Имеет место важная теорема Клини [2]: регулярные события и только они представимы в конечных автоматах.

Рассмотрим задачу построения алгоритма регуляризации во введенной паре алгебр (А,B). Алгоритм в укрупненных шагах состоит в следующем.

Шаг 1. Задается произвольное событие s=s₀ s₁ s₂...s_n+1, где s_i - событие номер i, начальное событие - s₀, конечное - s_n+1, остальные события - преобразователи и/или события - распознаватели.

Шаг 2. Составляется система уравнений алгебры событий А: записывается функция F события, его дерево D и дерево состояний определяющее все к путей выполнения : , где F_i - функция ветви дерева состояний. Функция ветви дерева - композиция всех функций (событий) данной ветви; программная функция F - объединение всех функций ветвей дерева.

Шаг 3. Система уравнений с помощью подстановок и операций дизъюнкции и конъюнкции представляется в виде : X=XA+B, где X - событие, представленное заключительным состоянием s_n+1, .

Шаг 4. Находим решение системы. Используется теорема [3]: если характеристический граф матрицы А (орграф соединяющий ребрами вершины i и j только тогда, когда ea_ij) не содержит ни одного цикла, то система X=XA+B имеет единственное решение X=B{A}, которое регулярно при регулярных A, B. При решении системы эффективно преобразовывать уравнения, - как и при решении линейных алгебраических уравнений, например, брать дизъюнкцию событий, изменять порядок исключения событий и др.

Шаг 5. По условиям выполнимости событий находим регулярную форму этого решения. Используются аксиомы алгебры логики В и соотношения алгебры событий А, например, следующие (AB=AB, (A) - условие выполнимости события А, A - проверка условия  после события А и для этого условия верны все аксиомы алгебры В, - отрицание условия ):

Ae=eA=A,

e=(e)=,

A=A=,

₂(A+B)=,

((A))=,

A(BC)=(AB)C,

_(A+B)=((A)+ (B)),

(_(A+B))=((A))+( (B)),

_(A+B)C=_(AC+BC),

A_(B+C)=_(AB+AC),

(AB)=(A)B(B),

(AB)=A(B),

A{B}_={B_A}A,

({A}_)={A_},

{A}_=_(e+A{A}_),

{(A)}(B)={A}B,

_{A}_{A}=_{A},

{_{ }{A}}=_{A},

{A}_{A}_={A}_,

{{A}_}={A}_ ,

{(A)}={A} ,

{A}_+e=_{A},

A_{A}=_{A}A={A}_ .

Пример 1. Регуляризуем микропрограмму А деления с фиксированной запятой. Для простоты считаем, что числа неотрицательны, а операция не приводит к переполнению разрядной сетки компьютера фон - Неймановского типа, операционный автомат которого состоит из регистров R₁, R₂ сумматора R₃ и счетчика сдвигов R₄. Делимое храниться на R₁, делитель - на R₂, частное накапливается на R₃. Введем обозначения: l_i - микрооперация сдвига регистра R_i влево (i=1,2,3); s^-1_ij - микрокоманда вычитания из содержимого регистра R_j содержимого регистра R_i; _i - условие заполненности регистра R_i; _i - условие отрицательности содержимого регистра R_i; p_i - микрооперация занесения единицы в младший разряд R_i; s_i,j- микрокоманда добавления содержимого регистра R_i к содержимому R_j.

Выпишем систему уравнений, обозначив через x_i - событие соответствующее каждому из 11 пунктов алгоритма деления (см., например, [3]):

Решим эту систему. После очевидных подстановок, вводя обозначения:

x=x₃+x₇+x₁₀ ,

B=el₃s^-1₁₃,

A=₃p₂l₂p₄l₃s^-1₁₃+₃l₂p₄l₃s^-1₁₃

получим уравнение X=XA+B, решение которого будет X=B{A} и после упрощений с помощью приведенных аксиом, заключительное событие S равно

s=x₁₁l₃s^-1₁₃{_3(l₂p₄l₃s₁₃+p₂ l₂p₄l₃s₁₃^-1)}_4

2. Рассмотрим задачу нахождения оптимальных (например, в смысле операции, длины и т.д.) структурированных программ из заданного набора базовых процедур (некоторые из них - см. в [5]), а также построения грамматик для анализа структур из программных единиц. При решении этой задачи используются аксиомы алгебры А.

