ГИДРОСТАТИКА

• Гидростатическое давление и его свойства

• Уравнения гидростатики

• Некоторые понятия в гидростатике

• Давление жидкости на плоские и криволинейные поверхности

• Плавание тел

ГИДРОСТАТИКА

Гидростатическое давление и его свойства 

 

Гидростатика — раздел гидравлики, в котором изучаются законы жидкости в состоянии равновесия и распределение давления покоящейся жидкости на различные поверхности.

Рассмотрим основное понятие гидростатики — гидростатическое давление. На рис. 2.1 представлен некоторый произвольный объем покоящейся жидкости. Разделим этот   объем   плоскостью ВС на две части — I и II. В плоскости ВС выделим площадь ω с центром в точке А. Давление со стороны части I объема будет передаваться на поверхность ВС с силой Р.

Гидростатическим давлением Р называется сила давления жидкости на единицу площади ω, и его можно представить формулой

(2.1)

 

рис. 2.1

Гидростатическое давление имеет размерность в системе СИ Паскаль (Па). Оно обладает тремя свойствами.

Первое свойство. Гидростатическое давление направлено по внутренней нормали к поверхности, на которую оно действует.

Второе свойство. Гидростатическое давление в точке действует одинаково по всем направлениям и может быть выражено соотношением

P_x=P_y=P_z=P_n

(2.2)

Третье свойство. Гидростатическое давление в точке зависит от ее координат в пространстве и может быть записано следующим образом:

P=f (x, y, z)

(2.3)

 

 

Уравнения гидростатики

При изучении законов покоящейся жидкости рассмотрим три уравнения: а) основные дифференциальные уравнения равновесия; б) уравнения гидростатического давления; в) уравнение гидростатического давления жидкости, находящейся под воздействием сил тяжести.

а. Основные дифференциальные уравнения равновесия Л. Эйлера выведены в Российской Академии наук в 1755 г. Уравнения выражают связь между массовыми (объемными) силами, давлением и координатами любой точки жидкости в состоянии равновесия.

Не приводя вывода уравнений, поясним ход рассуждений.

В покоящейся жидкости выделяется какой-либо объем. В данном примере на рис. 2.2 рассматривается параллелепипед с гранями abсd и a'b'c'd'. На выделенный объем действуют силы поверхностного суммарного гидростатического давления и массовые (объемные) силы. Жидкость находится в равновесии, следовательно поверхностные и массовые силы должны уравновешиваться, т. е. сумма этих сил должна быть равна нулю.

рис. 2.2

ПОВЕРХНОСТНЫЕ СИЛЫ. Силы суммарного гидростатического давления по оси х с учетом приращения дР_х будут равны

(2.4)

Напомним, что силы, направленные по оси, положительны, а против оси — отрицательны. Аналогично можно получить величины по оси у и z.

МАССОВЫЕ (ОБЪЕМНЫЕ) СИЛЫ. Объемной силой называется сила, приложенная к массе жидкости в объеме параллелепипеда. Такой силой может быть сила тяжести p = mg. При постоянной плотности масса жидкости выделенного объема равна m = rdxdydz. В гидравлике проекции ускорения объемных сил, отнесенных к единице массы, обозначаются X, Y, Z. Таким образом, по оси x можно записать

dP_x = Xrdxdydz

(2.5)

Сумма поверхностных и массовых сил по оси x будет равна

P_xdydz – P_xdydz -  dxdydz + Xrdxdydz = 0

Производя сокращения и отнеся все члены уравнения к единице массы, т. е. разделив на величину массы rdxdydz, и учитывая второе свойство гидростатического давления, получим уравнения Л. Эйлера по всем осям

 

(2.6)

 

 

(2.7)

 

Физический смысл полученных уравнений заключается в следующем: изменение гидростатического давления в направлении какой-либо оси, отнесенное к плотности, равняется проекции объемной силы, отнесенной к единице массы, на ту же ось.

б. Уравнение гидростатического давления можно получить из уравнений Л. Эйлера. Если умножить каждый его член на rdx, rdy и rdz и сложить их, то получим

(2.8)

Правая часть полученного уравнения представляет собой полный дифференциал давления

dP=r(Xdx+Ydy+Zdz)

(2.9)

Из последнего уравнения гидростатического давления видно, что давление зависит от плотности жидкости и бывает больше для плотных жидкостей.

В случае, если имеется поверхность равного давления, Р=const и dP=0, поскольку r не равно 0, то уравнение в случае равного давления имеет вид

Xdx+Ydy+Zdz=0

(2.10)

в. Уравнение гидростатического давления жидкости, находящейся под действием силы тяжести. Основное уравнение гидростатического давления в дифференциальной форме следующее:

dP = r(Xdx+Ydy+Zdz)

Интегрируя данное уравнение, можно его использовать для различных случаев покоя жидкости. Рассмотрим частный случай, когда жидкость находится в покое под действием силы тяжести. На рис. 2.3 на поверхности жидкости наметим точку в, в которой давление Р₀. Начало координат совместим с точкой в, а ось z направим вниз. Выделим точку а, в которой жидкость находится под действием силы тяжести, равной весу р=mg. Примем массу m=1, тогда p=g, т. е. единичная массовая сила будет равна ускорению. Проекции этой силы на ось x и y будут равны 0: X=0; Y=0. Проекция силы тяжести на ось z = g, т. к. направление оси совпадает с направлением силы тяжести вниз, к центру Земли.

рис. 2.3

Согласно уравнению гидростатического давления dP будет равно

dP=rgdz

(2.11)

Интегрируем это уравнение в пределах от Р₀ до Р и от z₀ до z

получим

P – P₀=rg(z-z₀)

(2.12)

Из рис. 2.3 видно, что глубина погружения точки а относительно свободной поверхности h=z – z₀. Поэтому можем записать

P – P₀=rgh

(2.13)

P=P₀ - rgh

(2.14)

Последняя формула является уравнением гидростатического давления жидкости, находящейся под действием силы тяжести.

Если свободная поверхность жидкости соприкасается с атмосферой, то Р₀=Р_а и полное гидростатическое давление будет иметь вид

Р=Р_а +rgh

(2.15)

Из уравнения гидростатического давления следует закон Паскаля: давление, воспринимаемое жидкостью, передается во все  точки жидкости с одинаковой силой.

Избыточным, или манометрическим, давлением называется превышение давления над атмосферным

Р_изб=rgh

(2.16)

 

Некоторые понятия в гидростатике

а. Пьезометрическая высота давления. На рис. 2.4 в состоянии равновесия представлен закрытый сосуд, наполненный жидкостью, на поверхности которой давление Р>Р_а. К стекам сосуда подведены две открытые трубки, называемые пьезометрами («пьезо» - греческое слово – давление, «метр» - измерение). Трубки А и В расположены на разных уровнях z_А и z_В от плоскости сравнения 0-0. Жидкость в точках А и В, которая находится под давлением Р, поднимется по пьезометрам и, испытывая атмосферное давление Р_а, остановится на одной плоскости 0’-0’, называемой напорной плоскостью.