Введение

Уровень производительности труда - это один из важнейших показателей, который характеризует эффективность общественного производства.

Производительность труда является степенью эффективности целесообразной деятельности людей и отражает способность производить за единицу рабочего времени определенный объем потребительных стоимостей. Под эффективностью труда понимается достижения работниками высоких результатов с наименьшими затратами сил и времени.

Рост производительности труда – основная задача, которую необходимо решить для увеличения эффективности производства. Для объективной оценки увеличения производительности труда используется статистическое изучение показателей производительности труда.

Цель данной контрольной работы – рассмотреть методы измерения уровня и динамики производительности труда, факторы, влияющие на эти показатели.

§1. Производительность труда как объект статистического изучения

Производительность труда характеризует эффективность, результативность затрат труда и определяется количеством продукции, произведенной в единицу рабочего времени, либо затратами труда на единицу произведенной продукции или выполненных работ¹.

Под ростом производительности труда подразумевается экономия затрат труда (рабочего времени) на изготовление единицы продукции или дополнительное количество произведенной продукции в единицу времени, что непосредственно влияет на повышение эффективности производства, так как в одном случае сокращаются текущие издержки на производство единицы продукции по статье "Заработная плата основных производственных рабочих", а в другом — в единицу времени производится больше продукции.

Значительное влияние на рост производительности труда оказывает внедрение достижений научно-технического прогресса, которое проявляется в использовании экономичного оборудования и современной технологии, что способствует экономии живого труда (зарплата) и увеличению прошлого труда (амортизация). Однако прирост стоимости прошлого труда всегда меньше, чем экономия живого труда, иначе внедрение достижений научно-технического прогресса экономически не оправдано (исключением является повышение качества продукции).

В условиях становления рыночных отношений рост производительности труда - объективная предпосылка, так как происходит отвлечение рабочей силы в непроизводственную сферу и сокращается численность работающих вследствие демографических изменений.

Различают производительность общественного труда, производительность живого (индивидуального) труда, локальную производительность².

Производительность общественного труда определяется как отношение темпов роста национального дохода к темпам роста численности работников сферы материального производства. Рост производительности общественного труда происходит при опережающих темпах роста национального дохода и тем самым обеспечивает повышение эффективности общественного производства.

При росте производительности общественного труда изменяется соотношение между живым и овеществленным трудом. Повышение производительности общественного труда означает уменьшение затрат живого труда на единицу произведенной продукции и увеличение доли прошлого труда. При этом общая сумма затрат труда, заключенного в единице продукции, сохраняется. Эту зависимость К. Маркс назвал экономическим законом роста производительности труда.

Рост индивидуальной производительности труда отражает экономию времени, необходимого на изготовление единицы продукции, или количество дополнительного товара, произведенного за определенный период (минута, час, сутки и т. д.).

Локальная производительность - это средняя производительность труда рабочих (работающих), рассчитанная по предприятию в целом или отрасли.

§2. Система статистических показателей, характеризующих производительность труда.

На предприятиях (фирмах) производительность труда определяется как эффективность затрат только живого труда и рассчитывается через показатели выработки (В) и трудоемкости (Тр) продукции, между которыми имеется обратно пропорциональная зависимость.

Выработка — основной показатель производительности труда, характеризующий количество (в натуральных показателях) или стоимость произведенной продукции (товарная, валовая, чистая продукция), приходящиеся на единицу времени (час, смена, квартал, год) или одного среднесписочного работника³.

Выработка, рассчитанная в стоимостном выражении, подвержена действию ряда факторов, которые искусственно влияют на изменение выручки, например цена потребляемого сырья, материалов, изменение объема кооперативных поставок и т. п.

В отдельных случаях выработка рассчитывается в нормо-часах. Этот метод называется трудовым и используется при оценке производительности труда на рабочем месте, в бригаде, цехе и т. д.

Изменение производительности труда оценивается путем сопоставления выработки последующего и предшествующего периодов, т. е. фактической и плановой. Превышение фактической выработки над плановой свидетельствует о росте производительности труда.

Выработка рассчитывается как отношение объема произведенной продукции (ОП) к затратам рабочего времени на производство этой продукции (Т) или к среднесписочной численности работников либо рабочих (Ч):

В=ОП/Т или В=ОП/Ч

Аналогично определяется часовая (Вч) и дневная (Вдн) выработка на одного рабочего:

Вч=ОП_мес/Т_час; В_дн=ОП_мес/Тд [пример расчета на стр. 39],

ОП_мес – объем продукции за месяц (квартал, год);

Т_час, Т_дн – количество человеко-часов, человеко-дней (рабочего времени), отработанных всеми рабочими за месяц (квартал, год).

При расчете часовой выработки в состав отработанных человеко-часов не включаются внутрисменные простои, поэтому она наиболее точно характеризует уровень производительности живого труда.

При расчете дневной выработки в состав отработанных человеко-дней не включаются целодневные простои и невыходы [стр. 38, Табл. 17].

Объем произведенной продукции (ОП) может быть выражен в натуральных, стоимостных и трудовых единицах измерения соответственно.

Трудоемкость продукции выражает затраты рабочего времени на производство единицы продукции. Определяется на единицу продукции в натуральном выражении по всей номенклатуре изделий и услуг; при большом ассортименте продукции на предприятии определяется по типичным изделиям, к которым приводятся все остальные. В отличие от показателя выработки этот показатель имеет ряд преимуществ: устанавливает прямую зависимость между объемом производства и трудовыми затратами, исключает влияние на показатель производительности труда изменений в объеме поставок по кооперации, организационной структуре производства, позволяет тесно увязать измерение производительности с выявлением резервов ее роста, сопоставить затраты труда на одинаковые изделия в разных цехах предприятия.

