Динамическое представление сигналов

Реферат выполнил: Зазимко С.А.

МОСКВА

ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.

Данный способ получения моделей сигналов заключается в следующем:

Реальный сигнал представляется суммой некоторых элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Теперь, если мы устремим к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в пределе получим точное представление исходного сигнала. Такой способ описания сигналов называется динамическим представлением , подчеркивая тем самым развивающийся во времени характер процесса.

На практике широкое применение нашли два способа динамического представления.

Первый способ в качестве элементарных сигналов использует ступенчатые функции, которые возникают через равные промежутки времени  . Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени . В результате сигнал может быть представлен как на рисунке 1.

рис. 1

При втором способе элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее . В этом случае исходный сигнал имеет вид как на рисунке 2.

рис. 2

Теперь рассмотрим свойства элементарных сигналов. Для начала : используемого для динамического представления по первому способу.

ФУНКЦИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ.

Допустим имеется сигнал, математическая модель которого выражается системой :

 0, t < -,

u(t)   0.5(t/+1), -  t  , (1)

 1, t > .

Такая функция описывает процесс перехода некоторого физического объекта из “нулевого” в “единичное” состояние.

Переход совершается по линейному закону за время 2. Теперь если параметр  устремить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое будет происходить мгновенно. Такая математическая модель предельного сигнала получила название функции включения или функции Хевисайда :

 t < 

tt   (2)

t  

В общем случае функция включения может быть смещена относительно начала отсчета времени на величину t0. Запись смещенной функции такова :

  t < t0

t - t0 t  t0 (3)

t  t0

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ ВКЛЮЧЕНИЯ.

Рассмотрим некоторый сигнал S(t), причем для определенности скажем, что S(t)=0 при t<0. Пусть {,2,3,...} - последовательность моментов времени и {S1,S2,S3,...} - отвечающая им последовательность значений сигнала. Если начальное значение сигнала есть S0=S(0), то текущее значение сигнала при любом t можно приближенно представить в виде суммы ступенчатых функций :



s(t)s0(t)+(s1-s0)(t-)+...=s0(t)+(sk-sk-1)(t-k).

k=1

Если теперь шаг  устремить к нулю. то дискретную переменную k можно заменить непрерывной переменной . При этом малые приращения значения сигнала превращаются в дифференциалы ds=(ds/d)d , и мы получаем формулу динамического представления произвольного сигнала посредством функций Хевисайда



 ds

S(t)=s0 (t) +  (t-) d (4)

 d

0

Переходя ко второму способу динамического представления сигнала , когда элементами разложения служат короткие импульсы, следует ввести новое важное понятие - понятие дельта-функции.

ДЕЛЬТА - ФУНКЦИЯ .

Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим образом :

1    

u(t;) = -----   (t + ---- ) -  (t - ---- )  (5)

  2 2 

При любом выборе параметра  площадь этого импульса

равна единице :



П =  u dt = 1

- 

Например, если u - напряжение, то П = 1 В*с.

Теперь устремим величину  к нулю. Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при   0 носит название дельта-функции , или функции Дирака¹ :

(t) = lim u (t;)

0

Дельта функция - интересный математический объект. Будучи равной нулю всюдю, кроме как в точке t = 0 ² дельта-функция тем не менее обладает единичным интегралом. А вот так выглядит символическое изображение дельта-функции :

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ.

Теперь вернемся к задаче описания аналогового сигнала суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов (рис. 2) . С помощью дельта-функции u (t) представимо в виде совокупности примыкающих импульсов. Если Sk - значение сигнала на k - ом отсчете, то элементарный импульс с номером k представляется как :

k(t) = Sk [ (t - tk) - (t - tk - ) ] (6)

В соответствии с принципом динамического представления исходный сигнал S (t) должен рассматриваться как сумма таких элементарных слагаемых :



S(t) =   (t) (7)

k= -  k

В этой сумме отличным от нуля будет только один член, а именно тот, что удовлетворяет условию для t :

tk < t < tk+1

Теперь, если произвести подстановку формулы (6) в (7) предварительно разделив и умножив на величину шага , то

 1

S(t) =  Sk --- [ (t - tk) - (t - tk - ) ] 

k=-  

Переходя к пределу при   0 , необходимо суммирование заменить интегрированием по формальной переменной , дифференциал которой d ,будет отвечать величине  .

Поскольку

1

lim [ (t - tk) - (t - tk - ) ] ---

 

получим искомую формулу динамического представления сигнала



S (t) =  s () (t - ) d

- 

Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен  - импульс. Принято говорить, что в этом состоит фильтрующее свойство дельта-функции.³

Из определения дельта-функции следует (3) . Следовательно, интеграл дельта-функции от -  до t есть единичный скачок , и дельта-функцию можно рассматривать как производную единичного скачка :

(t) = 1’ (t) ;

(t-t0) = 1’ (t-t0) .

Обобщенные функции как математические модели сигналов.

В классической математике полагают, что функция S(t) должна принемать какие-то значения в каждой точке оси t . Однако рассмотренная функция (t) не вписывается в эти рамки - ее значение при t = 0 не определено вообще, хотя эта функция и имеет единичный интеграл. Возникает необходимость расширить понятие функции как математической модели сигнала. Для этого в математике была введено принципиально новое понятие обобщенной функции.

В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь предмет , то стараемся изучить его со всех сторон, как бы получить проекции этого предмета на всевозможные плоскости. Аналогом проекции исследуемой функции (t) может служить, например, значение интеграла



 (t) (t) dt (8)

- 

при известной функции (t) , которую называют пробной функцией.

Каждой функции (t) отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное числовое значение. Поэтому говорят, что формула (8) задает некоторый функционал на множестве пробных функций (t). Непосредственно видно, что данный функционал линеен, то есть

(, 2) = ,) + (,2).

Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множестве пробных функций (t) задана обобщенная функция (t) ⁴. Следует сказать, что данную функцию надо понимать формально-аксиоматически, а не как предел соответствующих интегральных сумм.

Обобщенные фнкции , даже не заданные явными выражениями, обладают многими свойствами классических функкций. Так, обобщенные функции можно дифференцировать.

И в заключение следует сказать, что в настоящее время теория обобщенных функций получила широкое развитие и многочисленные применения. На ее основе созданы математические методы изучения процессов, для которых средства классического анализа оказываются недостаточными.

Список литературы

1. А. Л. Зиновьев, Л. И. Филипов ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СИГНАЛОВ И ЦЕПЕЙ.

2. С. И. Баскаков РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ.

1^ Также эту функцию называют единичной импульсной функцией,

2^ Говорят, что дельта-функция сосредоточена в этой точке.

3^ Отсюда вытекает структурная схема систем, осуществляющей измерение мгновенных значений аналогового сигнала S(t). Система состоит из двух звеньев : перемножителя и интегратора.

4^ Обобщенные функции иногда называют также распределениями.