Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла

Министерство науки, высшей школы и технической

политики Российской Федерации.

Новосибирский Государственный

Технический Университет.

Реферат по исследованию операций на тему

«Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла».

Вариант №2.

Факультет: АВТ.

Кафедра: АСУ.

Группа: АС-513.

Студент: Бойко Константин Анатольевич.

Преподаватель: Ренин Сергей Васильевич.

Дата: 19 октября 1997 года.

Новосибирск

Введение.

Первоначально метод был предложен Дэвидоном (Davidon [1959] ), а затем развит Флетчером и Пауэллом (Fletcher, Powell [1963] ). Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла называют также и методом переменной метрики. Он попадает в общий класс квазиньютоновских процедур, в которых направления поиска задаются в виде -D_jf(y). Направление градиента является, таким образом, отклоненным в результате умножения на -D_j, где D_j - положительно определенная симметрическая матрица порядка n х n, аппроксимирующая обратную матрицу Гессе. На следующем шаге матрица D_j₊₁ представляется в виде суммы D_j и двух симметрических матриц ранга один каждая. В связи с этим схема иногда называется схемой коррекции ранга два.

Алгоритм Дэвидона - Флетчера - Пауэлла.

Рассмотрим алгоритм Дэвидона - Флетчера - Пауэлла минимизации дифференцируемой функции нескольких переменных. В частности, если функция квадратичная, то, как будет показано позднее, метод вырабатывает сопряженные направления и останавливается после выполнения одной итерации, т.е. после поиска вдоль каждого из сопряженных направлений.

Начальный этап.

Пусть 0 - константа для остановки. Выбрать точку х₁ и начальную симметрическую положительно определенную матрицу D₁. Положить y₁= x₁, k = j = 1 и перейти к основному этапу.

Основной этап.

Шаг 1. Если f(y_j)  , то остановиться; в противном случае положить d_j = - D_jf(y_j) и взять в качестве _j оптимальное решение задачи минимизации f(y_j + d_j) при   0. Положить y_j+1 = y_j + _jd_j. Если j  n, то перейти к шагу 2. Если j = n, то положить y₁ = x_k+1 = y_n+1, заменить k на k+1, положить j=1 и повторить шаг 1.

Шаг 2. Построить D_j₊₁ следующим образом :

, (1)

где

p_j = _jd_j, (2)

q_j = f(y_j+1) - f(y_j). (3)

Заменить j на j + 1 и перейти к шагу 1.

Пример.

Рассмотрим следующую задачу :

минимизировать (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)².

Результаты вычислений методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла приведены в таблице 1.

Таблица 1. Результаты вычислений по методу Дэвидона - Флетчера - Пауэлла.

x_k

f(x_k)

y_j

f(y_j)

f(y_j) 

d_j

_j

y_j+1

(0.00, 3.00)

(52.00)

(0.00, 3.00)

(52.00)

(2.70, 1.51)

(0.34)

(-44.00, 24.00)

(0.73, 1.28)

50.12

1.47

(44.00, -24.00)

(-0.67, -1.31)

0.062

0.22

(2.70, 1.51)

(2.55, 1.22)

(0.1036)

(2.55, 1.22)

(0.1036)

(2.45, 1.27)

(0.0490)

(0.89, -0.44)

(0.18, 0.36)

0.99

0.40

(-0.89, 0.44)

(-0.28, -0.25)

0.11

0.64

(2.45, 1.27)

(2.27, 1.11)

(0.008)

(2.27, 1.11)

(0.008)

(2.25, 1.13)

(0.004)

(0.18, -0.20)

(0.04, 0.04)

0.27

0.06

(-0.18, 0.20)

(-0.05, -0.03)

0.10

2.64

(2.25, 1.13)

(2.12, 1.05)

(0.0005)

(2.12, 1.05)

(0.0005)

(2.115, 1.058)

(0.0002)

(0.05, -0.08)

(0.004, 0.004)

0.09

0.006

(-0.05, 0.08)

0.10

(2.115, 1.058)

На каждой итерации вектор d_j для j = 1, 2 определяется в виде
–D_jf(y_j), где D₁ – единичная матрица, а D₂ вычисляется по формулам (1) - (3). При
k = 1 имеем p₁ = (2.7, -1.49)^T, q₁ = (44.73, -22,72)^T. На второй итерации
p₁ = (-0.1, 0.05)^T, q₁ = (-0.7, 0.8)^T и, наконец, на третьей итерации
p₁ = (-0.02, 0.02)^T, q₁ = (-0.14, 0.24)^T. Точка y_j+1 вычисляется оптимизацией вдоль направления d_j при начальной точке y_j для j = 1, 2. Процедура остановлена в точке
y₂ = (2.115, 1.058)^T на четвертой итерации, так как норма f(y₂) = 0.006 достаточно мала. Траектория движения, полученная методом, показана на рисунке 1.