Трудоемкость определяется по формуле:

Т_р=Т/ОП [пример расчета на стр. 38, Табл. 17],

Т_р – трудоемкость

Т – время, затраченное на производство всей продукции, нормо-ч, человеко-ч

ОП – объем произведенной продукции в натуральном выражении.

В зависимости от состава затрат труда, включаемых в трудоемкость продукции, и их роли в процессе производства выделяют технологическую трудоемкость, трудоемкость обслуживания производства, производственную трудоемкость, трудоемкость управления производством и полную трудоемкость.

§3. Применение индексного метода в изучении производительности труда.

Натуральный метод.

Основное достоинство - простота расчета, наглядность, объективность измерения уровня производительности труда. Используют натуральные и условно-натуральные показатели продукции. Они дают возможность определить уровень и динамику производительности труда по отдельным видам однородной продукции.

Данный метод может применяться только на предприятиях, участках, производствах, в отраслях, где производится однородная продукция или ведется учет затрат рабочего времени по каждому виду производимой продукции. Такой метод применяется на предприятиях транспорта, в добывающей, обрабатывающей промышленности, при характеристике отдельных видов работ в строительстве, транспортном и сельском хозяйстве, при анализе выполнения норм выработки группами рабочих, выполняющих одинаковые операции.

При производстве разнородной продукции натуральные показатели не могут быть использованы для обобщения уровня и динамики производительности труда.

Если сравниваются предприятия, выпускающие одинаковую продукцию, различающиеся по полноте цикла производства, то натуральные показатели производительности труда оказываются несопоставимыми. Переход на выпуск одноименных изделий повышенного качества при одинаковом объеме производства не отражается в натуральных показателях производительности труда.

Расширение возможностей показателей производительности труда получается при использовании условно-натурального измерения продукции.

W=T:q

W – выработка в натуральных показателях;

q – объем продукции в нат.показателях (т, кг, л);

Т – кол-во затраченного труда (чел/ч);

Натуральный индекс производительности труда будет выглядеть таким образом: I^нат =(q₁: T₁) ÷ (q₀ :T₀)

I^нат – нат.индекс производительности труда

q₀ – объем продукции в натуральных показателях в базовый период;

q₁ – объем продукции в натуральных показателях в отчетный период;

Т₀ – кол-во затраченного труда в отчетный период;

Т₁ – кол-во затраченного труда в базовый период;

Стоимостной метод.

Данный метод более универсальный и позволяет измерить производительность труда при производстве разнородной продукции, а также обеспечивает получении сводных данных по отраслям, территориям и экономике в целом. Стоимостные показатели продукции позволяют получить обобщающие характеристики производительности труда по предприятиям, отраслям экономики и экономическим районам. При использовании денежных измерителей продукции для изучения динамики производительности труда или при характеристике выполнения плановых заданий необходимо устранять влияние изменения цен, т.е. использовать данные о стоимости произведенной продукции в сопоставимых ценах.

Стоимостной метод получил свое распространение на уровне министерств, отраслей, территорий, промышленности в целом. Важное достоинство стоимостного показателя производительности труда – возможность его расчета по любой номенклатуре его наименования. Это и дает возможность получения сводных характеристик в разрезе отраслей макроэкономики.

Выработка производительности труда в стоимостном выражении имеет следующий вид: W=qp:T

W – выработка в стоимостном выражении;

qp – объем продукции в денежном выражении (руб.);

Т – средне-списочная численность рабочих;

Пример (Задание 4):

№ п/п

Показатели

Базисный год

Отчетный год

Абсолютный прирост

Темп роста

А

Б

1

2

3 = гр.2 – гр.1

5=(гр.2/гр.1)*100

1.

Выпуск продукции (в сопоставимых ценах), млн руб.

40,8

54,2

13,4

132,8

2.

Среднесписочная численность работников, чел.

164

180

16

109,8

3.

Среднегодовая производительность труда работающих, тыс.руб./чел.

248,78

301,111

52,331

121

Стоимостной индекс производительности труда имеет следующий вид: I^стоим.. =( q₁р: Т₁) ÷( q₀р: Т₀)

I ^стоим. – стоимостной индекс;

q₀p – объем продукции в базовом периоде в сопоставимых ценах;

q₁p – объем продукции в отчетном периоде в сопоставимых ценах;

Т₀ – затраты труда в базовом периоде;

Т₁ – затраты труда в отчетном периоде.

Пример (Задание 4):

I^стоим.. =301,111/248,78=1,21

Вывод: По данным, представленным в Задании 4, отмечается динамический рост производительности труда.

Производительность труда увеличилась на 21%, т.к. выработка в базисный год составляла 248,78 тыс.руб. на 1 человека, а в отчетный год она выросла до 301,111 тыс.руб. на 1 человека.

Трудовой метод.

Трудовые показатели производительности основаны на измерении объема произведенной продукции в нормо-часах рабочего времени. Трудовые показатели производительности определяются по одному или нескольким видам однородной продукции. Соизмерителем различных видов продукции или работ при этом является нормативная трудоемкость, которая отражает затраты труда на выпуск единицы продукции. Производительность труда определяется:

,

где q – количество единиц продукции каждого вида;

t_Н – норма времени на единицу продукции каждого вида,

T – время, отработанное за данный период.

