Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Кафедра экономико-математических методов и моделей

Лабораторная работа

по эконометрике

Вариант 8

Липецк 2007

Анализ накладных расходов

По данным, представленным в табл. 1, исследуется зависимость между величиной накладных расходов 40 строительных организаций Y (млн. руб.) и следующими тремя основными факторами:

x1 – объемом выполненных работ, млн. руб.

x2 – численностью рабочих, чел.

x3 – фондом зарплаты, млн. руб.

Таблица 1

№

Накладные расходы, млн. руб.

Объем работ, млн. руб.

Численность рабочих, чел.

Фонд заработной платы рабочих, млн. руб.

1

3,5

11,9

980

5,754

2

4,0

12,1

675

5,820

3

3,1

11,2

1020

4,267

…

…

…

…

…

38

1,6

7,4

159

1,570

39

1,2

2,2

162

1,142

40

1,5

2,6

101

0,429

Задание 1

1. Построить уравнение множественной регрессии в линейной форме с полным набором факторов, отобрать информативные факторы в модель по t-критерию для коэффициентов регрессии.

2. Построить уравнение множественной регрессии только со значимыми факторами, рассчитать индекс корреляции R и оценить качество полученного уравнения регрессии с помощью коэффициента детерминации.

3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии, используя критерий Фишера F(α=0,05) и статистическую значимость параметров регрессии, используя критерий Стьюдента.

4. Дать сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью коэффициентов эластичности, β- и ∆-коэффициентов.

5. Проверить выполнение предпосылок МНК, в том числе провести тестирование ошибок уравнения регрессии на гетероскедастичность.

Задание 1

С помощью инструмента Регрессия (Анализ данных в Excel) построим уравнение множественной регрессии в линейной форме с полным набором факторов:

Результат регрессионного анализа содержится в таблицах 2 – 4:

Таблица 2

Регрессионная статистика

Множественный R

0,866358078

R-квадрат

0,750576318

Нормированный R-квадрат

0,729791012

Стандартная ошибка

0,471742887

Наблюдения

40

Таблица 3. Дисперсионный анализ

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

3

24,10851135

8,03617

36,11091

5,96E-11

Остаток

36

8,01148865

0,222541

Итого

39

32,12

Таблица 4

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

Y-пересечение

1,132

0,19076

5,931641159

X1

0,060

0,02727

2,184222962

X2

0,001

0,00038

2,797672164

X3

0,103

0,05294

1,942314668

Уравнение регрессии выглядит следующим образом:

y= 1,132+ 0,060x₁+ 0,001x₂+0,103x₃.

Для отбора информативных факторов в модель воспользуемся инструментом Корреляция (Excel).

Получим

Y

X1

X2

X3

Y

1

X1

0,81487503

1

X2

0,739480383

0,688804335

1

X3

0,773879466

0,824998839

0,59924032

1

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что накладные расходы имеют тесную связь с фондом заработной платы (r_yx3=0,815), с объемом работ и с численностью рабочих. Однако факторы X₁ и X₃ тесно связаны между собой (r_yx1x3=0,825), что свидетельствует о наличии мультиколлинеарности. Из этих двух переменных оставим в модели X₁ – объем работ.

Задание 2

С помощью инструмента Регрессия (Анализ данных в Excel) построим уравнение множественной регрессии только со значимыми факторами. Результат регрессионного анализа содержится в таблицах 5 – 8:

Таблица 5. Регрессионная статистика

Множественный R

0,851

R-квадрат

0,724

Нормированный R-квадрат

0,709542965

Стандартная ошибка

0,489098594

Наблюдения

40

Таблица 6. Дисперсионный анализ

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

2

23,2689549

11,63447745

48,636

4,40607E-11

Остаток

37

8,851045097

0,239217435

Итого

39

32,12

Таблица 7

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

Y-пересечение

1,165

0,196970572

5,914

X1

0,097

0,019899056

4,883

X2

0,001

0,000390527

2,848

Таблица 8. ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение

Предсказанное Y

Остатки

1

3,411

0,089

2

3,092

0,908

3

3,388

-0,288

4

2,781

-0,081

5

2,857

0,743

6

2,849

-0,149

7

2,676

0,224

8

1,743

-0,143

9

2,016

-0,716

10

2,410

0,090

11

2,307

-0,207

12

2,289

0,111

13

2,363

-0,363

14

2,692

-0,192

15

1,971

-0,171

16

3,229

-0,429

17

4,562

-0,562

18

4,839

-0,939

19

4,242

0,458

20

3,774

1,026

21

3,779

0,521

22

3,667

-0,167

23

3,473

-0,473

24

3,577

0,023

25

3,298

0,002

26

3,399

-0,499

27

3,298

-0,198

28

3,646

-0,846

29

3,118

0,382

30

3,685

0,915

31

2,800

0,700

32

2,919

-0,019

33

2,829

-0,129

34

2,764

0,036

35

2,578

0,422

36

2,395

0,505

37

2,136

0,264

38

2,061

-0,461

39

1,559

-0,359

40

1,530

-0,030

Уравнение регрессии имеет вид: y= 1,165+ 0,097x₁+0,001x₂. Индекс корреляции (R)=0,851 (табл.5). Коэффициент детерминации = 0,724. Следовательно, около 72% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.

