Построение поверхностей в Mathcad и Maple

Mathcad. Построение поверхностей.

Быстрое построение

Быстрое построение является наиболее легким способом построения поверхностей. Для этого необходимо:

На лист Mathcad ввести формулу z(x,y):=…;
Выбрать команду главного меню «Вставка», «График», выбрать вид графика «поверхность» на панели инструментов «Графики».
В шаблон трехмерного графика ввести имя функции без указания аргументов.

Пример:

Построение поверхностей по матрице аппликат.

Самый «правильный» способ построения графика поверхности, заданной функцией от двух переменных z = f(x,y), является заполнение матрицы значениями этой функции. При этом строки и столбцы матрицы интерпретируются как абсциссы и ординаты. Пример:

Определение функции от двух переменных z(x,y):=cos (x ^.y)

Число линий для построения графика и масштаба N:=40 M:=40

Определение индексов i:=0..N j:=0..N

Определение массивов абсцисс и ординат x_i:= y_j:=

Определение массива аппликат A_i_,_j_,:= z(x_i, y_j)

В шаблон трехмерного графика вводим название массива аппликат:

Построение с помощью функции CreateMesh.

Функция CreateMesh относится к категории Vector and matrix (Векторы и матрицы), так как результатом работы функции будет матрица координат.

Формат вызова функции:

CreateMesh(F , x1, x2, y1, y2, xgrid, ygrid, mesh).

Параметры функции CreateMesh:

Mesh – количество линий в сетке функции;

F – вид функции (может быть или формула, или трёхмерный вектор, задающий каждую координату в параметрической форме, или три отдельные функции, задающие координаты в параметрическом виде);

- x1 – нижняя граница переменной x;

- x2 – верхняя граница переменной x;

- y1 – нижняя граница переменной y;

- y2 – верхняя граница переменной y;

- xgrid – количество точек переменной х;

- ygrid – количество точек переменной y.

Пример:

В одной системе координат можно построить несколько поверхностей, для этого достаточно определить их, а затем в шаблон графика ввести их имена без аргументов через запятую:

Построение одного и того же графика в декартовой, цилиндрической

и сферической системах координат

Пусть задана какая-нибудь функция, например z(x,y)=const. В различных системах координат эта функция имеет различные графики. В декартовой системе координат это плоскость, параллельная плоскости Оху, в цилиндрической – прямой круговой цилиндр с основанием радиуса const, в сферической – шар радиуса const. Для изменения системы координат, надо по шаблону графика щелкнуть правой кнопкой мыши, в появившемся перечне выбрать «Свойства», затем «Данные QuickPlot» и указать нужную систему координат. Пример:

Построение многогранников

Для построения многогранников в Mathcad есть функция Polyhedron. Её можно использовать двумя способами:

1) по имени, тогда обращение к функции будет Polyhedron(“имя многогранника”);

2) по коду, тогда обращение к функции будет Polyhedron(“#номер многогранника”).

Построение поверхностей вращения.

Для построения поверхностей вращения в Mathcad удобно использовать функцию CreateMesh.

Параметры функции CreateMesh:

- x1, y1,z1 – матрицы значений для каждой координаты;

- -5 – нижняя граница переменной u;

- 5 – верхняя граница переменной u;

- 0 – нижняя граница переменной v;

- 2π – верхняя граница переменной v;

- 30 – количество линий в сетке графика.

Параметрические уравнения для поворота вокруг оси Ох:

x1(x,φ):=x

y1(x,φ):=y(x) ^. cos(φ)

z1(x,φ):=y(x) ^. sin(φ)

Параметрические уравнения для поворота вокруг оси Oy:

х2(x,φ):=x ^. cos(φ)

у2(x,φ):=у(x)

z2(x,φ):=x ^. sin(φ)

Пример: рассмотрим гиперболу y² – x² = 1. При вращении этой гиперболы вокруг оси Ох получается однополостный гиперболоид, при вращении вокруг оси Оу – двуполостный гиперболоид. Построим эти поверхности вращения:

Построение пространственных линий.

Линия в пространстве, рассматриваемая как след движущейся точки, представляется системой трёх уравнений: x = x(t); y = y(t); z = z(t), выражающих координаты точки t. Эти уравнения называются параметрическими уравнениями пространственной линии. Для построения пространственных линий в Mathcad существует функция CreateSpace.