Дробь в правой части показывает выработку в нормо-часах на единицу фактических затрат рабочего времени, по существу, это обратный показатель выполнения норм выработки.

Трудовой метод обеспечивает возможность измерения производительности труда при выпуске разноименной продукции, изолируя при этом влияние всех факторов, не зависящих от рабочих (стоимость потребленных материалов).

Затраты труда работников предприятия могут быть выражены:

• количеством отработанных человеко-часов;

• количеством отработанных человеко-дней;

• среднесписочной численностью работников за месяц (квартал, год и

другой календарный период).

Трудовой метод используется в тех случаях, когда на предприятии производится большое количество продукции, ассортимент которой часто меняется. Этот метод основан на измерении выработки продукции в норма-часах рабочего времени. Он применяется, если на каждый вид продукции установлен временной норматив (нормативная трудоемкость). В этом случае общий объем произведенной продукции рассчитывается следующим образом:

qt_н = t_н * Q qt_н – объем продукции в трудовом выражении

t_н – нормативная трудоемкость

Q – количество произведенной продукции

В качестве трудовых измерителей объема продукции используется нормативная трудоемкость по конкретным видам продукции или фактическая трудоемкость базисного периода.

При использовании для измерения продукции нормативной трудоемкости индекс труда примет вид: I^t_н =( q₁t_н:Т₁)÷(q₀t_н: Т₀)

I^t_н – индекс нормативной трудоемкости

q₀t_н – объем продукции базового периода при нормативной трудоемкости;

q₁t_н – объем продукции отчетного периода при нормативной трудоемкости;

Т₀ – кол-во затраченного труда базового периода;

Т₁ – кол-во затраченного труда отчетного периода

• Средняя часовая выработка отражает результаты труда одного

рабочего за час фактической работы. Она равна отношению объема произведенной продукции к числу человеко-часов, фактически отработанных в течение данного периода времени

Характеризует среднюю выработку одного рабочего за один час фактической работы (исключая время внутрисменных простоев и перерывов, но с учетом сверхурочной работы).

.

4. Расчетная часть

При проведении статистического наблюдения за деятельностью предприятий одной из отраслей промышленности за исследуемый период получены выборочные данные о выпуске продукции, среднесписочной численности и средней стоимости основных производственных фондов по 30-ти предприятиям (выборка 20%-ная, механическая).

В проводимом статистическом исследовании эти предприятия выступают как единицы выборочной совокупности. Генеральную совокупность образуют все предприятия отрасли. Анализируемыми признаками изучаемых единиц совокупности являются Уровень производительности труда и Средняя стоимость основных производственных фондов предприятий.

Выборочные данные представлены в табл.1.

Таблица 1

Исходные данные

Номер

организации

п/п

Уровень производительности труда,

млн руб./чел.

Средняя стоимость основных производственных фондов,

млн руб.

Номер

организации

п/п

Уровень производительности труда,

млн руб./чел.

Средняя стоимость основных производственных фондов,

млн руб.

1

0,225

34,714

16

0,228

34,845

2

0,150

24,375

17

0,284

46,428

3

0,260

41,554

18

0,250

38,318

4

0,308

50,212

19

0,290

47,590

5

0,251

38,347

20

0,140

19,362

6

0,170

27,408

21

0,200

31,176

7

0,360

60,923

22

0,242

39,985

8

0,288

47,172

23

0,296

48,414

9

0,248

37,957

24

0,180

28,727

10

0,190

30,210

25

0,258

39,404

11

0,254

38,562

26

0,340

55,250

12

0,315

52,500

27

0,252

38,378

13

0,276

45,674

28

0,335

55,476

14

0,220

34,388

29

0,223

34,522

15

0,120

16

30

0,270

44,839

Задание 1.

По исходным данным таблицы 1 необходимо выполнить следующее:

1. Построить статистический ряд распределения предприятий по Производительности труда, образовав пять групп с равными интервалами.

2. Графическим методом и путем расчетов определить значения моды и медианы полученного ряда распределения.

3. Рассчитать характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

4. Вычислить среднюю арифметическую по исходным данным (табл. 1), сравнить её с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объяснить причину их расхождения.

Выполнение задания 1.

Целью выполнения данного Задания является изучение состава и структуры выборочной совокупности предприятий путем построения и анализа статистического ряда распределения предприятий по признаку Производительность труда.

1.Построение интервального ряда распределения банков по объему кредитных вложений

Для построения интервального вариационного ряда, характеризующего распределение предприятий по объему кредитных вложений, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда.

При построении ряда с равными интервалами величина интервала h определяется по формуле

, (1)

где – наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k- число групп интервального ряда.

Число групп k задается в условии задания или рассчитывается по формуле Г.Стерджесса

k=1+3,322 lg n, (2)

где n - число единиц совокупности.

Определение величины интервала по формуле (1) при заданных k = 5, x_max = 0,36 млн руб./чел., x_min = 0,12 млн руб./чел:

При h = 0,048 млн руб./чел. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2):

Таблица 2

Номер группы

Нижняя граница,

млн руб.

Верхняя граница,

млн руб.

