Типовые динамические звенья и их характеристики

Динамическим звеном называется элемент системы, обладающий определенными динамическими свойствами.

Любую систему можно представить в виде ограниченного набора типовых элементарных звеньев, которые могут быть любой природы, конструкции и назначения. Передаточную функцию любой системы можно представить в виде дробно-рациональной функции:

(1)

Таким образом, передаточную функцию любой системы можно представить как произведение простых множителей и простых дробей. Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей или простых дробей, называют типовыми или элементарными звеньями. Типовые звенья различаются по виду их передаточной функции, определяющей их статические и динамические свойства.

Как видно из разложения, можно выделить следующие звенья:

1. Усилительное (безынерционное).

2. Дифференцирующее.

3. Форсирующее звено 1-го порядка.

4. Форсирующее звено 2-го порядка.

5. Интегрирующее.

6. Апериодическое (инерционное).

7. Колебательное.

8. Запаздывающее.

При исследовании систем автоматического управления она представляется в виде совокупности элементов не по их функциональному назначению или физической природе, а по их динамическим свойствам. Для построения систем управления необходимо знание характеристик типовых звеньев. Основными характеристиками звеньев являются дифференциальное уравнение и передаточная функция.

Рассмотрим основные звенья и их характеристики.

Усилительное звено (безынерционное, пропорциональное). Усилительным называют звено, которое описывается уравнением:

(2)

или передаточной функцией:

(3)

При этом переходная функция усилительного звена (рис. 1а) и его фун-кция веса (рис. 1б) соответственно имеют вид:

t

t

0

h(t)

0

k.1(t)

k(t)

k.(t)

а) б)

Рис. 1

Частотные характеристики звена (рис. 2) можно получить по его передаточной функции, при этом АФХ, АЧХ и ФЧХ определяются следующими соотношениями:

.

+j

k +

АФХ

АЧХ

ФЧХ

0

0

k

0

0

0

()

A()

h(t)

Рис. 2

Логарифмическая частотная характеристика усилительного звена (рис. 3) определяются соотношением .

L()



k<1

0

k>1

k=1

ЛАЧХ

Рис. 3

Примеры звена:

1. Усилители, например, постоянного тока (рис. 4а).

2. Потенциометр (рис. 4б).









U_вых

U_вх

R



R_oc



R_вх

U_вых

U_вх

а) б)

Рис. 4

3. Редуктор (рис. 5).

K(p)=i=_вых /_вх.

_вых

_вх

Рис. 5

Апериодическое (инерционное) звено. Апериодическим называют звено, которое описывается уравнением:

(4)

или передаточной функцией:

(5)

где Т – постоянная времени звена, которая характеризует его инерционность, k – коэффициент передачи.

При этом переходная функция апериодического звена (рис. 6а) и его функция веса (рис. 6б) соответственно имеют вид:

h(t)

k1(t)

0 t

T а)

k(t)

k/T

0 t

б)

Рис. 6

Частотные характеристики апериодического звена (рис. 7а-в) опреде-ляются соотношениями:

-/4

-/2

k/2 k +

ФЧХ

0

0

()

_c=1/T

+j

АФХ

_c = 1/T

k

k

2

АЧХ

0

0

A()

_c =1/T

-k/2

h(t)

а) б) в)

Рис. 7

Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 8) определяются по формуле

При

+20

0

-20



ЛАЧХ

L()

-20 дБ/дек

_с

0.1 1 10 100

Рис. 8

Это асимптотические логарифмические характеристики, истинная характеристика совпадает с ней в области больших и малых частот, а максимальная погрешность будет в точке, соответствующей сопряженной частоте, и равна около 3 дБ. На практике обычно используют асимптотические характеристики. Их основное преимущество в том, что при изменении параметров системы (k и T) характеристики перемещаются параллельно самим себе.

Примеры звена:

1. Апериодическое звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 9).

С_oc

R_ос

R_вх

U_вых

K(p) = k/(Tp+1);

T = R_осC_ос;

k = R_осR_вх.

U_вх

 

Рис. 9

2. Звенья на RLC-цепях (рис. 10).

L

R

U_вх

С

U_вх

   

R

U_вых

U_вых

   

Рис. 10

4. Механические демпферы (рис. 11).