Пример 2. Дана программа Р, где А,В,С - процедуры,  - предикаты:

P=_(BA+CA)_(A_{A}+e)=_(B+С)A_(A_{A}+e)=_(B+С)A_({A}_+e)=_(B+С)A_{A}=_(B+C){A}_=T.

Программа Т - более оптимальна и ее правильность доказываема формально.

Доказана теорема (доказательство не приводим из-за объема).

Теорема 1. Если R,A,S  A, ,,B, A и S - коммутативны, то:

а)AX=A_(R+SX)AX=A{S}_R, б)A=A_(+S)A=A{S}_,

в)A=A_(+S )A=A{S²}_(+S ),=+S,

г)A=A{S²}_A=A_(e+S²), =_(+S), =+S.

Рассмотрим задачу исследования разрешимости в пространствах программ.

Пусть x= - программа, определенная на входном алфавите Х, выходном алфавите Y и состоящая из подпрограмм (процедур) М с логической схемой (структурой) S. Структуре S поставим в соответствие орграф: Вершины - подпрограммы, ребра - в соответствии со структурой их взаимодействий. Метрика (x,y) в этом пространстве - сумма всех весов ребер орграфов программ не совпадающих при заданной структуре S или отклоняющихся от оптимальной структуры, т.е. Аксиомы метрики проверяемы.

Отметим метризуемость пространства и по некоторым характеристикам качества программ Холстеда [6], а также с помощью понятия интеллектуальной работы программы, оцениваемой как разность энтропии до работы (статической формы программы) и после работы (динамической формы). У идеальной программы энтропия равна нулю. Отметим, что если ds/dt - общее изменение энтропии программного комплекса при отладке, ds₁/dt - изменение энтропии за счет необратимых изменений структуры, потоков внутри комплекса (рассматриваемую как открытую систему), ds₂/dt - изменение энтропии за счет усилий по отладке и тестированию, то справедливо уравнение Пригожина: ds/dt = ds₁/dt + ds₂/dt. Последовательность программ {x_i}, сходится по схеме (структуре) к программе х (обозначим ), если (x_n,x) 0, при n, т.е. дерево программы x_n при n стремится к дереву программы х. Последовательность {x_i} сходится функционально к программе х (обозначим ), если F(x_n) F(x) при n (программная функция x_n стремится к программной функции х). Нетрудно видеть, что из сходимости по схеме следует сходимость функциональная, но обратное неверно.

Пусть M = {x₁, x₂, ..., x_n,...} - последовательность программ с общей функцией (эквивалентных функционально). На этом множестве рассмотрим множество операторов А преобразования (композиции, суперпозиции) программ. Последовательность {A_n} сходится к А функционально (по схеме, структуре), если верно: xМ:

С точки зрения исследования существования, единственности оптимальной (в каком-то смысле) программы можно рассмотреть: операторы минимизации числа операндов; операторы минимизации числа типов операторов; операторы минимизации числа вызовов процедур; минимизации числа ошибок в программе; минимизации сложности (разных способов определения) и др. При исследовании программных систем важно рассматривать пространства векторов х=(х₁,x₂,...,x_n), где x_i - характеристика ошибок в программе или структурной связностипроцедур, u_i - количество ошибок в i-ом модуле программного комплекса P(u)=P(u₁,u₂,...,u_n).

Пусть u(x,t) - количество ошибок, обнаруженных в программе (системе) в момент времени t, а х - характеристика уровня ошибок. Рассмотрим модель обнаружения ошибок при отладке, представимая уравнением (см. также [7]): Lu+Tu=f, где T - оператор, определяющий первоначальный уровень ошибок в программе или их некоторую характеристику, L - некоторый линейный ограниченный оператор отладки, L:UV, U,V - линейные нормированные пространства D(L) U, R(L)V.

Теорема 2. Если R(L)=V и для каждого uD(L) существует постоянная c такая, что , то Lu+Tu=f имеет единственное решение uU.

Доказательство. Условия теоремы гарантируют существование непрерывного обратного оператора L^-1, причем . Тогда u=L^-1(f-Tu). Для однородного уравнения: . Отсюда следует, что , т.е. u=0. Следовательно, неоднородное уравнение имеет единственное решение.

Пример 3. Пусть u_max - максимальный уровень синтаксических ошибок в программе Р, u(t) - их оставшееся количество к моменту времени t. Исходя из модели du/dt+u_max=0, u(t₀)=u₀ можно заключить, что уровень ошибок убывает при (c-t₀)  -1 (t₀₀(1+ (c-t))/(1+(c-t₀)).