Задание 3

Проверку значимости уравнения регрессии произведем на основе критерия Фишера. Значение F-критерия Фишера находится в таблице 6 и равен 48,636. Табличное значение при α=0,05 и k₁=2, k₂=37 составляет 3,252. Поскольку F_рас› F_табл, то уравнение регрессии следует признать адекватным.

Значимость коэффициентов уравнения регрессии оценим с использованием t-критерия Стьюдента. Расчетные значения для a₁ и a₂ приведены в таблице 7 и равны 4,883 и 2,848. Табличное значение найдем с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР при α=0,05 и k=37. Оно составляет 2,026. Т.к. расчетные значения больше табличного, то коэффициенты уравнения регрессии значимы.

Задание 4

Коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

β_j=

∆_j=β_j/R²

Таблица 9

№

Накладные расходы

Объем работ

y-yср

(y-yср)²

x-xср

(x-xср)²

(y-yср)*(x-xср)

Y

X1

1

3,5

11,9

0,55

0,303

0,04

0,002

0,022

2

4

12,1

1,05

1,103

0,24

0,058

0,252

3

3,1

11,2

0,15

0,023

-0,66

0,436

-0,099

4

2,7

10,8

-0,25

0,062

-1,06

1,124

0,265

5

3,6

11,7

0,65

0,423

-0,16

0,026

-0,104

6

2,7

11,8

-0,25

0,062

-0,06

0,004

0,015

7

2,9

9,8

-0,05

0,002

-2,06

4,244

0,103

8

1,6

2,8

-1,35

1,823

-9,06

82,084

12,231

9

1,3

5,9

-1,65

2,723

-5,96

35,522

9,834

10

2,5

8,7

-0,45

0,203

-3,16

9,986

1,422

11

2,1

7,6

-0,85

0,722

-4,26

18,148

3,621

12

2,4

7,3

-0,55

0,303

-4,56

20,794

2,508

13

2

7,9

-0,95

0,903

-3,96

15,682

3,762

14

2,5

8,9

-0,45

0,203

-2,96

8,762

1,332

15

1,8

5,4

-1,15

1,323

-6,46

41,732

7,429

16

2,8

10,2

-0,15

0,023

-1,66

2,756

0,249

17

4

25,1

1,05

1,103

13,24

175,298

13,902

18

3,9

22,7

0,95

0,903

10,84

117,506

10,298

19

4,7

20,3

1,75

3,063

8,44

71,234

14,770

20

4,8

19,9

1,85

3,423

8,04

64,642

14,874

21

4,3

18,2

1,35

1,823

6,34

40,196

8,559

22

3,5

17,3

0,55

0,303

5,44

29,594

2,992

23

3

16,5

0,05

0,003

4,64

21,530

0,232

24

3,6

17

0,65

0,423

5,14

26,420

3,341

25

3,3

17,1

0,35

0,123

5,24

27,458

1,834

26

2,9

16,2

-0,05

0,002

4,34

18,836

-0,217

27

3,1

17,3

-0,15

0,023

5,44

29,594

-0,816

28

2,8

16,3

-0,15

0,023

4,44

19,714

-0,666

29

3,5

12,9

0,55

0,303

1,04

1,082

0,572

30

4,6

13,8

1,65

2,723

1,94

3,764

3,201

31

3,5

10,1

0,55

0,303

-1,76

3,098

-0,968

32

2,9

10,9

-0,05

0,002

-0,96

0,922

0,048

33

2,7

11,4

-0,25

0,062

-0,46

0,212

0,115

34

2,8

11,3

-0,15

0,023

-0,56

0,314

0,084

35

3

8,7

0,05

0,003

-3,16

9,986

-0,158

36

2,9

10

-0,05

0,002

-1,86

3,460

0,093

37

2,4

5,2

-0,55

0,303

-6,66

44,356

3,663

38

1,6

7,4

-1,35

1,823

-4,46

19,892

6,021

39

1,2

2,2

-1,75

3,063

-9,66

93,316

16,905

40

1,5

2,6

-1,45

2,103

-9,26

85,748

13,427

∑

118

474,4

-0,3

32,12

0

1149,52

154,95

ср.

2,95

11,86

-0,0075

0

Тогда Э₁(для X₁)=0,097*11,86/2,95=0,391

β₁=0,097*5,43/0,82=0,581

∆₁=0,806*0,581/0,724=0,647.

При изменении объема работ на 1% накладные расходы изменятся на 39%.При увеличении объема работ на 5,43 млн. руб. накладные расходы увеличатся на 476 тыс. руб. (0,581*0,82). Доля влияния объема работ в суммарном влиянии всех факторов составляет 64,7%.

