ПАЛИНДРОМЫ

руководитель Рахматуллина Надия Нурлыбаяновна,

учитель математики,

МБОУ основная общеобразовательная

школа Сокольская основная

общеобразовательная школа

Бугульминского муниципального района РТ

    Ценность исследовательской работы заключается в том, что учащиеся, оперируя понятиями в глобальных масштабах, выполняют работу на местном материале, учатся предвидеть последствия своих действий. Девизом их работы является выражение: "Мыслим глобально, действуем локально".

        Этапы исследовательской деятельности:

        1. Изучение фактов и явлений

        2. Постановка проблемы

        3. Построение плана деятельности (использование инструктивной карты, составленной учителем)

        4. Осуществление плана, объяснение

        5. Графическое или теоретическое составление проекта

        6. Защита проекта (решение проблемы)

        Презентации,  создаваемые учащимися являются  продуктом проектной деятельности.

Подводя итог выступления хочу подчеркнуть, что исследовательская деятельность позволяют вводить новое содержание  в образование, которое позволяет решать проблему формирования ключевых компетенций  у учащихся согласно новых  требований к образованию.

Введение
Актуальность выбора темы
Числа палиндромы образуют одно из наиболее интересных подмножеств множества натуральных чисел. Они обладают необычной историей, удивительными свойствами.
Мы провели исследование среди 7, 8, 9 классов и выяснили, что многие ребята слышали об этих числах, но подробную информацию знают единицы. Многие из опрошенных учащихся хотели бы узнать об этих числах больше.
Цель исследования:
Практически все математические понятия, так или иначе, опираются на понятие числа, а конечный результат любой математической теории, как правило, выражается на языке чисел. Многие из них, особенно натуральные числа по тем или иным признакам и свойствам сгруппированы в отдельные структуры (совокупности) и имеют собственные имена. Таким образом, целью исследования является знакомство с числами палиндромами.
Задачи исследования (поставлена учащимися)

1. Изучить литературу по теме исследования.

2. Рассмотреть свойства палиндромов.

3. Установить связь между палиндромами.

Объект исследования – числа палиндромы.
Методы исследования:

• теоретический

• анализ

Теоретическая часть

Все помнят книгу о приключениях Буратино. Помните, как строгая Мальвина учила Буратино писать? Она велела написать такую фразу: “А роза упала на лапу Азора” и велела прочитать “наоборот”. Эта фраза читается слева направо и справа налево. Это фраза-палиндром (в переводе — перевертыш). Слова: ШАЛАШ, РАДАР, ТОПОТ, КОК, КАЗАК — тоже палиндромы.
Числовые палиндромы – это натуральные числа, которые одинаково читаются справа налево и слева направо. Иначе говоря, отличаются симметрией записи (расположения цифр), причём число знаков может быть как чётным, так и нечётным.
Например: 121; 676; 1331; 4884; 94949; 1177711; 1178711 и т. д.
Изучая палиндромы, автор данной работы задаёт вопрос: «Как из других чисел можно получить палиндромы?»
Палиндром можно получить как результат операций над другими числами. Для этого воспользуемся известным алгоритмом.
Алгоритм получения палиндрома

• Возьми любое двузначное число

• Переверни его (переставь цифры справа налево)

• Найди их сумму

• Переверни полученное число

• Найди их сумму

• Повторяй аналогичные действия до тех пор, пока не получится палиндром

Пример:

1. 96

2. 96 + 69 = 165

3. 165 + 561 = 726

4. 726 + 627 =1353

5. 1353 + 3531 = 4884

В результате проделанной работы пришли к выводу, что, используя составленный алгоритм, из любого двузначного числа можно получить число-палиндром.
Можно рассмотреть не только сложение, но и другие операции над палиндромами.
Задача №1. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их сложения (вычитания, умножения, деления) не менялся в результате прочтения их суммы справа налево, т.е. х₁у₁ +х₂у₂ = у₂х₂+у₁х₁

Решение (проделана учащимися)

х₁у₁ = 10х₁ + у₁, х₂ у₂ = 10 х₂+у₂, тогда

(10х₁ + у₁) +(10х₂ + у₂ ) = (10у₂+х₂)+(10у₁+х₁). Раскрыв скобки, приведя подобные слагаемые, разделив на 9, получим:

х₁+х₂=у₁+у₂, Вывод: сумма первых цифр у всех таких пар равна сумме их вторых цифр.

Примеры: 76+34=43+67 52+47 =74+25

Задача № 2 В случае вычитания имеем:

Аналогично х₁у₁-х₂у₂ = у₂х₂-у₁х₁

Тогда, упростив, получим х₁+у₁ = х₂+у_2, т.е.вывод: сумма цифр первого числа равна сумме цифр второго числа.

Примеры: 41-32 = 23-14, 62-17 = 71-26

Задача №3 случае умножения имеем: х₁*х₂=у₁*у₂ , т.е. произведение первых цифр равно произведению вторых цифр.

Примеры: 39*31=13*93, 42*12=21*24

Задача №4 В случае деления:

х₁у₁/х₂у₂ =у₂х₂/у₁х₁, тогда имеем

х₁*у₂=х₂*у₁, т.е.вывод: произведение первой цифры первого числа на вторую цифру второго числа равно произведению двух других их цифр.