Y

X

Рис. 11

Интегрирующее звено. Интегрирующим звеном называют звено, которое описывается уравнением:

(6)

или передаточной функцией:

(7)

При этом переходная функция интегрирующего звена (рис. 12а) и его функция веса (рис. 12б) соответственно имеют вид:

1. t

а)

h(t)

1/Т

1/T

k(t)

1. t

6)

Рис. 12

Частотные характеристики интегрирующего звена (рис. 13) определяются соотношениями:

0 

-/2

АЧХ

A()

0 

ФЧХ

()

+j

+

АФХ

=

h(t)

Рис. 13

Логарифмические частотные характеристики интегрирующего звена (рис. 14) определяются по формуле:



0

ЛАЧХ

L()

-20 дБ/дек

_с

+20

-20

0.1 1 10 100

Рис. 14

Пример звена. Интегрирующее звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 15).

R_вх

U_вых

U_вх

С_oc

K(p) = 1/Tp;

T = R_вхC_ос.

 

Рис. 15

Дифференцирующее звено. Дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением:

(8)

или передаточной функцией:

(9)

При этом переходная функция звена (рис. 16а) и его функция веса (рис. 16б) соответственно имеют вид:

k(t)= T(t)

0 t

б)

h(t)=T(t)

1. t

а)

Рис. 16

Частотные характеристики звена (рис. 17а-в) определяются соотношениями:

+

АЧХ

0

0

A()

T0

ФЧХ

0

0

()

/2

+j

АФХ

=

а) б) б)

Рис. 17

Идеальное дифференцирующее звено является физически не реализуемым. В реальных звеньях такой вид характеристики могут иметь только в ограниченном диапазоне частот.

Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 18) определяются по формуле:



0

ЛАЧХ

L()

20 дБ/дек

_с

+20

-20

0.1 1 10 100

Рис. 18

Примеры звена:

1. Дифференцирующее звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 19).

C_вх

U_вых

U_вх

R_oc

K(p)=Tp;

T=C_вхR_ос.

 

Рис. 19

2. Тахогенератор (рис. 20).

x = 



y = U



Рис. 20

Колебательное звено. Колебательным называют звено, которое описывается уравнением:

(10)

или передаточной функцией:

(11)

где  – демпфирование (0    1).

Если  = 0, то демпфирование отсутствует (консервативное звено – без потерь), если  = 1, то имеем два апериодических звена.

При этом переходная функция звена и его функция веса (рис. 21) соответственно имеют вид:

(12)

а) б)

Рис. 21

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФХ) имеет вид (рис. 22а) и определяется соотношением

Амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) для различных значений  имеет вид (рис. 22б) и определяется соотношением

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) имеет вид (рис. 22в) и определяется соотношением

Частотные характеристики колебательного звена имеют вид

=

K(j)

+j

k +

АФХ

ФЧХ

0

0

()

-

_c=1/T

-/2

АЧХ

0

0

A()

k

а) б) в)

Рис. 22

Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 23) определяются по формуле:

При k = 1



0

ЛАЧХ

L()

-40 дБ/дек

_с

+20

-20

0.1 1 10 100

+40

-40

Рис. 23

Примеры звена. Колебательное звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 24).

С_ос С_ос R_ос

U_вх U_вых

R_вх R_вх R_вх





Рис. 24

Колебательное звено на RLC-цепи (рис. 25).

R

L





U_вых

U_вх

С





Рис. 25

В приведенной схеме:

С – накапливает энергию электрического поля;

L – накапливает энергию электромагнитного поля;

R – на сопротивлении происходит потеря энергии.

Запишем передаточную функцию цепи:

– затухание (демпфирование).

4. Механические демпферы (рис. 26).

Y

X

С

m

Рис. 26

Форсирующее звено. Форсирующим называют звено, которое описывается уравнением:

(13)

или передаточной функцией

(14)

где k – коэффициент передачи звена.

При этом переходная функция звена и его функция веса соответственно определяются соотношениями:

Частотные характеристики звена (рис. 27а-в) определяются соотношениями:

A()

+

АЧХ

0

0

ФЧХ

0

0

()

/2

/4

 = _с

+j

АФХ

1

1

а) б) в)

Рис. 27

Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 28) определяются по формуле:

+20

0

-20



ЛАЧХ

L()

+20 дБ/дек

_с

0.1 1 10 100

Рис. 28

Форсирующее звено 2-го порядка. Передаточная функция форсирующего звена 2-го порядка имеет вид:

(15)

Логарифмические частотные характеристики звена имеют вид:

Рис. 29



L()

+40 дБ/дек

_с

+40

+20

0

-20

-40

0.1 1 10 100

Запаздывающее звено. Дифференциальное уравнение и передаточная функция запаздывающего звена имеют вид:

(16)

(17)

где  – время запаздывания.