Рисунок 1. Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла.

Лемма 1 показывает, что каждая матрица D_j положительно определена и d_j является направлением спуска.

Для доказательства леммы нам понадобится :

Теорема 1. Пусть S - непустое множество в Е_n, точка x  cl S. Конусом возможных направлений в точке x называется множество D = {d : d  0, x + d  S при всех   (0, ) для некоторого  > 0}.

Определение. Пусть x и y - векторы из Е_n и x^Ty - абсолютное значение скалярного произведения x^Ty. Тогда выполняется следующее неравенство, называемое неравенством Шварца : x^Ty  x y.

Лемма 1.

Пусть y₁  Е_n, а D₁ – начальная положительно определенная симметрическая матрица. Для j = 1, ..., n положим y_j+1 = y_j + _jd_j, где d_j = –D_jf(y_j), а _j является оптимальным решением задачи минимизации f(y_j + d_j) при   0. Пусть, кроме того, для
j = 1, ..., n – 1 матрица D_j+1 определяется по формулам (1) - (3). Если f(y_j)  0 для
j = 1, ..., n, то матрицы D₁, ..., D_n симметрические и положительно определенные, так что d₁, ..., d_n – направления спуска.

Доказательство.

Проведем доказательство по индукции. При j = 1 матрица D₁ симметрическая и положительно определенная по условию леммы. Кроме того,
f(y₁)^Td₁ = –f(y₁)^TD₁f(y₁)  0, так как D₁ положительно определена. Тогда по теореме 1 вектор d₁ определяет направление спуска. Предположим, что утверждение леммы справедливо для некоторого j  n – 1, и покажем, что оно справедливо для j+1. Пусть x – ненулевой вектор из E_n, тогда из (1) имеем

(4)

Так как D_j – симметрическая положительно определенная матрица, то существует положительно определенная матрица D_j¹^/2, такая, что D_j = D_j¹^/2D_j¹^/2. Пусть
a = D_j¹^/2x и b = D_j¹^/2q_j. Тогда x^TD_jx = a^Ta, q_j^TD_jq_j = b^Tb и x^TD_jq_j = a^Tb. Подставляя эти выражения в (4), получаем :

(5)

По неравенству Шварца имеем (a^Ta)(b^Tb)  (a^Tb)². Таким образом, чтобы доказать, что x^TD_j+1x  0, достаточно показать, что p_j^Tq_j  0 и b^Tb  0. Из (2) и (3) следует, что

p_j^Tq_j = _jd_j^T[f(y_j+1) – f(y_j)]. (6)

По предположениюf(y_j)  0, и D_j положительно определена, так что
f(y_j)^TD_jf(y_j)  0. Кроме того, d_j – направление спуска, и, следовательно, _j  0. Тогда из (6) следует, что p_j^Tq_j  0. Кроме того, q_j  0, и , следовательно, b^Tb= q_j^TD_jq_j  0.

Покажем теперь, что x^TD_j+1x  0. Предположим, что x^TD_j+1x = 0. Это возможно только в том случае, если (a^Ta)(b^Tb) = (a^Tb)² и p_j^Tx = 0. Прежде всего заметим, что
(a^Ta)(b^Tb) = (a^Tb)² только при a = b, т.е. D_j¹^/2x = D_j¹^/2q_j. Таким образом, x = q_j. Так как x  0, то   0. Далее, 0 = p_j^Tx =  p_j^Tq_j противоречит тому, что p_j^Tq_j  0 и   0. Следовательно, x^TD_j+1x > 0, т.е. матрица D_j+1 положительно определена.

Поскольку f(y_j₊₁)  0 и D_j+1 положительно определена, имеем
f(y_j₊₁)^Td_j+1 = –f(y_j₊₁)^T D_j+1f(y_j₊₁) < 0. Отсюда по теореме 1 следует, что d_j+1 – направление спуска.

Лемма доказана.

Квадратичный случай.

