Нахождение оптимальных планов производства продукции и их экономико-математический анализ

Отчет по лабораторной работе №1 по предмету: «Исследование операций» выполнили студенты CON-954 f/f группы Инюточкин Сергей, Стоянов Сергей

Министерство Образования, Молодежи и Спорта Республики Молдова

Академия Экономических Знаний Молдовы

Факультет Бухгалтерского учета и аудита

Кафедра Экономической Кибернетики и Информатики

Кишинев 1998

Глава I. Задание.

1.1 Цель лабораторной работы.

ЦЕЛЬ - научиться:

- самостоятельно разрабатывать математические модели задач по определению оптимальных планов производства продукции для предприятий и фирм;

- решать полученные математические задачи на ЭВМ с использованием пакетов прикладных программ решения задач линейного программирования;

- проводить содержательный послеоптимизационный анализ полученного решения, включая и вопросы чувствительности оптимального плана к изменению коэффициентов целевой функции и правых частей ограничений.

1.2 Требования к выполнению работы:

1) сформулировать свой вариант задачи и написать ее экономико-математическую модель;

2) составить двойственную задачу;

3) решить задачу на ПЭВМ по составленной экономико-математической модели, используя пакет решения задач линейного программирования. Привести результаты решения задачи на ЭВМ;

4) проанализировать полученные результаты решения задачи, а именно:

- какой смысл имеет полученный план и значение целевой функции;

- как используются данные в условии задачи ресурсы;

5) выписать оптимальное решение двойственной задачи и объяснить, какой экономический смысл имеет каждая оптимальная оценка;

6) проанализировать каждое ограничение задачи, используя решение двойственной задачи;

7) оформить письменный отчет по лабораторной работе, включающей все вышеуказанные пункты задания и список использованной литературы.

1.3 Условия задачи

В состав рациона кормления на стойловый период дойных коров входит 9 видов кормов. В таблице 1.3.1 приводятся необходимые данные о кормах. Для обеспечения намечаемой продуктивности стада необходимо, чтобы в рационе кормления содержалось не менее (14,5+0,1N) кг кормовых единиц, (1750+N) г перевариваемого протеина, (110+N) г кальция, (45+0,1N) г фосфора, (660+0,1N) мг каротина и (18+0,1N) кг сухого вещества. В качестве дополнительных условий даны следующие соотношения для отдельных групп кормов в рационе: концентратов (кукуруза, жмых и комбикорм) – 5-20%, грубых кормов (стебли кукурузы, сено люцерновое, сено суданки) – 15-35%, силоса – 35-60%, корнеплодов (свекла сахарная и кормовая) –10-20%. Определить рацион кормления животных по критерию минимальной себестоимости. N – порядковый номер фамилии студента по журналу =8.

Таблица 1.3.1 Содержание питательных веществ в 1 кг корма и его себестоимость.

Питательные вещества

Кукуруза

Жмых

Стебли кукурузы

Сено люцерны

Сено суданки

Силос кукурузы

Свекла сахарная

Свекла кормовая

Комби-корм

Кормовые единицы, кг

1,34

1,9

0,37

0,49

0,52

0,2

0,26

0,12

0,9

Перевариваемый протеин, г

78

356

14

116

65

19

12

9

112

Кальций, г

0,7

5,9

6,2

17,7

5,7

1,5

0,5

0,4

15

Фосфор, г

3,1

9,1

1

2,2

2,3

0,5

0,4

13

---

Каротин, мг

4

2

5

45

15

15

---

---

---

Сухое вещество

0,87

0,87

0,8

0,85

0,85

0,26

0,24

0,12

0,87

Себестоимость,

лей/кг

0,43+

0,01N

0,65-

0,01N

0,05+

0,01N

0,25+

0,01N

0,3+

0,01N

0,8-

0,01N

0,15+

0,01N

0,14+

0,01N

0,75-

0,01N

Глава 2. Ход выполнения задания на ПЭВМ с использованием пакета LINDO

2.1 Краткое описание пакета LINDO

Пакет LINDO представляет собой прикладную программу, предназначенную для решения различных задач линейного программирования и анализа полученных результатов.

Данная программа позволяет пользователям работать с исходными данными, практически не изменяя их, что очень удобно для неопытных пользователей, на которых рассчитана данная программа. Программа позволяет получить хороший анализ результатов в удобнойформе. Однако при всех достоинствах, пакет имеет и недостатки: отсутствие на экране информации на румынском или русском языках и очень неудобный интерфейс, не позволяющий следить за ходом ввода данных и выполнения работы. Хотя возможность просмотра и исправления введенных данных предусмотрена, но она неудобна пользователю.

Необходимые для работы с пакетом команды описаны в пункте 2.2

2.2 Ход выполнения задания на ПЭВМ с использованием пакета LINDO

1. Напишем экономико-математическую модель данной производственной задачи. Обозначим через xj(j=1,8) количество производимой продукции. Кроме того, т.к. объем ресурсов для оборудования дается в часах, а производительность оборудования в м¤/час, то необходимо перейти к соизмеримости.

