Дифференциальные уравнения неустановившегося движения воздуха по рудничным воздуховодам

Асп. Баглей С.Г., проф. Воронин П.А.

Кафедра теоретической электротехники и электрических машин.

Северо-Кавказский государственный технологический университет

Произведен вывод нелинейной системы дифференциальных уравнений в частных производных для расчета давления и скорости движения воздуха по воздуховодам при его нестационарном квадратичном движении. При этом использованы: формула Дарси-Вейсбаха – формула потерь давления на трение; второй закон Ньютона для определения инерционных потерь давления и уравнение неразрывности движения потока воздуха. Приведен пример расчета неустановившегося расхода воздуха в коротком воздуховоде при подаче на его вход постоянного давления.

Переходные процессы движения воздуха в трубопроводах могут продолжаться относительно долго и существенно влиять на работу вентиляторной установки, особенно на работу электродвигателя. Особое значение имеют переходные процессы воздушного потока в горных выработках и трубопроводах, в которых время распространения звука от одного конца к другому значительно больше времени пуска двигателя вентилятора или времени открытия задвижки.

Задача настоящих исследований состоит в том, чтобы дать методику получения дифференциальных уравнений движения воздуха по трубопроводам, удобных для практического их решения.

Впервые связь между потерями напора на трение и средней по сечению воздуховода скоростью (или расходом воздуха) выявлена в XVIII в., когда была получена формула Дарси – Вейсбаха [1, стр.170; 2, стр.130].

Потеря давления на трение при движении воздуха по трубам по формуле Дарси – Вейсбаха имеет вид:

(1)

где ∆ – обозначение разности; р – давление (Па = Н/м2) [3]; – коэффициент гидродинамического трения (б/р) [1]; D – внутренний диаметр трубы (м); v – средняя по поперечному сечению воздухопровода скорость движения воздуха (м/с); – объемный вес воздуха (Н/м3) при давлении окружающей среды [1, 3]; – ускорение силы тяжести (м/с2); ∆х – длина участка воздуховода (м).

Для преобразования уравнения (1) учтем нижеследующее. Объемный вес воздуха (удельный вес) (Н/м3) выражается формулой [3]:

(2)

где – плотность воздуха (кг/м3) при давлении окружающей среды [3]. Соотношение между гидравлическим радиусом Rг и диаметром D круглой трубы имеет вид:

(3)

где S – площадь поперечного сечения воздухопровода (потока) (м2),

χ – смоченный периметр воздуховода (м).

Рис. 1. Конструктивная схема воздуховода. Условия равновесия

давлений (а) и скоростей (б) на бесконечно малом участке

воздуховода длиной d x.

В формуле (1) устремим длину трубы ∆х к бесконечно малой величине dx. Тогда получим дифференциал потерь давления. Кроме этого, подставим в это выражение значения формул (2) и (3). В результате получим выражение потерь давления на трение на бесконечно малом участке воздуховода (рис.1,а), т. е.

(4)

Здесь давление р(x,t) и скорость v(x,t) являются функциями двух переменных – расстояния от начала воздуховода до рассматриваемого сечения его (х) и времени от начала переходных процессов до рассматриваемого момента (t).

При неустановившемся движении воздуха в воздуховодах существуют и инерционные потери давления. По второму закону Ньютона [4] инерционные потери давления на бесконечно малой длине воздуховода выражаются следующим дифференциалом (рис.1,а):

(5)

В соответствии с условием равновесия давлений на границах бесконечно малого участка воздуховода dx (рис.1,а) можно записать

(6)

Одинаковые слагаемые в левой и в правой частях равенства (6) взаимно уничтожаются. Подставив в выражение (6) формулы (4) и (5), после сокращения на d x получим первое дифференциальное уравнение для расчета неустановившегося движения воздуха по воздуховодам, выраженное через давление и скорость движения воздуха, а именно:

(7)

В систему дифференциальных уравнений расчета неустановившихся процессов при движении воздуха по трубам кроме уравнения (7) должно входить и уравнение неразрывности потока. Развернутое дифференциальное уравнение неразрывности [4, 5] при движении воздуха по трубам имеет следующий вид:

(8)

В своих исследованиях И.А.Чарный [6] показал, что для капельной жидкости последнее слагаемое левой части равенства уравнения (8) представляет собой величину второго порядка малости. Поэтому этим слагаемым следует пренебречь. Кроме того, И.А.Чарный доказал, что воздух по своим аэродинамическим свойствам относится к капельным жидкостям. С этим перекликается и заключение Л.И. Седова [5] о том, что есть физические характеристики, остающиеся во время движения постоянными в индивидуальном объеме сплошной среды.

