1

Содержание

I. Введение

II. Двоичный/непрерывный ГА

III. Фазо-неравномерная линейная решетка с низким УБЛ

IV. Микрополосковая антенна с круговой поляризацией

V. Прореженные подрешетки

VI. Выводы

1. Введение

В некоторых случаях оптимизационная задача имеет затратную функцию, оперирующую как действительными, так и целочисленными переменными. Если переменные целые, то используются либо целочисленные алгоритмы программирования, либо двоичные генетические алгоритмы (ГА). Двоичные ГА легко преобразуют биты, представляющие конфигурации (хромосомы), в целые значения, не используя действительных значений. Но зачастую решения относительно уровня квантования переменных бывают сложными. Большинство оптимизационных алгоритмов рассчитаны на затратные функции, оперирующие действительными переменными, в особенности те алгоритмы, которые используют производные. Одним из подходов к оптимизации функций, оперирующих как действительными, так и целыми переменными, является рассмотрение всех переменных как действительных с последующим округлением значений целых переменных. Если в решении оптимизационной задачи участвуют оба вида переменных, она называется оптимизацией со смешанными целыми [1]. Самым распространенным подходом здесь является метод ветвей и границ [2], хотя имеется и ряд других. Первоначально эти подходы были предназначены для решения линейных задач программирования, но затем стали использоваться и для нелинейных. Они рассчитаны на малое число переменных и часто дают приблизительные результаты.

В последнее время для оптимизации со смешанными целыми используются эволюционные методы и оптимизация по принципу роения элементов [4-7]. В этих подходах область затрат исследуется более эффективно, можно оптимизировать большее число переменных, но в то же время необходимо каждый раз применять ГА, работающие с двоичными или непрерывными переменными. Такие алгоритмы имеют раздельные операторы для действительных и целых/двоичных переменных. В данной статье представлен ГА, который отличается от описанных ранее, поскольку его хромосомы имеют значения только в интервале от нуля до единицы. В нем использовано однородное скрещивание и имеется несколько направлений (выборов) мутации. Такой ГА универсален, т.к. один алгоритм можно использовать для любого типа переменной. Все масштабирование и картирование (преобразование) переменных имеет место в затратной функции.

Данный ГА применен к расчету трех разных антенных конструкций. В первом случае максимальный уровень боковых лепестков (УБЛ) линейной решетки минимизируется за счет фазовой неравномерности. Фазовые переменные имеют три формы: действительную, двоичную и смешанную. Представлена эффективность алгоритма при работе со всеми тремя формами. Во втором случае рассматривается расчет микрополосковой антенны с круговой поляризацией, имеющей в составе хромосомы двоичные и действительные переменные. Наконец, выполняется оптимизация антенны с прореженными подрешетками, направленная на получение самого низкого из максимальных УБЛ. Преимуществом данного алгоритма является то, что оптимизацию можно проводить, имея значения переменных любого типа без необходимости изменения самого алгоритма.

II. Двоичный/непрерывный ГА

ГА, описанный в данной статье, минимизирует затратные функции, которые при вычислении затрат оперируют действительными и целыми переменными. Для повышения универсальности ГА все переменные картируются (распределяются) по непрерывным значениям от 0 до 1. Термином непрерывный мы пользуемся вместо действительный, поскольку последний подразумевает значения в интервале ±∞, а первый в настоящей работе соответствует значениям от 0 до 1.

Матрица совокупностей npop x nvar для данного ГА представлена Уравнением 1, где v_m,n = переменной n в конфигурации (хромосоме) m при 0 ≤ v_m,n ≤ 1. Каждый ряд соответствует хромосоме; значения первоначально создают с помощью однородного произвольного генератора чисел. Непрерывная переменная v_m,n преобразуется либо в действительную переменную x_n, в целое I_n, либо в двоичное b_n. Смотри Ур.2, где min и max представляют границы переменной, x_min ≤ x_n ≤ x_max; rounddown - функция, которая округляет до следующей меньшей целой; а round - функция, которая округляет до ближайшей целой. Как и в двоичном ГА, группа двоичных знаков образует ген (последовательность). Преимуществом данного подхода является то, что все масштабирование, квантование и округление происходит внутри затратной функции, так что ГА действует независимо от типа переменной. Поскольку операторы работают с любым сочетанием типов переменных, нет необходимости использовать двоичный ГА, действительный ГА и ГА со смешанными целыми. В хромосоме может быть любое сочетание действительных, целых и двоичных переменных.

Продолжительность существования конфигурации (хромосомы) можно обеспечить с помощью ряда разных способов. В данном случае в фонде скрещивания сохраняются верхние 50% хромосом. Мы используем турнирный отбор при участии в одном турнире двух хромосом. Почти те же результаты дает выбор по правилам рулетки в сочетании с расстановкой по рангам [9].