В дальнейшем нам понадобиться :

Теорема 2. Пусть f(x) = c^Tx +  x^THx, где Н - симметрическая матрица порядка n x n. Рассмотрим Н - сопряженные векторы d₁, …, d_n и произвольную точку x₁. Пусть _k для k = 1, …, n - оптимальное решение задачи минимизации
f(x_k + d_k) при   Е₁ и x_k+1 = x_k + d_k. Тогда для k = 1, …, n справедливы следующие утверждения :

f(x_k+1)^Td_j = 0, j = 1, …, k;
f(x₁)^Td_k = f(x_k)^Td_k;
x_k+1 является оптимальным решением задачи минимизации f(x) при условии
x - x₁  L(d₁, …, d_k), где L(d₁, …, d_k) – линейное подпространство, натянутое на векторы d₁, …, d_k, то есть В частности, x_n+1 – точка минимума функции f на Е_n.

Если целевая функция f квадратичная, то в соответствии со сформулированной ниже теоремой 3 направления d₁, …, d_n, генерируемые методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла, являются сопряженными. Следовательно, в соответствии с утверждением 3 теоремы 2 метод останавливается после завершения одной итерации в оптимальной точке. Кроме того, матрица D_n+1, полученная в конце итерации, совпадает с обратной к матрице Гессе Н.

Теорема 3. Пусть Н – симметричная положительно определенная матрица порядка n x n. Рассмотрим задачу минимизации f(x) = c^Tx +  x^THx при условии x  E_n. Предположим, что задача решена методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла при начальной точке y₁ и начальной положительно определенной матрице D₁. В частности, пусть _j, j = 1, …, n, – оптимальное решение задачи минимизации f(y_j + d_j) при   0 и y_j₊₁ = y_j + _jd_j, где d_j = -D_jf(y_j), а D_j определяется по формулам (1) – (3). Если f(y_j)  0 для всех j, то направления
d₁, …, d_n являются Н - сопряженными и D_n+1 = H^-1. Кроме того, y_n+1 является оптимальным решением задачи.

Доказательство.

Прежде всего покажем, что для j, такого, что 1  j  n, справедливы следующие утверждения :

d₁, …, d_j линейно независимы.
d_j^THd_k = 0 для i  k; i, k  j.
D_j+1Hp_k, или, что эквивалентно, D_j+1Hd_k = d_k для 1  k  j, p_k = _kd_k.

Проведем доказательство по индукции. Для j = 1 утверждения 1 и 2 очевидны. Чтобы доказать утверждение 3, заметим прежде всего, что для любого k справедливы равенства

Hp_k = H(_kd_k) = H(y_k+1 - y_k) = f(y_k+1) –f(y_k) = q_k. (7)

В частности, Hp₁ = q₁. Таким образом, полагая j = 1 в (1), получаем

т.е. утверждение 3 справедливо при j = 1.

Теперь предположим, что утверждения 1, 2 и 3 справедливы для j  n – 1. Покажем, что они также справедливы и для j + 1. Напомним, что по утверждению 1 теоремы 2 d_i^Tf(y_j+1) = 0 для i  j. По индуктивному предположению d_i = D_j+1Hd_i, i  j. Таким образом, для i  j имеем

0 = d_i^Tf(y_j+1) = d_i^THD_j+1f(y_j+1) = –d_i^THd_j+1.

Ввиду предположения индукции это равенство показывает, что утверждение 2 также справедливо для j+1.

Теперь покажем, что утверждение 3 справедливо для j+1.

Полагая k  j+1, имеем

. (8)

Учитывая (7) и полагая k = j + 1 в (8), получим, что D_j+2Hp_j+1 = p_j+1. Теперь пусть k  j. Так как утверждение 2 справедливо для j + 1, то

p_j+1^THp_k = _k_j+1d_j+1^THd_k = 0. (9)

По предположению индукции из (7) и вследствие того, что утверждение 2 справедливо для j + 1, получаем

. (10)

Подставляя (9) и (10) в (8) и учитывая предположение индукции, получаем

Таким образом, утверждение 3 справедливо для j+1.

Осталось показать, что утверждение 1 справедливо для j+1. Предположим, что . Умножая это равенство на и учитывая, что утверждение 2 справедливо для j+1, получаем, что . По условию теоремы , а по лемме 1 матрица положительно определена, так что . Так как H положительно определена, то и, следовательно, . Отсюда следует, что , и так как d₁, …, d_j линейно независимы по предположению индукции, то для i = 1, …, j. Таким образом, d₁, …, d_j₊₁ линейно независимы и утверждение 1 справедливо для j+1. Следовательно, утверждения 1, 2 и 3 выполняются. В частности сопряжённость d₁, …, d_n следует из утверждений 1 и 2, если положить j = n.

Пусть теперь j = n в утверждении 3. Тогда для k = 1, …, n. Если в качестве D взять матрицу, столбцами которой являются векторы d₁, …, d_n, то . Так как D имеет обратную, то , что возможно только в том случае, если . Наконец, является оптимальным решением по теореме 2.