Функциональный анализ

Функциональный анализ

Абсолютно непрерывные функции. Связь между абсолютно непрерывными функциями и интегралом Лебега (КФЭ 394).

Абсолютно непрерывной называется такая функция , заданная на отрезке [a,b], что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов (a_k,b_k) с суммой длин меньшей , сумма модулей разностей значений функции  в концах интервалов меньше чем .

Утв. Всякая абсолютно непрерывная ф-я имеет ограниченное изменение.

Теорема. Функция , представляющая собой неопределенный интеграл суммируемой ф-и, абсолютно непрерывна.

Метрическое пр-во. Определение и примеры. Полнота. Теорема о вложенных шарах в метрическом пр-ве.

Полугруппой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция.

Группой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция и существует единица.

Кольцо - множество объектов с двумя бинарными операциями, являющееся группой по одной из операций, и полугруппой по второй операции, причем для элементов кольца справедлив закон ассоциативности и дистрибутивности.

Поле – кольцо с единицей, содержащее элементы отличные от нуля, для каждого из которых определен обратный элемент по “умножению” (являющееся группой по умножению).

Линейным векторным пр-вом над кольцом наз. множество объектов называемых векторами с определенными операциями векторного сложения и умножения вектора на скаляр, такими, что это множество является группой по векторному сложению и справедливы законы ассоциативности и дистрибутивности для умножения на скаляр.

Выпуклым подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любых его двух элементов х и у и числа  из [0, 1] элемент х+(1-)у принадлежит Е.

Уравновешенным подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любого х из Е и числа , по модулю не превосходящего единицы элемент х принадлежит Е.

Абсолютно выпуклым подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любых его двух элементов х и у и числа любых двух чисел   : 1 + элемент х+у принадлежит Е.

Поглощающим подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любого х из Х существует число  большее нуля, что для все чисел  по модулю не меньших  найдется элемент у из Е, что х равен у.

Калибровочной функцией векторного пр-ва Х называется такая функция р(х): ХR, что для нее выполнены следующие условия:

Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: К р(х)= р(х).

Выполнено нер-во треугольника: р(х)+ р(у) р(х+у).

Полунормой векторного пр-ва Х называется такая функция р(х): ХR, что для нее выполнены следующие условия:

Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: К х= х.

Выполнено нер-во треугольника: р(х)+ р(у) р(х+у).

Утв. Пусть р() – неотр. калибровочная ф-я. Тогда мн-во Е_={х: р(х)<}выпукло и поглощающее, р(х) - полунорма.

Нормированным называется такое векторное пр-во Х над полем К, если определена функция нормы  из Х в R, такая, что для нее справедливы следующие условия:

Норма неотрицательна и равна нулю лишь в том случае, когда сам элемент равен нулю: х0, х=0  х=0.

Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: К х= х.

Выполнено нер-во треугольника: х+ у х+у.

Метрическим пр-вом называется мн-во Х на котором задана бинарная функция (х,у), для которой справедливы следующие условия:

(х,у)=0 титт х=у. (х,у)= (у,х). (х,z) (х,у) +(у,z).

Полным называется такое метрическое пр-во, в котором любая фундаментальная посл-ть сх-ся.

Топологическим пр-вом называется такое множество Х в котором определена система его подмножеств , называемая топологией, такая, что для нее справедливы условия:

Мн-во Х и пусто мн-во принадлежит . Объединение и пересечение мн-в из  лежит в .

Базой топологии пр-ва Х называется система открытых мн-в  из Х, таких, что всякое открытое мн-во из Х может быть представлено в виде конечной или бесконечной суммы мн-в из .

Хаусдорфова топология (????).

Теорема. Пусть Х – векторное топологическое пр-во, тогда существует база окрестностей нуля, состоящая из замкнутых поглощающих мн-в.

Порождающая система полунорм (???).

Теорема. Локально выпуклое пр-во Х метризуемо титт, когда топология хаусдорфова и существует счетный набор порождающих полунорм.

Банаховы пр-ва. Теорема о вложенных шарах в банаховом пр-ве (КФЭ 81).

Банаховым пр-вом называется полное нормированное пр-во.

Теорема. Для того чтобы метрическое пр-во Х было полным необх. и дост., чтобы в нем любая посл-ть вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы к-рых не стремятся к нулю, имела непустое пересечение.

Теорема Бера. Принцип сжимающих отображений (КФЭ 83).

Сжимающим называется такое отображение  полного метрического пр-ва : ХХ, что существует число r<1, такое что r (х,у)((х),(у)).

Теорема. Для сжимающего отображения  существует единственная неподвижная точка (х)=х.