Теперь можно выполнить скрещивание двух выбранных хромосом за счет одного из многих различных двоичных скрещиваний или скрещиваний на основе действительного ГА [9]. Однородное скрещивание дает большие возможности исследования области затрат, чем другие подходы к скрещиванию [9]; как раз оно и реализовано в этом алгоритме. Вначале создают произвольный двоичный шаблон. Единица в его колонке означает, что результат (потомок) наделен переменным значением в графе parent#1 (родитель#1). Если там будет 0, то результат наделен переменным значением в графе parent#2 (см. Ур.3). При таком подходе от каждой выбранной пары родителей создается только один потомок. Если значения являются двоичными, то такой тип скрещивания дает разнообразие результатов, а если они целые или непрерывные, то лишь обменивает значения у хромосом. Далее благодаря мутации в рамках совокупности непрерывных значений появляются новые значения. В таком алгоритме также хорошо действует непрерывное скрещивание.

Один из подходов к мутации заключается в произвольном выборе переменных в совокупности и замене их однородными произвольными значениями. Другим подходом является введение произвольного поправочного коэффициента. Такой коэффициент можно создать путем умножения каждого элемента хромосомы на произвольное число (-1 ≤ β_rm ≤ 1) и далее умножением всей хромосомы на коэффициент мутации (0 ≤ α_r ≤ 1). Смотри Ур.4, где rem - функция остатков (разряды слева от десятичной точки опускаются). Такой вид мутации приводит к изменению всей хромосомы, а не отдельной переменной.

В попытке определить подходящий размер совокупности и α_r были проведены испытания алгоритма на двух затратных функциях. В обоих случаях ГА завершал работу после 400 оценок функций и показывал самые благоприятные результаты. Первой тестовой функцией была (Ур.5), имеющая минимум нуля при x_n = 0. Результаты усреднили по 100 прогонам при размере совокупности от 8 до 96 и частоте мутации от 0,01 до 0,3. Наилучшие результаты были при размере совокупности 8 и частоте мутации 0,1. Второй тестовой функцией была (Ур.6), имеющая минимум нуля при x_n = 0. Результаты усреднили по 500 прогонам при размере совокупности от 8 до 96 и частоте мутации от 0,005 до 0,3. Наилучшие результаты были при размере совокупности 40 и частоте мутации 0,01.

III. Фазо-неравномерная линейная решетка с низким УБЛ

Первым примером был расчет линейной решетки, состоящей из 2nvar+1 равно удаленных изотропных точечных источников, имеющих однородные амплитудные весовые коэффициенты. Для данной фазовой неравномерности затратная функция дает максимальный относительный УБЛ множителя решетки, включающей 31 элемент при интервале 0,5λ. Фазовые весовые коэффициенты симметричны относительно центра решетки, причем центральный элемент имеет фазу, равную нулю. Затратная функция дает максимальный УБЛ множителя решетки (af) (см. Ур.7), где (см.) [cost - затраты].

Данная конструкция служит испытательным стендом для проверки эффективности ГА в условиях, когда переменные являются только либо двоичными, либо действительными, либо смешанными - при одинаковой затратной функции. Критерий эффективности был наилучшим после оценки 2000 функций. Поскольку ГА относится к типу произвольного поиска, отдельный прогон не является показателем ожидаемой эффективности. Следовательно, усреднение лучших результатов по 20 отдельным прогонам дает гораздо лучшую оценку эффективности ГА, чем отдельный прогон. Сравнение эффективности каждого алгоритма производили для сочетаний коэффициента мутации (0,01 ≤ α_r ≤ 0,15) и размера совокупности (8 ≤ npop ≤ 128). Использовались однородное скрещивание и мутация, представленная в Ур.4.

Самые низкие максимальные УБЛ, найденные в каждом из 20 отдельных прогонов, были усреднены для трех случаях.

1) Действительные фазовые весовые показатели: фазовые весовые показатели могут принимать любые значения от нуля до 2π и при nvar = 15.

2) Двоичные фазовые весовые показатели: 4-х битная точность при минимальном квантовании π/8. В этом случае nvar = 4 х 15 = 60.

3) Смешанные действительные и двоичные: восемь элементов с каждой стороны от центрального имеют действительные фазовые значения, а семь элементов на каждой стороне имеют 4-битные фазовые изменения.

Эффективность трех типов хромосом схожа с нескольких точек зрения. Во-первых, не очень удачным является сочетание очень маленького размера совокупности и очень маленькой частоты мутации. Во-вторых, плохие результаты бывают при одновременном увеличении и размера совокупности и частоты мутации. В-третьих, очень хорошая эффективность достигается при сочетании умеренного размера совокупности и частоты мутации ниже 10%.