1

0,12

0,168

2

0,168

0,216

3

0,216

0,264

4

0,264

0,312

5

0,312

0,36

Для построения интервального ряда необходимо подсчитать число предприятий, входящих в каждую группу (частоты групп). При этом возникает вопрос, в какую группу включать единицы совокупности, у которых значения признака выступают одновременно и верхней, и нижней границами смежных интервалов (для нашего примера – это 0,168, 0,216 и 0,264 млн руб./чел.). Отнесение таких единиц к одной из двух смежных групп рекомендуется осуществлять по принципу полуоткрытого интервала [ ). Т.к. при этом верхние границы интервалов не принадлежат данным интервалам, то соответствующие им единицы совокупности включаются не в данную группу, а в следующую. В последний интервал включаются и нижняя, и верхняя границы.

Процесс группировки единиц совокупности по признаку Производительность труда представлен во вспомогательной (разработочной) таблице 3 (графа 4 этой таблицы необходима для построения аналитической группировки в Задании 2).

Таблица 3

Разработочная таблица для построения интервального ряда распределения и аналитической группировки

Группы предприятий по производительности труда, млн руб./чел.

Номер предприятия

Производительность труда, млн руб./чел.

Средняя стоимость основных производственных фондов,

млн руб.

1

2

3

4

0,12 – 0,168

2

0,15

24,375

15

0,12

16

20

0,14

19,362

Всего

3

0,41

59,737

0,168 – 0,216

6

0,17

27,408

10

0,19

30,21

21

0,2

31,176

24

0,18

28,727

Всего

4

0,74

117,521

0,216 – 0,264

1

0,225

34,714

3

0,26

41,554

5

0,251

38,347

9

0,248

37,957

11

0,254

38,562

14

0,22

34,388

16

0,228

34,845

18

0,25

38,318

22

0,242

39,985

25

0,258

39,404

27

0,252

38,378

29

0,223

34,522

Всего

12

2,911

450,974

0,264 – 0,312

4

0,308

50,212

8

0,288

47,172

13

0,276

45,674

17

0,284

46,428

19

0,29

47,590

23

0,296

48,414

30

0,27

44,839

Всего

7

2,012

330,329

0,312 – 0,36

7

0,36

60,923

12

0,315

52,5

26

0,34

55,25

28

0,335

55,476

Всего

4

1,35

224,149

ИТОГО

30

7,423

1182,71

На основе групповых итоговых строк «Всего» табл. 3 формируется итоговая табл. 4, представляющая интервальный ряд распределения предприятий по производительности труда..

Таблица 4

Распределение банков по объему кредитных вложений

Номер группы

Группы предприятий по производительности труда, млн руб./чел.,

х

Число предприятий,

f

1

0,12 – 0,168

3

2

0,168 – 0,216

4

3

0,216 – 0,264

12

4

0,264 – 0,312

7

5

0,312 – 0,36

4

Итого

30

Помимо частот групп в абсолютном выражении в анализе интервальных рядов используются ещё три характеристики ряда, приведенные в графах 4 - 6 табл. 5. Это частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты S_j, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле .

Таблица 5

Структура предприятий по производительности труда

№ группы

Группы предприятий по производительности труда, млн руб./чел.

Число предприятий, f_j

Накопленная

частота,

S_j

Накопленная

частоcть, %

в абсолютном выражении

в % к итогу

1

2

3

4

5

6

1

0,12 – 0,168

3

10,0

3

10,0

2

0,168 – 0,216

4

13,3

7

23,3

3

0,216 – 0,264

12

40

19

63,3

4

0,264 – 0,312

7

23,4

26

86,7

5

0,312 – 0,36

4

13,3

30

100

Итого

30

100,0

Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности предприятий показывает, что распределение предприятий по производительности труда не является равномерным: преобладают предприятия с производительностью труда от 0,216 млн руб./чел. до 0,264 млн руб./чел. (это 12 предприятий, доля которых составляет 40%); 23,3% предприятий имеют производительность труда менее 0,216 млн руб./чел., а 86,7% – менее 0,312 млн руб./чел.

1.2. Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом и путем расчетов

Мода и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.

Мода Мо для дискретного ряда – это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности⁴. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту). Более точно моду можно определить графическим методом по гистограмме ряда (рис.1).

Мо

0,12 0,168 0,216 0,264 0,312 0,36

Рис. 1 Определение моды графическим методом

Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:

(3)

где х_Мo – нижняя граница модального интервала,

h –величина модального интервала,

f_Mo – частота модального интервала,

f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Согласно табл.5 модальным интервалом построенного ряда является интервал 0,216 – 0,264 млн. руб./чел., так как его частота максимальна (f₃ = 12).

Расчет моды по формуле (3):

Вывод. Для рассматриваемой совокупности предприятий наиболее распространенная производительность труда характеризуется средней величиной 0,246 млн руб./чел.

Медиана Ме – это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

Медиану можно определить графическим методом по кумулятивной кривой (рис. 2). Кумулята строится по накопленным частотам (табл. 5, графа 5).

Ме

Рис. 2. Определение медианы графическим методом

Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:

, (4)

где х_Ме– нижняя граница медианного интервала,

h – величина медианного интервала,

– сумма всех частот,

f_Ме – частота медианного интервала,

S_Mе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные частоты (или частости) из табл. 5 (графа 5). Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот или превышает ее (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).

В нашем примере медианным интервалом является интервал 0,216 – 0,264 млн. руб./чел., так как именно в этом интервале накопленная частота S_j = 19 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности (=).