Теорема Бера. Полное метрическое пр-во Х не может быть представлено в виде объединения счетного числа нигде не плотных мн-в.

Теорема о пополнении (КГТ 12).

Пополнением метрического пр-ва Х называется метрическое пр-во У, такое, что выполнены следующие усл-я:

Y полно. Х лежит в Y. Х плотно в Y, т.е. каждая точка из Y является предельной для Х.

Теорема. Каждое метрическое пр-во Х допускает пополнение Y. Любые два пополнения пр-ва Х изометричны, причем изометрия, связывающая их, оставляет на месте точки Х.

Сепарабельность, компактность, критерий Хаусдорфа.

Сепарабельным называется такое топологическое пр-во Х, что в нем существует счетное всюду плотное мн-во Е, то есть для любого элемента из Х и для любой его окрестности найдется элемент из Е, принадлежащий этой окрестности.

Компактным подмножеством топологического пр-ва Х называется такое его подмножество А, что из любого покрытия мн-ва А системой открытых мн-в можно выделить конечное подпокрытие.

Предкомпактом называется множество, замыкание к-го компакт.

-сеть для мн-ва В является такое мн-во А, что для любого элемента из В найдется элемент из А, отстоящий от него не далее, чем на .

Критерий Хаусдорфа. Пусть Х – полное метрическое пр-во и А подмножество в Х. Мн-во А предкомпактно титт, когда для каждого >0 мн-во А обладает конечной -сетью.

Сл-е. В конечномерном нормированном пр-ве предкомпактность равносильна ограниченности.

Непрерывные функции на метрических компактах. Эквивалентность норм в Rⁿ.

Теорема. Пусть Х – компактное метрическое пр-во и  - непрерывная на нем числовая ф-я. Тогда  ограниченна на Х и достигает на Х верхней и нижней граней.

Эквивалентными в лин-ом пр-ве Х называются такие две нормы ||||₁ и ||||₂ , что существуют положительные числа a и b для которых справедливо нер-во a||x||₁||x||₂b||x||₁ при всех x из X.

Теорема. В конечномерном лин. пр-ве Х любые две нормы эквивалентны.

Теорема Асколи-Арцела (КГ 75).

Теорема Асколи-Арцела. Пусть С(Х) –нормированное пр-во вещественных непрерывных ф-й на метрическом пр-ве Х с нормой =max(x). Для того чтобы подмножество А мн-ва С(Х) было предкомпактным необх. и дост. Чтобы были оно удовлетворяло следующим условиям:

Мн-во А равномерно ограниченно т.е. для любой функции  существует единое для всех число С, такое что модуль  не превосходит это число: С  (х)С.

Мн-во А равностепенно непрерывно т.е. для любой функции  и для любых двух точек х и у найдутся такие числа  и , что как только расстояние между точками меньше, чем  разность аргументов функции  меньше :  >0 >0, справедливо (х)-(у)< , если (х,у)< .

Критерий предкомпактности единичного шара (КГТ 74).

Теорема. Пусть Х – лин-ое нормированное бесконечномерное пр-во, тогда единичный шар B={x: ||x||<1}не является предкомпактным мн-вом.

Евклидовы пр-ва. Неравенство Коши-Буняковского.

Евклидовым называется такое лин-ое пр-во Х если для него справедливы следующие условия:

Определена операция ( , ): ХХС.

(х,х)0. (х,х)=0 х=0.

(х+у,z)= (х,z)+(y,z).

Утв. Норму в Евклидовом пр-ве можно ввести следующим образом: .

Утв. Метрику в Евклидовом пр-ве можно ввести следующим образом:(х,у)=||x-y||.

Теорема. Для любых двух элементов х и у из Х справедливо нер-во Коши-Буняковского:

|(x,y)|||x||||y||.

Предгильбертовым называется такое лин-ое пр-во Х если для него справедливы следующие условия:

Определена операция ( , ): ХХС.

(х,х)0.

(х+у,z)= (х,z)+(y,z).

Гильбертовым пространством называется полное бесконечномерное Евклидово пр-во.

Утв. Определение Гильбертова пр-ва эквивалентно предгильбертовости пр-ва с добавлением условия (х,х)>0 при x отличных от нуля.

Теорема о существовании и единственности элемента наилучшего приближения в гильбертовых пр-вах. Теорема о разложении в прямую сумму.

Ортонормированные системы. Процесс ортогонализации.

Опр. В Евклидовом пр-ве косинус между двумя векторами х и у можно определить как .

Ортогональной в Евклидовом пр-ве Х называется такая система векторов {x_}, что при различных  и  (х_,х_)=0.

Ортогональным базисом в Евклидовом пр-ве Х называется такая ортогональная система , что ее лин-ая оболочка совпадает с Х.