Примеры: 82:41=28:14

Теперь обратимся к числам простым. В их бесконечном множестве имеются целые семейства палиндромов. Только среди первых ста миллионов натуральных чисел насчитывается 781 простой палиндром, причём двадцать приходится на первую тысячу, из них четыре числа однозначные – 2; 3; 5; 7 и всего одно двузначное – 11. С такими числами связано немало интересных закономерностей:

• Существует единственный простой палиндром с чётным числом цифр – 11.

• Первой и последней цифрами любого простого палиндрома могут быть только 1; 3; 7 или 9. Это следует из известных признаков делимости на 2 и на 5. Все простые двузначные числа, записанные с помощью перечисленных цифр (кроме 19), можно разбить на пары.

Например: 13 и 31; 17 и 71; 37 и 73; 79 и 97.

• Среди простых трёхзначных палиндромов встречаются пары чисел, у которых средняя цифра отличается всего на 1.

Например: 181 и 191; 373 и 383; 787 и 797; 919 и 929.

• Аналогичная картина наблюдается у больших простых чисел.

Например: 94849 и 94949; 1177711 и 1178711.

• Все однозначные числа являются палиндромами.

• 26 – наименьшее число, не являющееся палиндромом, квадрат которого палиндром

Например: 26² = 676

• А вот пары чисел - «перевёртышей» 13 — 31 и 113 — 311 при возведении в квадрат дают также пары «перевёртышей»: 169 — 961 и 12769 — 96721. Любопытно, что даже суммы их цифр оказались связаны хитрым образом:

(1 + 3)2 = 1 + 6 + 9,
(1 + 1 + 3)2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Простые числа-палиндромы могут «задаваться» разными симметричными формулами, которые отражают особенности их записи. Это хорошо видно на примере пятизначных чисел:

Кстати, простые многозначные числа вида встречаются, очевидно, только среди репьюнитов. Таких чисел известно пять. Примечательно, что у каждого из них количество цифр выражается простым числом: 2, 19, 23, 317, 1031. А вот среди простых чисел, у которых все цифры, кроме центральной, единицы, был обнаружен палиндром весьма внушительной длины — в нём 1749 цифр:

Вообще среди простых чисел-палиндромов встречаются удивительные экземпляры. Вот лишь один пример — числовой гигант

А интересен он тем, что содержит 11 811 цифр, которые можно разбить на три палидромические группы, причём в каждой группе количество цифр выражается простым числом (5903 или 5).

Учащимся предложено найти палиндромы в других науках. Результат:

Палиндромов в других науках:

- в изобразительном искусстве

в химии НООССООН – формула щавелевой кислоты

магический квадрат в математике

Утречко летело к черту
Я ем змея
Я нем и нежен, не жени меня
Я ужру буржуя!
Нам рак влетел в карман
Цени в себе свинец - литература

Практическая часть

В книге «Математическая смекалка» Б.А. Кордемского есть задача:
найти 10-тизначное число с неповторяющимися цифрами, при делении которого на 9 получается в частном палиндромическое число, т.е. читающееся одинаково как слева направо, так и справа налево.

В школе написали ОБЪЯВЛЕНИЕ с условием задачи.

И вот первые результаты:

• 8 706 543 921 : 9 = 967 393 769

• 1 206 453 879 : 9 = 134 050 431

• 4 059 721 386 : 9 = 451 080 154

10-тизначных чисел с неповторяющимися цифрами более трёх миллионов:

9/10*10!=3 265 920

Задача № 2. Если из трёхзначного числа вычесть число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, разность всегда будет делиться на:

• А 17

• Б 2

• В 5

• Г 9

• Д 13

Решение:

авс – сва = 100а+10в+с – 100с –10в-а = 99а – 99с = 99(а-с)

Решим две интересные задачи из журнала « Квант» №5 за 1997 год.

Задача №1
Какими цифрами следует заменить буквы, чтобы сумма девяти слагаемых стала равной репьюниту?


Решение: 12345679+12345679+12345679+12345679+123456

12345679+12345679+12345679+ +12345679+12345679=111111111 – репьюнит

Ответ: 111111111
Задача №2
Произведением каких двух репьюнитов является число 123455554321?
Решение:
Перемножив два репьюнита, мы получили
11111111 · 11111 = 123455554321.
Ответ: 11111111 · 11111

Заключение
Мир чисел настолько загадочен и увлекателен, что занимаясь данной работой, мы поняли если бы каждый из нас уделял ему больше внимания, то нашел бы для себя много нового и интересного.
Мы познакомись с удивительными натуральными числами: палиндромами.
Защита проекта – учениками составленная презентация

Список использованных источников информации

1. Депман И.Я. За страницами учебника математики //пособие для учащихся 5-6 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1989.

2. Ейтс С. Репьюниты и десятичные периоды // издательство «Мир». – 1992.

3. Кордемский Б.А. Удивительный мир чисел // книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1995.

4. Кордемский Б. А.  На часок к семейке репьюнитов // Квант. -1997. - № 5. - с. 28-29.

5. Перельман Я.И. Занимательная математика // издательство «Тезис». – 1994

6. http://arbuz.uz/t_numbers.html

7. Журнал квант