Расчет значения медианы по формуле (4):

Вывод. В рассматриваемой совокупности предприятий половина из них имеют в среднем значение производительности труда не более 0,248 млн руб./чел., а другая половина – не менее 0,248 млн руб./чел.

3. Расчет характеристик ряда распределения

Для расчета характеристик ряда распределения , σ, σ², V_σ на основе табл. 5 строится вспомогательная табл. 6 ( – середина j-го интервала).

Таблица 6

Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения

Группы предприятий по производительности труда, млн руб./чел.

Середина интервала,

Число предприятий,

f_j

1

2

3

4

5

6

7

0,12 – 0,168

0,144

3

0,432

-0,104

0,010816

0,032448

0,168 – 0,216

0,192

4

0,768

-0,056

0,003136

0,012544

0,216 – 0,264

0,24

12

2,88

-0,008

0,000064

0,000768

0,264 – 0,312

0,288

7

2,016

0,04

0,0016

0,0112

0,312 – 0,36

0,336

4

1,344

0,088

0,007744

0,030976

Итого

 

30

7,44

 

 

0,088

Расчет средней арифметической взвешенной:

(5)

Расчет дисперсии:

(6)

Расчет среднего квадратического отклонения:

Расчет коэффициента вариации:

(7)

Вывод. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что средняя производительность труда предприятий составляет 0,248 млн руб./чел., отклонение от среднего значения в ту или иную сторону составляет в среднем 0,055 млн руб./чел. (или 22,2%), наиболее характерные значения производительности труда находятся в пределах от 0,193 млн руб./чел. до 0,303 млн руб./чел.

Значение V_σ = 22,2% не превышает 33%, следовательно, вариация производительности труда в исследуемой совокупности предприятий незначительна и совокупность по данному признаку качественно однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно (=0,248 млн руб./чел., Мо=0,246 млн руб./чел., Ме=0,248 млн руб./чел.), что подтверждает вывод об однородности совокупности предприятий. Таким образом, найденное среднее значение производительности труда на предприятиях (0,248 млн руб./чел.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности предприятий.

4.Вычисление средней арифметической по исходным данным

Для расчета применяется формула средней арифметической простой:

, (8)

Причина расхождения средних величин, рассчитанных по формулам (8) и (5), заключается в том, что по формуле (8) средняя определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 30-ти предприятий, а по формуле (5) средняя вычисляется для интервального ряда, когда в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным (за исключением случая равномерного распределения значений признака внутри каждой группы).

Задание 2.

По исходным данным табл. 1 с использованием результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее:

1. Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками Производительность труда и Средняя стоимость основных производственных фондов, используя метод аналитической группировки.

2. Оценить тесноту и силу корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

3. Оценить статистическую значимость показателя силы связи.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 2.

Выполнение Задания 2

Целью выполнения данного Задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, установление направления связи, оценка тесноты и силы связи.

Факторный и результативный признаки либо задаются в условии задания, либо определяются путем проведения предварительного теоретического анализа. Лишь после того, как выяснена экономическая сущность явления и определены факторный и результативный признаки, приступают к проведению корреляционного анализа данных.

По условию Задания 2 факторным является признак Производительность труда (X), результативным – признак Средняя стоимость основных производственных фондов (Y).

1. Установление наличия и характера связи между признаками Производительность труда и Средняя стоимость основных производственных фондов методом аналитической группировки

Применение метода аналитической группировки

При использовании метода аналитической группировки строится интервальный ряд распределения единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х – Производительность труда и результативным признаком Y – Средняя стоимость основных производственных фондов. Макет аналитической таблицы имеет следующий вид (табл. 7):

Таблица 7

Зависимость средней стоимости основных производственных фондов от производительности труда

Номер группы

Группы предприятий по производительности труда,

млн руб./чел.

Число предприятий

Средняя стоимость основных производственных фондов,

млн руб.

всего

в среднем на одно предприятие

1

2

3

4

5

 Итого

Групповые средние значения получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 8.

Таблица 8

Зависимость суммы прибыли банков от объема кредитных вложений

Номер группы

Группы предприятий по производительности труда,

млн руб./чел.

х

Число предприятий,

f_j

Средняя стоимость основных производственных фондов,

млн руб.

всего

в среднем на одно предприятие,

1

2

3

4

5=4:3

1

0,12 – 0,168

3

59,737

19,912

2

0,168 – 0,216

4

117,521

29,380

3

0,216 – 0,264

12

450,974

37,581

4

0,264 – 0,312

7

330,329

47,190

5

0,312 – 0,36

4

224,149

56,037

 

Итого

30

1182,71

39,424

Вывод. Анализ данных табл. 8 показывает, что с увеличением производительности труда от группы к группе систематически возрастает и средняя стоимость основных производственных фондов по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

2. Измерение тесноты и силы корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения

Для измерения тесноты и силы связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели – эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение .

Эмпирический коэффициент детерминации оценивает силу связи, определяя, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле

, (9)

где – общая дисперсия признака Y,

– межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Значения показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство =0, а при наличии функциональной связи между ними - равенство =1.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

, (10)

где y_i – индивидуальные значения результативного признака;

– общая средняя значений результативного признака;

n – число единиц совокупности.

Общая средняя вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

(11)

или как средняя взвешенная по частоте групп интервального ряда:

(12)

Для вычисления удобно использовать формулу (11), т.к. в табл. 8 (графы 3 и 4 итоговой строки) имеются значения числителя и знаменателя формулы.