В свете вышесказанного дифференциальное уравнение неразрывности потока воздуха в вентиляционных воздуховодах имеет следующий вид:

(9)

Уравнение равновесия скоростей на границах бесконечно малой длины d x в соответствии с обозначениями на рис.1,б имеет вид:

(10)

После взаимного уничтожения одинаковых слагаемых, стоящих в левой и в правой частях равенства (10), получим выражение дифференциала скорости воздуха, т. е.

(11)

Подставив выражение (9) в формулу (11), получим значение дифференциала скорости на бесконечно малой длине воздуховода:

(12)

В уравнении неразрывности (9) знак минус указывает на то, что на бесконечно малом участке d x происходит уменьшение скорости при изменении плотности воздуха. А это для плотных воздуховодов обозначает, что уравнение (9) выражает собой и сжатие воздуха.

Преобразуем дифференциальное уравнение (9). Известно, что скорость звука с (м/с) при изотермическом процессе распространения возмущения в воздухе имеет выражение [4]:

(13)

где р – давление (Па), ρ – плотность воздуха (кг/м3).

Частный дифференциал плотности воздуха, исходя из выражения (13), подставим в формулу (9). В результате получим уравнение неразрывности в следующем виде:

(14)

Это и есть второе дифференциальное уравнение неустановившегося движения воздуха по рудничным воздуховодам.

Обычно уравнения (7) и (14) записывают в виде одной системы уравнений. В результате получается система дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, описывающая переходные процессы в воздушных потоках рудничных воздуховодов, а именно:

(15)

Такая же система уравнений, но другим путем была получена И.А. Чарным [6]. Эта система дифференциальных уравнений является нелинейной, так как в первом уравнении зависимая переменная – скорость – стоит в квадрате. Решение такой системы дифференциальных уравнений затруднительно. Поэтому И.А. Чарный [6] предложил линеаризовать в первом уравнении первое слагаемое в правой части равенства (15). Он предложил считать постоянным среднее значение по длине воздуховода и времени следующего коэффициента:

(16)

где 2а – линеаризованный коэффициент аэродинамического сопротивления (1/с) [6], λ – коэффициент трения воздуха (б/р), v – средняя по сечению и по времени скорость движения воздуха в данном поперечном сечении воздуховода во время переходного процесса (м/с), Rг – гидравлический радиус воздуховода (м).

При движении воздуха с квадратичным законом сопротивления строят график – квадратичную параболу в функции скорости v (рис.2), на котором выбирают участок кривой, ограниченный предельными скоростями движения воздуха во время переходного процесса.

Рис.2. Графики для определения линеаризованного коэффициента аэродинамического сопротивления (2а). v1 – наименьшая и v2 – наибольшая скорости движения воздуха во время переходного процесса.

Квадратичная парабола описывается формулой в соответствии с первым уравнением и первым слагаемым правой части равенства системы уравнений (15), т. е.

(17)

Затем из начала координат проводят прямую линию тоже в функции скорости v так, чтобы она пересеклась с параболой в промежутке между предельными скоростями переходного процесса v1 и v2 (см. рис.2). При этом площади, ограниченные между параболой и прямой с обеих сторон от пересечения в промежутке между граничными скоростями, должны быть равны. Эта прямая линия представляет собой линеаризованный закон сопротивления движению воздуха, эквивалентный квадратичному закону. Уравнение этой прямой линии имеет вид:

(18)

где 2а – линеаризованный коэффициент аэродинамического сопротивления [формула (16)], но его численное значение пока не известно.