Таким образом, задача сводится к нахождению оптимального плана производства продукции каждого вида с целью получения максимальной прибыли.

ЗЛП будет выглядеть так:

Целевая функция:

min Z = 0.51x1+0.57x2+0.13x3+0.33x4+0.38x5+0.72x6+0.23x7+0.22x8+0.67x9

при ограничениях:

1.34x1+ 1.9x2+0.37x3+0.49x4+0.52x5+ 0.2x6+0.26x7+0.12x8+ 0.9x9 >=15.3

78x1+ 356x2+ 14x3+ 116x4+ 65x5+ 19x6+ 12x7+ 9x8+ 112x9 >=1758

0.7x1+ 5.9x2+ 6.2x3+17.7x4+ 5.7x5+ 1.5x6+ 0.5x7+ 0.4x8+ 15x9 >=118

3.1x1+ 9.1x2+ x3+ 2.2x4+ 2.3x5+ 0.5x6+ 0.4x7+ 13x8 >=45.8

4x1+ 2x2+ 5x3+ 45x4+ 15x5+ 15x6 >=660.8

0.87x1+0.87x2+ 0.8x3+0.85x4+0.85x5+0.26x6+0.24x7+0.12x8+0.87x9 >=18.8

x1+ x2+ x9 >=5

x1+ x2+ x9 <=20

x3+ x4+ x5 >=15

x3+ x4+ x5 <=35

x6 >=35

x6 <=60

x7+ x8 >=10

x7+ x8 <=20

Xj >= 0

Экономико-математическая модель состоит из целевой функции, системы ограничений и условия неотрицательности переменных xj.

2. Двойственной к данной задаче является следующая:

Целевая функция:

max F = 15.3y1+1758y2+118y3+45.8y4+660.8y5+18.8y6+5y7-20y8+15y9-35y10+

35y11-60y12+10y13-20y14

при ограничениях:

1.34y1+ 78y2+ 0.7y3+3.1y4+ 4y5+0.87y6+y7-y8 <=0.51

1.9y1+ 356y2+ 5.9y3+9.1y4+ 2y5+0.87y6+y7-y8 <=0.57

0.37y1+ 14y2 +6.2y3+ y4+ 5y5+ 0.8y6+ y9-y10 <=0.13

0.49y1+ 116y2+17.7y3+2.2y4+45y5+0.85y6+ y9-y10 <=0.33

0.52y1+ 65y2+ 5.7y3+2.3y4+15y5+0.85y6+ y9-y10 <=0.38

0.2y1+ 19y2+ 1.5y3+0.5y4+15y5+0.26y6+ y11-y12 <=0.72

0.26y1+ 12y2+ 0.5y3+0.4y4+ 0.24y6+ y13-y14 <=0.23

0.12y1+ 9y2+ 0.4y3+ 13y4+ 0.12y6+ y13-y14 <=0.22

0.9y1+112y2+ 15y3+ 0.87y6+y7-y8 <=0.67

Данные задачи составляют пару двойственных задач. Решение прямой задачи дает оптимальный план минимизации расходов на рацион кормления, а решение двойственной задачи – оптимальную систему оценок питательной ценности используемых кормов.

3. Для решения прямой задачи воспользуемся пакетом LINDO.

Пакет установлен на диске Е: в каталоге \LINDO. Для его загрузки активизируем данный каталог и находим файл с именем lindo.exe.

Вначале необходимо ввести целевую функцию F. Для этого после двоеточия (:) набираем слово max и после пробела вводим целевую функцию. После знака вопроса набираем ST и вводим ограничения. В конце набираем END.

Для просмотра всей задачи используют команду LOOK ALL, а для просмотра строки - LOOK < N строки >.

При необходимости можно произвести редактирование той или иной строки путем набора команды ALT < N строки > и изменять либо значения переменных (VAR), либо правых частей (RHS), либо направление оптимизации с max на min и наоборот.

Решение производится вводом команды GO, а для проведения послеоптимизационного анализа после (?) нажимают Y.