Расчет по формуле (11):

Для расчета общей дисперсии применяется вспомогательная таблица 12.

Таблица 12

Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии

Номер

предприятия

п/п

Средняя стоимость основных производственных фондов,

млн руб.

1

2

3

4

5

1

34,714

-4,71

22,1841

1205,062

2

24,375

-15,049

226,4724

594,1406

3

41,554

2,13

4,5369

1726,735

4

50,212

10,788

116,3809

2521,245

5

38,347

-1,077

1,159929

1470,492

6

27,408

-12,016

144,3843

751,1985

7

60,923

21,499

462,207

3711,612

8

47,172

7,748

60,0315

2225,198

9

37,957

-1,467

2,152089

1440,734

10

30,21

-9,214

84,8978

912,6441

11

38,562

-0,862

0,743044

1487,028

12

52,5

13,076

170,9818

2756,25

13

45,674

6,25

39,0625

2086,114

14

34,388

-5,036

25,3613

1182,535

15

16

-23,424

548,6838

256

16

34,845

-4,579

20,96724

1214,174

17

46,428

7,004

49,05602

2155,559

18

38,318

-1,106

1,223236

1468,269

19

47,59

8,166

66,68356

2264,808

20

19,362

-20,062

402,4838

374,887

21

31,176

-8,248

68,0295

971,943

22

39,985

0,561

0,314721

1598,8

23

48,414

8,99

80,8201

2343,915

24

28,727

-10,697

114,4258

825,2405

25

39,404

-0,02

0,0004

1552,675

26

55,25

15,826

250,4623

3052,563

27

38,378

-1,046

1,094116

1472,871

28

55,476

16,052

257,6667

3077,587

29

34,522

-4,902

24,0296

1191,768

30

44,839

5,415

29,32223

2010,536

Итого

1182,71

-0,01

3275,819

49902,58

Расчет общей дисперсии по формуле (10):

Общая дисперсия может быть также рассчитана по формуле

,

где – средняя из квадратов значений результативного признака,

– квадрат средней величины значений результативного признака.

Для нашего примера

Тогда

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней . Показатель вычисляется по формуле

, (13)

где –групповые средние,

– общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для расчета межгрупповой дисперсии строится вспомогательная таблица 13. При этом используются групповые средние значения из табл. 8 (графа 5).

Таблица 13

Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

Группы предприятий по производительности труда,

млн руб./чел.

Число предприятий,

Среднее значение в группе

1

2

3

4

5

0,12 – 0,168

3

19,912

-19,512

1142,154

0,168 – 0,216

4

29,380

-10,044

403,528

0,216 – 0,264

12

37,581

-1,843

40,760

0,264 – 0,312

7

47,190

7,766

422,175

0,312 – 0,36

4

56,037

16,613

1103,967

Итого

30

3112,584

Расчет межгрупповой дисперсии по формуле (11):

Расчет эмпирического коэффициента детерминации по формуле (9):

или 95%

Вывод. 95% вариации производительности труда на предприятиях обусловлено вариацией средней стоимости основных производственных фондов, а 5% – влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

(14)

Значение показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе служит шкала Чэддока (табл. 14):

Таблица 14

Шкала Чэддока



0,1 – 0,3

0,3 – 0,5

0,5 – 0,7

0,7 – 0,9

0,9 – 0,99

Характеристика

силы связи

Слабая

Умеренная

Заметная

Тесная

Весьма тесная

Расчет эмпирического корреляционного отношения по формуле (14):

Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между производительностью труда и средней стоимости основных производственных фондов предприятий является весьма тесной.

3. Оценка статистической значимости коэффициента детерминации .

Показатели и рассчитаны для выборочной совокупности, т.е. на основе ограниченной информации об изучаемом явлении. Поскольку при формировании выборки на первичные данные могли иметь воздействии какие-либо случайные факторы, то есть основание полагать, что и полученные характеристики связи , несут в себе элемент случайности. Ввиду этого, необходимо проверить, насколько заключение о тесноте и силе связи, сделанное по выборке, будет правомерными и для генеральной совокупности, из которой была произведена выборка.

Проверка выборочных показателей на их неслучайность осуществляется в статистике с помощью тестов на статистическую значимость (существенность) показателя. Для проверки значимости коэффициента детерминации служит дисперсионный F-критерий Фишера, который рассчитывается по формуле

,

где n – число единиц выборочной совокупности,

m – количество групп,

– межгрупповая дисперсия,

– дисперсия j-ой группы (j=1,2,…,m),

– средняя арифметическая групповых дисперсий.

Величина рассчитывается, исходя из правила сложения дисперсий:

,

где – общая дисперсия.

Для проверки значимости показателя рассчитанное значение F-критерия F_расч сравнивается с табличным F_табл для принятого уровня значимости и параметров k1, k2, зависящих от величин n и m : k₁=m-1, k₂=n-m. Величина F_табл для значений , k_1, k₂ определяется по таблице распределения Фишера, где приведены критические (предельно допустимые) величины F-критерия для различных комбинаций значений , k_1, k₂. Уровень значимости в социально-экономических исследованиях обычно принимается равным 0,05 (что соответствует доверительной вероятности Р=0,95).

Если F_расчF_табл , коэффициент детерминации признается статистически значимым, т.е. практически невероятно, что найденная оценка обусловлена только стечением случайных обстоятельств. В силу этого, выводы о тесноте связи изучаемых признаков, сделанные на основе выборки, можно распространить на всю генеральную совокупность.