Значение этого коэффициента определим из условия равенства площадей, заключенных между вертикальными линиями граничных скоростей, между осью абсцисс и параболой (площадь, ограниченная контуром aABba) и между осью абсцисс и прямой линией (площадь, ограниченная контуром aαβba). Площадь, ограниченная параболой (площадь, ограниченная контуром аАВba , рис.2), равна:

(19)

Площадь, ограниченная прямой линией (площадь, ограниченная контуром aαβba , рис.2), равна:

(20)

По условию площади, описываемые формулами (19) и (20), равны. Приравняем их. Разность квадратов величин и разность кубов величин разложим на множители. Затем одинаковые множители слева и справа от равенства сократим. Проделаем эти выкладки.

(21)

Отсюда определим линеаризованный коэффициент аэродинамического сопротивления, эквивалентный аэродинамическому сопротивлению при квадратичном законе движения воздуха, а именно:

(22)

Формулы (16) и (22) являются эквивалентными. Из сравнения этих формул следует среднее интегральное значение скорости, определяющей линейный режим аэродинамического сопротивления, при изменении этой скорости от v1 до v2, то есть

(23)

Подставим значение 2а из формул (16) и (22) в систему уравнений (15). В результате получим линеаризированную систему дифференциальных уравнений, описывающую переходные процессы воздуха в воздуховодах и выраженную через давление и скорость движения воздуха, т. е.

(24)

Для анализа переходных процессов при движении воздуха в воздуховодах систему уравнений (24) следует выразить через расход воздуха в данном поперечном сечении S. Для этого каждое слагаемое этой системы уравнений, содержащее скорость движения воздуха, умножим и разделим на площадь поперечного воздуховода. Тогда произведение скорости движения воздуха на площадь поперечного сечения воздуховода будет представлять собой расход воздуха (м3/с) в данном поперечном сечении, т. е.

(25)

При этом система уравнений (24) тогда будет представлять собой линеаризованную систему уравнений для расчета переходных процессов воздуха в воздуховодах при квадратичном законе трения воздуха, т. е.

(26)

Эта система уравнений была получена И.А. Чарным в его книге [6], но только другим путем.

Первое уравнение системы (26) учитывает как аэродинамическое сопротивление движению воздуха, так и его инерционные свойства. Каждый член этого уравнения представляет собой силу, приходящуюся на один кубометр движущегося воздуха (Н/м3).

Второе уравнение системы (26) учитывает сжимаемость воздуха; коэффициент ρс2, имеющий размерность Н/м2, характеризует упругие свойства воздуха и представляет собой его модуль упругости.

Каждый коэффициент системы (26), стоящий перед зависимой переменной, имеет свой физический смысл и свое название в технической литературе, а именно:

2аρ/S – линеаризованное аэродинамическое сопротивление, приходящееся на единицу длины воздуховода, численно равное давлению, необходимому для создания единицы скорости одному кубометру воздуха в стационарном режиме, ;

ρ/S – коэффициент, учитывающий инерционность воздуха, численно равный давлению, необходимому для создания единицы ускорения одному кубометру воздуха, , иногда этот коэффициент называют акустической массой или инерционностью [7];

S/(ρc2) – коэффициент, учитывающий сжимаемость воздуха, численно равный количеству воздуха, которое необходимо сжать для создания единицы давления на одном метре длины воздуховода, , иногда этот коэффициент называют акустической гибкостью или податливостью [7].

Выведенную систему дифференциальных уравнений (26) можно преобразовать в одно уравнение, исключив одну из зависимых переменных (расход или давление). В результате получится дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка. Такие дифференциальные уравнения называются волновыми. В результате их решения получается, что во время переходного процесса при распространении волны расход воздуха является разным вдоль воздуховода в один и тот же момент времени. В этом случае воздуховод следует называть длинным воздуховодом. Но возможно существование воздуховода небольшой протяженности, при которой расход воздуха по длине воздуховода остается практически одним и тем же в один и тот же момент времени. Воздуховоды такой протяженности следует называть короткими воздуховодами.