Ортонормированной системой в Евклидовом пр-ве Х (о.н.с.) называется такая система векторов {x_}, что при различных  и  (х_,х_)=0 и для всех векторов x_ ||x_ ||=1 .

Ортогонализацией л.н.з. системы векторов {y_}называется процесс, ставящих ей в соотв. Новую системы векторов {x_},являющуюся ортонормированной, такую, что лин-ые оболочки обоих систем совпадают.

Неравенство Бесселя, Теорема Рисса-Фишера.

Коэффициентами Фурье элемента  из евклидова пр-ва X по о.н.с. {_k} называется последовательность чисел c_k=(,_k).

Рядом Фурье по о.н.с. {_k} называется ряд  c_k_k.

Неравенство Бесселя. Для любого элемента  из евклидова пр-ва X и о.н.с. {_k} справедливо нер-во: .

Замкнутой называется такая о.н.с. {_k}, что для любого  из евклидова пр-ва X справедливо равенство Парсеваля: .

Теорема Рисса-Фишера. Пусть {_k} о.н.с. в полном евклидова пр-ва X и пусть числа c_k таковы, что сх-ся. Тогда существует такой элемент  из X, что c_k=(,_k) и .

Базисы, равенство Парсеваля и эквивалентные ему условия. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пр-в.

Теорема. Любые два сепарабельных Гильбертовых пр-ва изоморфны между собой.

Лин-ые операторы в нормированных пр-вах. Непрерывность и ограниченность. Полнота пр-в Т(l1,l2).

Лин. оператором (отображением) А из лин. пр-ва Х в лин. пр-во Y над полем К называется отображение для которого выполнена аксиомы лин-ости и уравновешенности: (А)х=(Ах), А(х+у)= А(х)+ А(у).

Норма оператора. Пусть Х, Y – нормированные пр-ва. Тогда норму оператора А можно задать так: .

Задача. Следующие нормы эквивалентны:

; ; ; ||A||=inf C: х ||Ax||C||x||.

Непрерывным называется такой лин-ый оператор А, что для любой последовательности x_n сходящейся к х последовательность А(x_n) сходится к А(х).

Ограниченным называется такой лин-ый оператор из лин. пр-ва Х в лин. пр-во Y, что он переводит ограниченное мн-во в ограниченное.

Задача. Оператор непрерывен титт, когда он ограничен.

Задача. Оператор непрерывен титт, когда он непрерывен в одной точке.

Лемма Цорна – Куратовского. Существование разрывных лин-ых функций на бесконечномерном нормированном пр-ве. Теорема Хана-Банаха в действительном случае.

Лин. функционалом определенном на лин-ом пр-ве X называется числовая функция.

Выпуклым фун-лом на действительном лин-ом пр-ве X называется такой фун-л p, что для любых x,y из X и 10 выполнено соотношение: p(x+(1-)y) p(x)+(1-)p(y).

Положительно-однородным фун-лом на действительном лин-ом пр-ве X называется такой фун-л p, что для любых x из X и >0 p(x)= p(x).

Однородно-выпуклым фун-лом называется положительно-однородным выпуклый фун-л.

Продолжением лин-ого фун-ла ₀, определенного на подпространстве X₀ действительного лин-ого пр-ва X называется такой лин-ый фун-л , определенный на X, что(x)=₀(x) для всех x из X₀.

Подчиненным фун-лу p(x) на действительном лин-ом пр-ве X называется такой фун-л , что (x)p(x) для всех x из X.

Теорема Хана-Банаха. Пусть p – однородно-выпуклый фун-л, заданный на действительном лин-ом пр-ве X, и пусть X₀ – лин-ое подпр-во X. Пусть ₀ лин-ый фун-л на X₀, подчиненные на X₀ p(x). Тогда ₀может быть продолжен до лин-ого фун-ла  на X, подчиненного p(x) на всем X.

Теорема Хана-Банаха в комплексном случае. Ее следствия.

Однородно-выпуклым на комплексном лин-ом пр-ве X мы будем называть такой неотрицательный фун-л p, что для всех x,y из X и всех комплексных чисел  справедливы соотношения: p(x+y)p(x)+p(y), p(x)=| |p(x).

Теорема Хана-Банаха в комплексном случае. Пусть p – однородно-выпуклый фун-л на комплексном пр-ве X, и пусть X₀ – лин-ое подпр-во X. Пусть ₀ лин-ый фун-л на X₀, такой, что |₀ (x)|p(x) для x из X₀. Тогда Существует лин-ый фун-л , являющийся продолжением ₀, такой, что | (x)|p(x) для x из X.