Если F_расчF_табл, то показатель считается статистически незначимым и, следовательно, полученные оценки силы связи признаков относятся только к выборке, их нельзя распространить на генеральную совокупность.

Фрагмент таблицы Фишера критических величин F-критерия для значений =0,05; k₁=3,4,5; k₂=24-35 представлен ниже:

k₂

k₁

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

3

3,01

2,99

2,98

2,96

2,95

2,93

2,92

2,91

2,90

2,89

2,88

2,87

4

2,78

2,76

2,74

2,73

2,71

2,70

2,69

2,68

2,67

2,66

2,65

2,64

5

2,62

2,60

2,59

2,57

2,56

2,55

2,53

2,52

2,51

2,50

2,49

2,48

Расчет дисперсионного F-критерия Фишера для оценки =95%, полученной при =109,194, =103,753:

Табличное значение F-критерия при = 0,05:

n

m

k₁=m-1

k₂=n-m

F_табл (,4_, 25)

30

5

4

25

2,76

Вывод: поскольку F_расчF_табл, то величина коэффициента детерминации =95% признается значимой (неслучайной) с уровнем надежности 95% и, следовательно, найденные характеристики связи между признаками Производительностью труда на предприятиях и Средняя стоимость основных производственных фондов правомерны не только для выборки, но и для всей генеральной совокупности банков.

Задание 3

По результатам выполнения Задания 1 с вероятностью 0,954 необходимо определить:

1. ошибку выборки среднего уровня производительности труда и границы, в которых будет находиться генеральная средняя.

2. ошибку выборки доли организаций с уровнем производительности труда 0,264 млн руб./чел. и выше, а также границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Выполнение Задания 3

Целью выполнения данного Задания является определение для генеральной совокупности предприятий границ, в которых будут находиться уровень производительности труда и доля организаций с уровнем производительности труда не менее 0,264 млн руб./чел.

1. Определение ошибки выборки для среднего уровня производительности труда и границ, в которых будет находиться генеральная средняя

Применение выборочного метода наблюдения всегда связано с установлением степени достоверности оценок показателей генеральной совокупности, полученных на основе значений показателей выборочной совокупности. Достоверность этих оценок зависит от репрезентативности выборки, т.е. от того, насколько полно и адекватно представлены в выборке статистические свойства генеральной совокупности. Как правило, генеральные и выборочные характеристики не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε, которую называют ошибкой выборки (ошибкой репрезентативности).

Значения признаков единиц, отобранных из генеральной совокупности в выборочную, всегда случайны, поэтому и статистические характеристики выборки случайны, следовательно, и ошибки выборки также случайны. Ввиду этого принято вычислять два вида ошибок - среднюю и предельную .

Средняя ошибка выборки - это среднее квадратическое отклонение всех возможных значений выборочной средней от генеральной средней, т.е. от своего математического ожидания M[].

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно (по различным формулам) в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка выборочной средней определяется по формуле

, (15)

где – общая дисперсия выборочных значений признаков,

N – число единиц в генеральной совокупности,

n – число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

,

, (16)

где – выборочная средняя,

– генеральная средняя.

Границы задают доверительный интервал генеральной средней, т.е. случайную область значений, которая с вероятностью Р гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность Р называют доверительной вероятностью или уровнем надёжности.

В экономических исследованиях чаще всего используются доверительные вероятности Р= 0.954, Р= 0.997, реже Р= 0,683.

В математической статистике доказано, что предельная ошибка выборки кратна средней ошибке µ с коэффициентом кратности t (называемым также коэффициентом доверия), который зависит от значения доверительной вероятности Р. Для предельной ошибки выборочной средней это теоретическое положение выражается формулой

(17)

Значения t вычислены заранее для различных доверительных вероятностей Р и протабулированы (таблицы функции Лапласа Ф). Для наиболее часто используемых уровней надежности Р значения t задаются следующим образом (табл. 15):

Таблица 15

Доверительная вероятность P

0,683

0,866

0,954

0,988

0,997

0,999

Значение t

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

По условию демонстрационного примера выборочная совокупность насчитывает 30 предприятий, выборка 20% механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 150 предприятий. Выборочная средняя , дисперсия определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 16:

Таблица 16

Р

t

n

N

0,954

2

30

150

0,248

0,003

Расчет средней ошибки выборки по формуле (15):

,

Расчет предельной ошибки выборки по формуле (17):

Определение по формуле (16) доверительного интервала для генеральной средней:

0,248-0,0180,248+0,018,

0,23 млн руб./чел. 0,266 млн руб./чел.

Вывод. На основании проведенного выборочного обследования предприятий с вероятностью 0,954 можно утверждать, что для генеральной совокупности предприятий средний уровень производительности находится в пределах от 0,23 млн руб./чел. до 0,266 млн руб./чел.

2. Определение ошибки выборки для доли организаций с уровнем производительности труда 0,264 млн руб./чел. и выше, а также границ, в которых будет находиться генеральная доля

Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой

, (18)

где m – число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

n – общее число единиц в совокупности.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле

, (19)

где w – доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

(1-w) – доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,

N – число единиц в генеральной совокупности,

n– число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная доля р единиц, обладающих заданным свойством:

(20)

По условию Задания 3 исследуемым свойством является равенство или превышение уровня производительности труда величины 0,264 млн руб./чел.

Число организаций с заданным свойством - m=11.