Поскольку расход воздуха в коротких воздуховодах вдоль его длины не меняется, то производная от расхода воздуха по расстоянию вдоль оси воздуховода равна нулю. А это свидетельствует о том, что второе уравнение системы (26), обозначающее сжимаемость воздуха, исчезает. Воздух в таких воздуховодах становится как бы не сжимаемым. Следовательно, в коротких воздуховодах переходный процесс движения воздуха описывается лишь одним первым уравнением системы (26).

Пример. Рассчитаем переходный процесс движения воздуха в коротком трубопроводе. Для этого используем только первое уравнение системы (26), так как второе уравнение для коротких воздуховодов обращается в нуль. При этом расход воздуха не зависит от длины потому, что из-за несжимаемости воздуха в коротких воздуховодах он по всей длине трубопровода не меняется. Поэтому частные производные в первом уравнении системы (26) можно заменить на обычные. Расчет проведем в операторной форме в виде интегрального преобразования Лапласа – Карсона [8]. После разделения переменных это уравнение будет иметь следующий вид:

(27)

где – оператор Лапласа – Карсона ( – мнимая единица), Q(q) – расход воздуха в операторной форме (он не зависит от расстояния по оси воздуховода), р(x,q) – давление в операторной форме (оно является также и функцией расстояния по оси воздуховода). Остальные условные обозначения были приведены ранее.

Проинтегрировав левую и правую части этого уравнения, получим формулу изменения давления воздуха вдоль трубопровода, к тому же, в операторной форме, т. е.

(28)

Постоянную интегрирования А определим из граничных условий на конце воздуховода: при x = L давление p(L,q) = 0. Тогда для этого случая уравнение (28) будет иметь вид:

откуда постоянная интегрирования

(29)

Подставив значение А в формулу (28), получим выражение распределения операторного давления воздуха в трубопроводе в функции расстояния от начала воздуховода, т. е.

(30)

Отсюда следует, что давление воздуха вдоль короткого трубопровода распределяется по линейному закону, так как для коротких трубопроводов воздух является несжимаемым. В этом случае давление вдоль трубопровода распределяется так же, как и в стационарном режиме.

Перепишем выражение (30) для начального сечения воздуховода (х = 0). При этом учтем, что на вход воздуховода скачком подается постоянное давление ро = constant. В операторной форме Лапласа – Карсона это давление имеет выражение: p(0,q) = po. После подстановки в выражение (30) указанных значений величин и после преобразований получим формулу операторного расхода воздуха в начальном сечении воздуховода, т. е.

(31)

Применим к операторному выражению (31) обратное преобразование Лапласа – Карсона [8, формула 21.3]. Тогда получим выражение расхода воздуха в функции времени (t) в начальном сечении короткого воздуховода, а значит и расхода воздуха на протяжении всего трубопровода, т. е.

(32)

где Rаэр = 2аρL/S – линеаризованное аэродинамическое сопротивление короткого воздуховода длиной L [(1/c)∙(кг/м3)∙(м/м2) = =(кг∙м/с2)∙(с/м5) = Н∙с/м5].

Формулу (32) можно записать в относительных единицах (в безразмерном виде), а именно:

(33)

График расхода воздуха в относительных единицах, формула (33), показан на рис.3.

Рис.3. График изменения во времени расхода воздуха по длине

короткого трубопровода. Q*(t) – расход воздуха в относительных

единицах, 2at – безразмерное время.

Расход воздуха, обозначенный графиком на рис. 3, является одним и тем же по всей длине короткого воздуховода. График распределения давления по длине короткого воздуховода в приведенном примере во времени не меняется. Давление по длине короткого воздуховода от его начала до конца распределяется по линейному закону. Наибольшее постоянное во времени значение давления находится в начале воздуховода; а давление, равное нулю, – на конце воздуховода.

Заключение. Для того чтобы получить (из нелинейной системы дифференциальных уравнений в частных производных) линейную систему уравнений, осуществлена линеаризация формулы Дарси – Вейсбаха. При этом использовано равенство площадей