Экстремумы функции

На рисунке 123 изображён график функции y=-3. Рассмотри окрестности точки x=0, т.е. некоторый интервал содержащий эту точку. Как видно из рисунка, существует такая окрестность точки x=0, что наибольшее значение функция -3 в этой окрестности принимает в точке x = 0. Например, на интервале (—1; 1) наибольшее значение, равное 0, функция принимает в точке x=0. Точку x = 0 называют точкой максимума этой функции.

Аналогично точку x = 2 называют точкой минимума функции x—Зх², так как значение функции в этой точке меньше ее значения в любой точке некоторой окрестности точки x=2, например окрестности (1,5; 2,5).

Точка называется точкой максимума функции (x), если существует такая окрестность точки , что для всех xх₀ из этой окрестности выполняется неравенство

f(x)

Например, точка х_о = 0 является точкой максимума функции f(x) =1—х², так как f(0)=1 и при всех значениях x верно неравенство f(x) <1 (рис. 124).

Точка х₀ называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х₀, что для всех xх₀ из этой окрестности выполняется неравенство

f(x)

Например, точка х₀=2 является точкой минимума функции f(x) =3+(x— 2)², так как /(2) = 3 и /(х)>3 при всех значениях хф2 (рис. 125).

Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.

Рассмотрим функцию /(х), которая определена в некоторой окрестности точки х₀ и имеет производную в этой точке.

Теорема. Если х₀ — точка экстремума дифференцируемой функции /(х), то /'(х₀) = 0.

Это утверждение называют теоремой Ферма¹. Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: касательная к графику функции г/ = /(х) в точке (х₀; / (х₀), где х₀ — точка экстремума функции г/ = /(х), параллельна оси абсцисс, и поэтому ее угловой коэффициент /'(х₀) равен нулю (рис. 126). Например, функция / (х) = 1 — х² (рис. 124) имеет