Чтобы показать сходимость хорошего прогона ГА, использовали значения npop = 40 и α_r = 0,05. Из результатов прогонов кажется, что эти значения дают хорошие результаты для всех хромосом, содержащих либо непрерывные, двоичные, либо смешанные значения. Число прогонов ГА для каждого из типов хромосом составило 20. Оптимизация закончилась после 10000 оценок функций. На Рис.2 представлены кривые наилучших прогонов для каждого типа хромосом. Даже при том что размер совокупности для этих типов хромосом одинаков, тот факт, что двоичная хромосома имеет больше переменных (по одной на каждый двоичный разряд) дает более мутированные хромосомы (следовательно, больше оценок функций) в каждом поколении данной совокупности. Такой пример показывает, что ГА со смешанными целыми хорошо проявляет себя на фоне как двоичного, так и непрерывного ГА.

Нахождение глобального минимума - задача более сложная. Часто гораздо лучшие результаты, чем какой-либо отдельный алгоритм, дает гибридный алгоритм, совмещающий ГА с локальным оптимизатором.

IV. Микрополосковая антенна с круговой поляризацией

Целью второго примера является расчет прямоугольного излучателя для круговой поляризации при 10 ГГц. У затратной функции есть шесть входных переменных [v₁ v₂ v₃ v₄ v₅ v₆]: (см.)

= положение облучателя элемента (датчика)

= длина излучателя в направлениях х и у

= толщина подложки

= относительная диэлектрическая постоянная подложки, где λ дано в мм. На

Затратная функция (реализованная с использованием FEKO [10]) дает максимум от трех рассчитанных членов (см. Ур.8), где Е = ... = электрическое поле; s₁₁ = коэффициент отражения.

Первые два члена в Ур.8 при круговой поляризации равны нулю, поскольку компоненты электрического поля тета и фита должны иметь одинаковую величину и несовпадение по фазе в 90 градусов. Для идеального соответствия при 50Ω |s₁₁| равно нулю. Когда излучатель имеет круговую поляризацию и идеальное соответствие, cost (затраты) = 0.

Результаты ГА соответствовали результатам нисходящего симплексного алгоритма Нельдера-Мида в течение пяти отдельных прогонов (при новом произвольном выборе для каждого прогона). Каждый прогон заканчивался после 400 оценок функций. ГА имел npop = 40, α_r = 0,05 и использовал мутацию, представленную в Ур.4. Как показано в Таблице II, результаты ГА превосходят результаты алгоритма Нельдера-Мида. Тем не менее, его эффективность не является исключительной. Еще раз ГА протестировали при размере совокупности, равной 12, α_r = 0,05, и частоте мутации, представленной в Ур.4. Сходимость, показанная на Рис.5, явно превосходит результаты предшествующих прогонов ГА.

В оптимальный расчет из лучшей хромосомы можно включить следующие значения (см.). Полученный излучатель имеет правостороннюю круговую поляризацию при коэффициенте эллиптичности 1,009 и s₁₁ = 0,012. Излучатель имеет коэффициент направленного действия, равный 6,97 дБ. Таким образом, с помощью ГА удалось создать очень хорошую микрополосковую конструкцию.

V. Прореженные подрешетки

генетический алгоритм хромосомы

Большие антенны с фазированными решетками строить весьма накладно. Если делить решетки на подрешетки, можно получить выигрыш в затратах на расчет, сооружение и обслуживание большой решетки. Если амплитудное и/или фазовое взвешивание выполнять не на уровне элемента, а на уровне подрешетки, можно добиться дифракционного максимума решетки.

Существует соотношение между УБЛ и простотой конструкции. Одно из упрощений заключается в сочетании амплитудной неравномерности идентичных подрешеток с амплитудной неравномерностью, производимой на портах (вводах/выводах) подрешеток. Получаемая амплитудная неравномерность гораздо эффективней, чем выполняемая только на подрешетках. Поскольку все подрешетки идентичны, конструкция облучателя (схемы возбуждения) является очень простой. В линейных и плоских решетках ГА используют для расчета оптимальной амплитудной неравномерности как у элементов подрешеток, так и на выходах подрешеток.

В представленном здесь подходе все подрешетки являются идентичными (половина зеркально отражает другую половину). Но вместо амплитудной неравномерности, производимой у элементов подрешетки, выполняется прореживание элементов. Прореживание - это, когда элемент имеет амплитудные весовые коэффициенты, равные нулю и единице. В положении нуля элемент связан с согласованной нагрузкой, а в положении единицы - со схемой возбуждения. Порты подрешеток также имеют весовые коэффициенты, которые нормализованы между нулем и единицей.