Расчет выборочной доли по формуле (18):

Расчет по формуле (19) предельной ошибки выборки для доли:

Определение по формуле (20) доверительного интервала генеральной доли:

0,21 0,524

или

21% 52,4%

Вывод. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что в генеральной совокупности предприятий доля предприятий с уровнем производительности труда 0,264 млн руб./чел и выше будет находиться в пределах от 21% до 52,4%.

Задание 4.

Имеются следующие данные по организации за два года:

№ п/п

Показатели

Базисный год

Отчетный год

1.

Выпуск продукции (в сопоставимых ценах), млн руб.

40,8

54,2

2.

Среднесписочная численность работников, чел.

164

180

3.

В том числе рабочих, чел.

130

145

4.

Отработано рабочими чел.-дней

31 200

33060

5.

Отработано рабочими чел.-ч

240 240

261 174

Определите:

1. Уровни среднечасовой, среднедневной и среднегодовой производительности труда, их динамику и взаимосвязь. Расчеты представьте в таблице.

2. Абсолютный прирост среднегодовой производительности труда одного работника за счет отдельных факторов (среднечасовой производительности труда рабочего, средней продолжительности рабочего дня и рабочего года, доли рабочих в общей численности работников).

Сделайте выводы.

Выполнение Задания 4.

Составим расчетную таблицу.

Таблица 17

Расчет показателей производительности труда и их динамики

№ п/п

Показатели

Базисный год

Отчетный год

Абсолютный прирост

Темп роста

А

Б

1

2

3 = гр.2 – гр.1

5=(гр.2/гр.1)*100

1.

Выпуск продукции (в сопоставимых ценах), млн руб.

40,8

54,2

13,4

132,8

2.

Среднесписочная численность работников, чел.

164

180

16

109,8

3.

В том числе рабочих, чел.

130

145

15

111,5

4.

Отработано рабочими чел.-дней

31200

33060

1860

106

5.

Отработано рабочими чел.-ч.

240240

261174

20934

108,7

6.

Среднечасовая производительность труда рабочих, тыс.руб./чел.-ч. (стр.1/стр.5*1000)

0,17

0,208

0,038

122,4

7.

Среднедневная производительность труда рабочих, тыс.руб./чел.-дн. (стр.1/стр.4*1000)

1,308

1,639

0,331

125,3

8.

Среднегодовая производительность труда рабочих, тыс.руб./чел. (стр.1/стр.3*1000)

313,846

373,793

59,947

119,1

9.

Среднегодовая производительность труда работающих, тыс.руб./чел. (стр.1/стр.2*1000)

248,78

301,111

52,331

121

10.

Средняя продолжитель-ность рабочего дня, ч. (стр.5/стр.4)

7,7

7,9

0,2

102,6

11.

Средняя продолжитель-ность рабочего года, дн. (стр.4/стр.3)

240

228

-12

95

12.

Доля рабочих в общей численности работников, стр.3/стр.2

0,793

0,806

0,013

101,6

Между показателями существуют взаимосвязи.

Средняя дневная выработка рабочих = Средняя часовая выработка рабочих * Средняя продолжительность рабочего дня.

1,253 = 1,224  1,026

Средняя годовая выручка рабочих = Средняя дневная выработка рабочих * Среднее число дней работы одного рабочего за год.

1,191 = 1,253  0,950

Средняя годовая выработка одного работающего = Средняя годовая выработка одного рабочего * Доля рабочих в общей численности работающих на предприятии.

1,210 = 1,191  1,016

Средняя годовая выработка одного работающего = Средняя часовая выработка одного рабочего * Средняя продолжительность рабочего дня * Средняя продолжительность рабочего года * Доля рабочих в общей численности работающих.

1,210 = 1,224  1,026  0,950  1,016

Абсолютный прирост среднегодовой производительности труда одного работника за счет отдельных факторов:

1) за счет среднечасовой производительности труда рабочего:

Δ(Wчас.) = (0,208 – 0,17)*7,7*240*0,793 = +55,688 тыс.руб./чел.

2) за счет средней продолжительности рабочего дня:

Δ(t) = 0,208*(7,9 - 7,7)*240*0,793 = +7,917 тыс.руб./чел.

3) за счет средней продолжительности рабочего года:

Δ(T) = 0,208*7,9*(228 – 240)*0,793 = -15,637 тыс.руб./чел.

4) за счет доли рабочих в общей численности работников:

Δ(d) = 0,208*7,9*228*(0,806 – 0,793) = +4,870 тыс.руб./чел.

Заключение.

По результатам проведенного анализа наблюдается рост почти всех приведенных показателей (кроме средней продолжительности рабочего года). Абсолютный прирост среднегодовой производительности труда одного работника произошел преимущественно за счет среднечасовой производительности труда рабочего.

1^ Статистика: Курс лекций. Под ред. В.Г. Ионина - М., 2004

2^ Экономика и статистика фирм. Учебник / Под ред. д.э.н., проф. С.Д. Ильенковой. - М.: Финансы и статистика, 2005

3^ Статистика: Учебник. Под ред. И.И. Елисеевой – М.: ПРОСПЕКТ, 2004

4^ Если в дискретном ряду все варианты встречаются одинаково часто, то в этом случае мода отсутствует. Могут быть распределения, где не один, а два (или более) варианта имеют наибольшие частоты. Тогда ряд имеет две (или более) моды, распределение является бимодальным (или многомодальным),что указывает на качественную неоднородность совокупности по изучаемому признаку.