В соответствии с теоремой запаздывания . При этом переходная функция звена и его функция веса (рис. 30а, б) соответственно определяются соотношениями:

h(t)

k(t)

Рис. 30

Частотные характеристики звена (рис. 31а-в) определяются соотношениями:

+

0

АЧХ

0

0

A()

1

АФХ

+j

+

1

K(j)

ФЧХ

0

()

а) б) в)

Рис. 31

Устойчивые и неустойчивые звенья. В устойчивых звеньях переходный процесс является сходящимся, а в неустойчивых он расходится. Устойчивые звенья называются минимально – фазовыми. Эти звенья не содержат нулей и полюсов в правой полуплоскости корней. Неустойчивые звенья называются не минимально – фазовыми. Т. е. изменению амплитуды на 20 дБ/дек соответствует изменение фазы на /2, а 40 дБ/дек – на .

Пример 1. Построить частотные характеристики для звеньев

Для заданных передаточных функций звеньев, характеристики имеют вид (рис. 32):

h(t)

0 t

1(t)

0 t

h(t)

1(t)

=0 = + t

K(j)

+j

= =0 + t

K(j)

+j

_c  t

L(),()

0

-/2

-

-3/2

_c  t

L(),()

0

-/2

-

-3/2

Рис. 32

Идеальные и реальные звенья. Идеальные звенья физически не реализуемы, реальные звенья содержат инерционности.

реальное интегрирующее звено;

реальное дифференцирующее звено;

реальное форсирующее звено.

АФХ этих звеньев имеют вид (рис. 33а-в):

K(j)

+

K(j)

=0 = +

+j

+j

=0 = +

K(j)

а) б) в)

Рис. 33

+j

Рассмотрим характеристики соединений звеньев и порядок построения логарифмических частотных характеристик соединений звеньев.

1. Определяем, из каких элементарных звеньев состоит соединение.

2. Определяем сопрягающие частоты отдельных звеньев и откладываем их по оси частот в порядке возрастания.

3. Определяем наклон низкочастотной асимптоты, используя формулу [(-) 20] дБ/дек (где  – количество дифференцирующих, а - интегрирующих звеньев) и проводим ее через соответствующую сопряженную частоту.

4. Последовательно сопрягая звенья, строим характеристику соединения.

Пример 2. Построить логарифмическую частотную характеристику соединения:

0,1 1 10  [1/c]

+60

+40

+20

0

-20

-40

-60

Рис. 34

-20

0

-20

L [дБ]

Решение: Определяем со-прягающие частоты отде-льных звеньев и отклады-ваем их по оси частот в по-рядке возрастания.

T_инт = 0,01 с; _инт = 100 с^-1;

T_фор = 1 с; _фор = 1 с^-1;

T_ап = 0,1 с; _ап = 10 с^-1;

Строим характеристику (рис. 34).

Пример 3. Построить логарифмическую частотную характеристику соединения

L [дБ]

Решение: Определяем соп-рягающие частоты отдель-ных звеньев и откладываем их по оси частот в порядке возрастания.

T_инт = 0,1 с; _инт = 10 с^-1;

T_фор = 10 с; _фор = 0,1 с^-1;

T_к = 1 с; _к = 1 с^-1;

T_фор = 0,1 с; _фор = 10 с^-1;

T_фор = 0,01 с; _фор= 100 с^-1;

Строим характеристику рис. 35

-20

0

-20

0 -20

+60

+40

+20

0

-20

-40

-60

0,1 1 10  [1/c]

Рис. 35

Пример 4. Построить АФХ соединения звеньев, передаточная функция которого имеет вид

Решение: Выполнив подстановку p = j и умножив на комплексно сопряженное выражение, получим

Строим характеристику рис. 36.

АФХ

+j

K(j)

+

Рис. 36

Литература

1. Автоматизированное проектирование систем автоматического управления. / Под ред. В.В. Солодовникова. – М.: Машиностроение, 1990. -332 с.

2. Бойко Н.П., Стеклов В.К. Системы автоматического управления на базе микро-ЭВМ. – К.: Тэхника, 1989. –182 с.

3. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов «Теория систем автоматического управления». Профессия, 2003 г. – 752 с.

4. Гринченко А.Г. Теория автоматического управления: Учебн. пособие. – Харьков: ХГПУ, 2000. –272 с.

5. Справочник по теории автоматического управления. /Под ред. А.А. Красовского – М.: Наука, 1987. – 712 с.