Функция CreateSpace относится к категории Vector and matrix (Векторы и матрицы), так как результатом работы функции будет матрица координат. Работает аналогично CreateMesh. Главное отличие в том, что параметрические уравнения должны быть функциями одной переменной, а не двух, как в CreateMesh. Вызов функции: CreateSpace(F, t1, t2, tgrid). Параметры функции:

- F – вектор параметрических уравнений координат;

- t1 – нижняя граница переменной;

- t2 – верхняя граница переменной;

- tgrid – число линий сетки; не обязательный параметр; чем больше этот параметр, тем более гладкая получается линия; если он не достаточно велик, линия получается с изломами.

Пример:

Maple. Построение поверхностей и пространственных линий.

График поверхности, заданной явной функцией.

График функции можно нарисовать, используя команду plot3d(f(x,y), x=x1…x2, y=y1…y2, options). Параметры этой команды частично совпадают с параметрами команды plot. К часто используемым параметрам команды plot3d относится light=[angl1, angl2, c1, c2, c3] – задание подсветки поверхности, создаваемой источником света из точки со сферическими координатами (angl1, angl2). Цвет определяется долями красного (c1), зеленого (c2) и синего (c3) цветов, которые находятся в интервале [0,1]. Параметр style=opt задает стиль рисунка: POINT –точки, LINE – линии, HIDDEN – сетка с удалением невидимых линий, PATCH – заполнитель (установлен по умолчанию), WIREFRAME – сетка с выводом невидимых линий, CONTOUR – линии уровня, PATCHCONTOUR – заполнитель и линии уровня. Параметр shading=opt задает функцию интенсивности заполнителя, его значение равно xyz – по умолчанию, NONE – без раскраски.

Привер: построим поверхность x² + 4z = 4. Так как z в первой степени, то его можно выразить и сделать функцию явной, получим, z = . Вводим в Maple:

with (plots) : plot3d({ + 0 ^. y²}, x=-5..5, y = -5..5, grid = [25,25], axes=NORMAL)

График поверхности, заданной неявно.

Трехмерный график поверхности, заданной неявно уравнением , строится с помощью команды пакета plot: implicitplot3d(F(x,y,z)=c, x=x1..x2, y=y1..y2, z=z1..z2), где указывается уравнение поверхности и размеры рисунка по координатным осям.

Пример: построим поверхность Очевидно, что функция задана неявно, поэтому используем алгоритм, описанный выше.

График поверхности, заданной параметрически.

Если требуется построить поверхность, заданную параметрически: x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v), то эти функции перечисляются в квадратных скобках в команде: plot3d([x(u,v), y(u,v), z(u,v)], u=u1..u2, v=v1..v2).

Пример: построить поверхность заданную параметрически: х = 2^.u + v, y = v ^. cos(u),

z = v ^. sin(u). Для начала зададим функции Х0, Y0, Z0, соответствующие функциям х, у, z.

График пространственных кривых.

В пакете plot имеется команда spacecurve для построения пространственной кривой, заданной параметрически: . Параметры команды: spacecurve([x(t),y(t),z(t)],t=t1..t2), где переменная t изменяется от t1 до t2.

Пример: построить пространственную кривую, заданную параметрически х = arctg(t),

y = arcctg(t), z = t.

В Maple также существует возможность построения нескольких графиков одновременно. Для этого необходимо задать каждую поверхность, а затем использовать команду display. Пример:

Поверхность вращения.

Для построения поверхностей вращения в Maple есть функция Surface of revolution. Чтобы ей воспользоваться нужно во вкладке «Tools» выбрать раздел «Tutors», затем подраздел «Сalculus – Single Variablе», функцию «Surface of revolution». В появившемся окне надо ввести функцию, интервал на котором будет произведено построение, выбрать ось вращения и параметры графика. Окно графика появляется при нажатии кнопки «Close».

Пример: построим поверхности, полученные вращением графика функции y=sin x на интервале от 0 до π вокруг оси Ох и Оу. Вызываем функцию Surface of revolution как описано выше. В поле «f(x)» вводим sin(x), указываем границы интервала, в поле Line of Revolution в одном случае выбираем Vertical, в другом Horizontal, нажимаем Сlose.