Задач линейного программирования

Цель работы: изучить теорию и методы решения задач линейного программирования; пробрести навыки построения моделей линейного программирования и решения задач линейного программирования на ЭВМ.

Краткие теоретические сведения

Методы линейного программирования (ЛП) оказались весьма эффективными для решения задач из различных областей человеческой деятельности. Слово "программирование" понимается как планирование, и это определяет характер рассматриваемых приложений. Основные идеи линейного программирования возникли во время второй мировой войны в связи с поиском оптимальных стратегий при ведении военных операций. С тех пор они нашли широкое применение в промышленности, торговле и в управлении - как в местных, так и в государственных масштабах. Этими методами можно решить многие задачи, связанные с эффективным использованием ограниченных ресурсов.

Пример 1. Фирма производит две модели (А и В) сборных книжных полок. Их производство ограничено наличием сырья (высококачественных досок) и временем машинной обработки. Для каждого изделия модели А требуется 3 м² досок, а для изделия модели В - 4 м². Фирма может получить от своих поставщиков до 1 700 м² досок в неделю. Для каждого изделия модели А требуется 12 мин машинного времени, а для изделия модели 5-30 мин. В неделю можно использовать 160 ч машинного времени.

Сколько изделий каждой модели следует фирме выпускать в неделю, если каждое изделие модели А приносит 2 дол. прибыли, а каждое изделие модели В-А дол. прибыли?

Чтобы сформулировать эту задачу математически, обозначим через х_{ количество выпущенных за неделю полок модели Л, а через х₂ -количество выпущенных полок модели В. Задача состоит в том, чтобы найти наилучшие значения х\ и х₂. Очевидно, наилучшими для данной задачи являются такие значения, которые максимизируют еженедельную прибыль. Еженедельная прибыль составляет

Р = 2x₁, + 4x₂.

Поскольку х₁ и х₂ выражают еженедельный объем выпускаемых изделий, то они не могут быть отрицательны, т.е.

х_{ > 0, х₂>0 (1)

Теперь ограничения на наличие досок и машинное время могут быть записаны следующим образом: для досок -

Зх₁ + 4х₂ < 1700 (2)

для машинного времени -

2X₁ + 5 х₂ < 1600. (3)

Следовательно, задача состоит в том, чтобы найти значения х₁ и х₂, удовлетворяющие условиям неотрицательности (1) и ограничениям типа неравенства (2) - (3) и максимизирующие функцию Р.

Это типичная двумерная задача линейного программирования. Целевая функция, которая должна быть максимизирована, является линейной функцией своих переменных. Ограничения на эти переменные тоже линейны (1).

Рис. 1 Линия уровня целевой функции и допустимое множество задачи ЛП

Условия неотрицательности позволяют ограничиться рассмотрением положительного квадранта. Границы определяются прямыми

3x₁ + 4х₂ = 1700,

2х₁ + 5х₂ = 1 600.

Стрелка на каждой границе указывает, с какой стороны прямой * выполняется ограничение. Заштрихованная область ОАВС, содержащая точки, для которых соблюдены условия (2) и (3), является допустимой. Точки внутри и на границе этой области изображают допустимые решения. Допустимых решений много. Задача состоит в том, чтобы найти точку максимума функции Р.

Штриховыми линиями изображены прямые

2x₁ + 4x₂ =0,

2x₁ + 4x₂ = 800,

обозначенные а и b соответственно. Эти прямые параллельны и представляют собой две линии уровня функции Р со значениями 0 и 800. Ясно, что значение функции Р возрастает по мере того, как линии уровня удаляются от начала координат в положительном квадранте.

ми (2, 4), указывающий направление возрастания функции Р перпендикулярен штриховым линиям и направлен в сторону, противоположную началу координат.

Линией уровня с наибольшим значением функции Р имеющей хотя бы одну точку с допустимой областью, является прямая с, проходящая через вершину В; на ней Р принимает значение 1 400. Точка В, в которой х₁ = 300, х₂ = 200, соответствует оптимальному решению задачи. Эти значения могут быть получены как решения уравнений.

2х₁ +4х₂ =1700,

2х₁ +5х₂ =1 600.

Следовательно, максимальная прибыль составляет 2*300 + 4*200 = 1400.

В точке максимума оба ограничения превращаются в равенства, что означает полное использование сырья и машинного времени.

Пример 1 показывает, как возникают задачи линейного программирования на практике и демонстрирует графический метод их решения.

Рассмотренная задача может быть расширена до трех и более ограничений и соответствующего количества неотрицательных переменных. Могут быть введены дополнительные ограничения, связанные с возможностями рынка, упаковкой и т.д. В этом случае задача по-прежнему заключается в максимизации линейной функции от нескольких переменных при линейных ограничениях.