Интеграл помогает доказать неравенство Коши

С. Берколайко

[Решил добавить к уже выложенным доказательствам неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим ещё одно. Оно не такое потрясное по оригинальности как доказательства Бора и Гурвица, а любопытно, скорее, простотой используемых средств и ловкостью автора. – E.G.A.]

Пусть a₁, a₂, ..., a_n – положительные числа, среди которых есть различные. Тогда выполняется неравенство Коши:

(1)

Обозначим левую часть неравенства Коши через S_n и докажем его в такой форме:

(S_n ) ⁿ > a₁ a₂ ... a_n .

(2)

Очевидно, не ограничивая общности, можно считать, что для некоторого k такого, что 1 ≤ k ≤ n – 1,

a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_k ≤ S_n ≤ a_k+1 ≤ ... ≤ a_n–1 ≤ a_n.

(3)

Основой доказательства неравенства (2) будет неравенство

(4)

где 0 < a < b (см. рисунок). Заметим, что при a = b вместо (4) имеем

Из (3) и (4)

(5)

или

(6)

Опять-таки из (3) и (4)

(7)

или

(8)

Легко проверить, что левая часть неравенства (6) равна правой части неравенства (8). Значит, из (6) и (8)

(9)

Поскольку среди чисел a₁, a₂, ..., a_n есть различные, в цепочке неравенств (3) какие-то неравенства выполняются «строго». Тогда эти «строгие» неравенства перейдут в (5) или (7). Значит, по крайней мере, одно из неравенств (6), (8) тоже будет «строгим». Поэтому вместо (9) мы можем утверждать

или

откуда вытекает (2).

Если же a₁ = a₂ = ... = a_n, то, очевидно,