. Если по формулам (9) и (10) рассчитать ρ_вв , то ρ_вв на 10 грамм на м³ будет меньше ρ_св. Сухой воздух чуть-чуть тяжелее влажного поэтому ρ_вв учитывают только при точных расчётах. Например:

Р = 930гПа; е = 10гПа; Т = 15 С; ρ_св = 1,125кг/м³; ρ_вв = 1,120 кг/м³.

2.1.3 Виртуальная температура и запись уравнения влажного воздуха в компактной универсальной форме

P = ρRT_у.

Множители входящего уравнения состояния - (1+0.608*S) и (1+0.378) возникли вследствие того, что воздух влажный и для него следовало бы записать:

R_{вв =} R_св (1+0.608*S) = R_св (1+0.378)

Однако исторически что эти множители были отнесены к температуре и возник термин «виртуальная температура».

T_V = T (1+0.608*S) = T (1+0.378) (11)

или T_v = T + 0.608S * T = T + ∆T_v = 0.608ST (12)

T_v = T + 0.378 *T= T +∆T_{v =} 0.378 *T (13)

Использовали T_v позволяет для влажного воздуха компактно записать:

P = ρRT_у (14)

Если е = 0 (S=0) то T_v = T и формула переходит в формулы (2) и (3) для сухого воздуха.