Таблица 10

№

Накладные расходы

Численность рабочих

y-yср

(y-yср)²

x-xср

(x-xср)²

(y-yср)*(x-xср)

Y

X2

1

3,5

980

0,55

0,303

411,28

0,092

226,201

2

4

675

1,05

1,103

106,28

1,216

111,589

3

3,1

1020

0,15

0,023

451,28

0,001

67,691

4

2,7

509

-0,25

0,062

-59,73

0,004

14,931

5

3,6

499

0,65

0,423

-69,73

0,179

-45,321

6

2,7

483

-0,25

0,062

-85,73

0,004

21,431

7

2,9

502

-0,05

0,002

-66,73

0,000

3,336

8

1,6

275

-1,35

1,823

-293,73

3,322

396,529

9

1,3

250

-1,65

2,723

-318,73

7,412

525,896

10

2,5

359

-0,45

0,203

-209,73

0,041

94,376

11

2,1

363

-0,85

0,722

-205,73

0,522

174,866

12

2,4

373

-0,55

0,303

-195,73

0,092

107,649

13

2

387

-0,95

0,903

-181,73

0,815

172,639

14

2,5

595

-0,45

0,203

26,28

0,041

-11,824

15

1,8

253

-1,15

1,323

-315,73

1,749

363,084

16

2,8

965

-0,15

0,023

396,28

0,001

-59,441

17

4

861

1,05

1,103

292,28

1,216

306,889

18

3,9

1320

0,95

0,903

751,28

0,815

713,711

19

4,7

993

1,75

3,063

424,28

9,379

742,481

20

4,8

607

1,85

3,423

38,28

11,714

70,809

21

4,3

760

1,35

1,823

191,28

3,322

258,221

22

3,5

738

0,55

0,303

169,28

0,092

93,101

23

3

634

0,05

0,003

65,28

0,000

3,264

24

3,6

683

0,65

0,423

114,28

0,179

74,279

25

3,3

424

0,35

0,123

-144,73

0,015

-50,654

26

2,9

593

-0,05

0,002

24,28

0,000

-1,214

27

3,1

406

-0,15

0,023

-162,73

0,001

24,409

28

2,8

807

-0,15

0,023

238,28

0,001

-35,741

29

3,5

629

0,55

0,303

60,28

0,092

33,151

30

4,6

1060

1,65

2,723

491,28

7,412

810,604

31

3,5

588

0,55

0,303

19,28

0,092

10,601

32

2,9

625

-0,05

0,002

56,28

0,000

-2,814

33

2,7

500

-0,25

0,062

-68,73

0,004

17,181

34

2,8

450

-0,15

0,023

-118,73

0,001

17,809

35

3

510

0,05

0,003

-58,73

0,000

-2,936

36

2,9

232

-0,05

0,002

-336,73

0,000

16,836

37

2,4

419

-0,55

0,303

-149,73

0,092

82,349

38

1,6

159

-1,35

1,823

-409,73

3,322

553,129

39

1,2

162

-1,75

3,063

-406,73

9,379

711,769

40

1,5

101

-1,45

2,103

-467,73

4,421

678,201

∑

118

22749

-0,3

32,12

0,00

67,03

7289,068

ср.

2,95

568,725

-0,0075

Тогда Э₂=0,001*568,725/2,95=0,214

β₂=0,001*276,6/0,82=0,339

∆₂=0,744*0,339/0,724=0,348.

При изменении численности рабочих на 1% накладные расходы изменятся на 21%. При увеличении численности рабочих на 277 человек накладные расходы увеличатся на 280 тыс. руб. (276,6*0,82). Доля влияния численности рабочих в суммарном влиянии всех факторов составляет 35%.

Задание 5

Проверим выполнение предпосылок МНК:

• Отсутствие автокорреляции

Отсутствие автокорреляции проверяется по d-критерию Дарбина - Уотсона:

.

d=1,46 (d₁=1,45 и d₂=1,59).

Следовательно возникает неопределенность,

r=0,73 (r_табл=0,851), следовательно автокорреляция отсутствует.

• Случайный характер остатков.

Случайный характер остатков проверяется по графику. Как видно из графика в расположении точек E_i нет направленности, следовательно, E_i – случайные величины и применение МНК оправдано.

• Средняя величина остатков или математическое ожидание равно нулю.

Так как расположение остатков на графике не имеет направленности, то они независимы от значений фактора x₁.

• Остатки подчиняются нормальному закону распределения.

• Проверка гомоскедастичности остатков:

Гомоскедастичность остатков проверяется по тесту Голдфельда - Кванта.

1) Ранжируем наблюдение в порядке возрастания х. Делим их на две группы: с большим и меньшим x и для каждой группы определяем уравнение регрессии.

Получаем следующие уравнения y=0,84+0,16x₁+ 0,0006x₂ и y=1,996+0,05x₁+ 0,001x₂

Рассчитываем остаточные суммы квадратов для каждой регрессии.

,

.

Вычисляются F- распределения.

Fнабл.=S_2ŷ/S_1ŷ или Fнабл.= S_1ŷ/S_2ŷ из условий, что в числителе должна быть большая сумма квадратов.

Fнабл. = S_2ŷ/S_1ŷ =2,67

Производится сравнение Fнабл. и Fтабл.

2,06<2,67(при k₁=40, k₂=18, α=0,05) следовательно, гетероскедастичность имеет место.