После введения задачи и набора команды GO получаем следующие результаты:

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

32, 1779200

VARIABLE

VALUE

REDUCED COST

x1

3.943977

0

x2

1.056023

0

x3

13.927200

0

x4

1.072801

0

x5

0

0.193695

x6

35

0

x7

0

0.009258

x8

10

0

x9

0

0.169071

ROW

SLACK OF SURPLUS

DUAL PRICES

2

5.870109

0

3

0

0.000247

4

52.828530

0

5

139.823500

0

6

0

0.004369

7

7.903641

0

8

0

0.473236

9

15

0

10

0

0.104691

11

20

0

12

0

0.649760

13

25

0

14

0

0.217775

15

10

0

Nо. ITERATIONS = 12

4. Из полученного решения исходит, что минимальные затраты на составление рациона питания, содержащего все необходимые элементы составляют 32, 18 денежных единиц. То есть целевая функция:

min Z = 0.51*3,943977+0.57*1,056023+0.13*13,9272+0.33*1,072801+

+0.72*35+0.22*10=32,17792

Оптимальный рацион питания:

Х = (3,943977; 1,056023; 13,927200; 1,072801; 0; 35; 0; 10; 0)

то есть в рацион войдет:

Кукурузы –3,943977 кг

Жмыха – 1,056023 кг

Стеблей кукурузы – 13,9272 кг

Сена люцерны – 1,072801 кг

Силоса кукурузы – 35 кг

Свеклы кормовой – 10 кг

Остальные корма (сено суданки, свекла сахарная и комбикорм) в рацион не вошли.

5. Оптимальным планом двойственной задачи является следующий:

Y=(0; 0.000247; 0; 0; 0,004369; 0; 0,473236; 0; 0,104691; 0; 0,64976; 0; 0,217775; 0)

При этом целевая функция достигает своего максимального значения:

max F = 1758*0,000247+660.8*0,004369+5*0,473236+15*0,104691+

35*0,64976+10*0,217775=32,17792

Таким образом мы получили решение прямой двойственной задач, значения целевых функций которых равны:

Z(X)=F(Y)=32,17792

6. Проанализируем каждое ограничение двойственной задачи, подставляя вместо Y значения двойственных оценок

78*0.000247 +4*0.004369+1*0.473236 =0.5099 <=0.51

356*0.000247+2*0.004369+1*0.473236 =0.5699 <=0.57

14*0.000247 +5*0.004369+1*0.104691 =0.12999<=0.13

116*0.000247+45*0.004369+1*0.104691 =0.3299 <=0.33

65*0.000247 +15*0.004369+1*0.104691 =0.18628<=0.38

19*0.000247 +15*0.004369+1*0.64976 =0.71998<=0.72

12*0.000247 +1*0.217775 =0.2207 <=0.23

9*0.000247 +1*0.217775 =0.21999<=0.22

112*0.000247+1*0.473236 =0.5009 <=0.67

Из полученных данных видно, что все ресурсы используются оптимально, кроме сена суданки и комбикорма, которые вообще не вошли в рацион.

7. Для проведения анализа устойчивости оптимального плана прямой задачи при изменении коэффициентов целевой функции воспользуемся следующими данными, полученными с помощью ПЭВМ. Для этого в ответ на запрос RANGE вводим YES. Результы получим в следующем виде:

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE

CURRENT

ALLOWABLE

ALLOWABLE

COEF

INCREASE

DECREASE

x1

0.51

0.07

0.381798

x2

0.57

0.485098

0.07

x3

0.13

0.177986

0.093040

x4

0.33

0.761069

0.177986

x5

0.38

INFINITY

0.193695

x6

0.72

INFINITY

0.649760

x7

0.23

INFINITY

0.009258

x8

0.22

0.009258

0.217775

x9

0.67

INFINITY

0.169071

Как видно коэффициенты Cj при Xj в целевой функции могут изменяться таким образом:

0,128202 < C1 < 0,58

0,5 < C2 < 1,055098

0,03696 < C3 < 0,307986

0,152014 < C4 < 1,091069

0,186305 < C5 < INFINITY

0,07024 < C6 < INFINITY

0,220742 < C7 < INFINITY

0,002225 < C8 < 0,229258

0,500929 < C9 < INFINITY

Если коэффициенты целевой функции лежат соответственно в заданных диапазонах, то оптимальный план прямой задачи остается без изменений.

Соответственно оптимальный план двойственной задачи будет устойчив при изменении правых частей ограничений, заложенных в следующей таблице.

ROW

CURRENT

ALLOWABLE

ALLOWABLE

RHS

INCREASE

DECREASE

2

15.3

5.870109

INFINITY

3

1758

1116.54

298.960100

4

118

52.828530

INFINITY

5

45.8

139.823500

INFINITY

6

660.8

117.2392

43.69926

7

18.8

7.903641

INFINITY

8

5

4.409440

3.181932

9

20

INFINITY

15

10

15

8.567274

9.957481

11

35

INFINITY

20

12

35

2.886976

15.53039

13

60

INFINITY

25

14

10

10

10

15

20

INFINITY

10

Выводы.

На основе проведенной лабораторной работы можно сделать следующий вывод: полученное решение прямой задачи является оптимальным, то есть ферма, используя данный рацион минимизирует его себестоимость, при этом питательная ценность рациона находится в пределах норм.

Список литературы

1. А.Ф. Гамецкий, Д.И. Соломон Лабораторный практикум по курсу "Исследование операций" (для экономических специальностей), Кишинев, 1995.

2. Конспект лекций по предмету «Исследование операций» доктора экономики В. П. Зубрицкого