В качестве примера возьмем квадратную решетку точечных источников, разнесенных в направлениях x и y с интервалом в 0,5λ. Решетка из 900 элементов разделена на 36 подрешеток по 25 элементов в каждой. Цель заключается в минимизации максимального УБЛ путем сочетания оптимизации прореживания подрешеток с амплитудной неравномерностью, выполняемой на выводах подрешеток. Затратная функция, учитывающая симметрию решетки, дана в Ур.9, где a_n - произведение весового коэффициента элемента и весового коэффициента подрешетки для элемента n; (x_n, y_n) - положение элемента n; а N_e - общее число элементов в одном квадранте решетки.

На Рис.6 показано конечное оптимизированное прореживание решетки. Темная точка - это элемент, связанный с питающей схемой и имеющий амплитудный весовой коэффициент соответствующей подрешетки. Белая точка - это элемент, связанный с согласованной нагрузкой. Заметим, что подрешетки являются либо идентичными, либо зеркальными отображениями друг друга.

Затраты представляют собой максимальный относительный УБЛ, вычисляемый согласно Ур.9. К примеру, в решетке 6 х 6 = 36 подрешеток, в каждой из которых 5 х 5 = 25 элементов. Интервал между элементами в обоих направлениях квадратной решетки составляет половину длины волны.

С помощью ГА находим оптимальные весовые коэффициенты. Если веса подрешетки оптимизированы так, что все элементы являются однородно взвешенными, максимальный УБЛ оказывается равным -18,4 дБ. Коэффициент направленного действия равен 28,3 дБ при эффективности неравномерности 75%. Такие результаты соответствуют результатам при однородном растворе антенны, имеющей коэффициент направленного действия 29,5 дБ и максимальный УБЛ -13,2 дБ. Если веса подрешетки однородны, а подрешетка прорежена, то коэффициент направленного действия равен 27,3 дБ, максимальный УБЛ равен -15,3 дБ, а эффективность неравномерности - 60%.

Если одновременно оптимизировать и прореживание элементов и весовые коэффициенты подрешеток, то оптимизированные веса элементов имеют вид Рис.6, а оптимизированные веса подрешетки - Рис.7. Перемножение весов подрешетки и весов элементов дает полезные веса элементов, показанные на Рис.8 (для одного квадранта). Эффективность такой неравномерности - 54,5%. Получаемый множитель решетки имеет вид Рис.9. Коэффициент направленного действия равен 26,9 дБ, а максимальный УБЛ равен -22,9 дБ. Снижение уровня боковых лепестков на 4,5 дБ по сравнению с результатом от оптимизированного взвешивания подрешетки достигается за счет уменьшения эффективности неравномерности и снижения коэффициента направленного действия.

VI. Выводы

При расчете некоторых антенн встречаются переменные с целыми и действительными значениями. В статье предлагается версия ГА, который работает со значениями в интервале от нуля до единицы и использует однородное скрещивание и непрерывную мутацию. В представленных трех примерах, ГА со смешанными целыми показал себя с положительной стороны. Основным преимуществом такого ГА является то, что он работает с любым сочетанием типов переменных. Все масштабирование и картирование переменных происходит в затратной функции. Масштабирование и картирование происходят при очень низких затратах на вычисление. К примеру, для фазо-неравномерной решетки с низким УБЛ время вычисления составляет 1,227 х 10^-4 сек на функцию, тогда как обычная оценка функции занимает 7,8 х 10^-3 сек. Для такой простой затратной функции непроизводительные затраты составляют только около 1,5%. В общем времени вычисления для время-емких затратных функций время на масштабирование и картирование составляет лишь малую долю. К примеру, в случае микрополосковой антенны оно равно 1,687 х 10^-5 сек на вызов функции, тогда как обычная оценка функции занимает 67,5 сек. Для такой более время-емкой затратной функции непроизводительные затраты составляют только около 2,5 х 10^-5%. Данный алгоритм является альтернативой двоичному ГА, в котором приходится квантовать все переменные, и действительному ГА, который не работает с целыми и двоичными значениями. При решении задачи ускорения сходимости алгоритма можно исследовать многие другие возможные схемы скрещивания и мутации.

VII.Список литературы

1. Устройства СВЧ и антенны. Методические указания к курсовому проектированию. Сост.: В.И. Елумеев, А.Д. Касаткин, В.Я. Рендакова. Рязань, 1998. №2693

2. А.Л. Драбкин, В.Л. Зузенко, А.Г. Кислов. Антенно-фидерные устройства. -М.: Советское радио, 1974.

3. Д.М. Сазонов. Антенны и устройства СВЧ. Учебник для радиотехнических специальных вузов. - М.: Высшая школа, 1988г.

4. М.С.Жук , Ю.Б.Молочков. Проектирование антенно-фидерных фидерных устройств. М : Энергия , 1973