Интеграл Пуассона

Пусть x , g(x) , xR¹ –суммируемые на -,  , 2- периодические, комплекснозначные функции. Через fg(x) будем обозначать свертку

fg(x) =dt

Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на -, и

c_n ( fg ) = c_n ( f ) c_n ( g ) , n = 0, 1 , 2 , ... ( 1 )

где  c_n ( f ) -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :

c_n = ^{-i n t}dt , n = 0, 

Пусть  L¹ (-) . Рассмотрим при   r  функцию

_r ( x ) = _n ( f ) r^{n } e^{i n x} , x  , ( 2 )

где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r ,  r  . Коэффициенты Фурье функции _r х равны

c_n ( f_r ) = c_n  r^{ n } , n = 0 , , а это согласно (1) значит, что _r  x  можно представить в виде свертки :

_r ( x ) = , ( 3 )

где

, t   ( 4 )

Функция двух переменных Р_r (t) , 0 r , t   , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .

Следовательно,

P_r ( t ) = , 0r   , t  . ( 5 )

Если  L^ ( -  )  действительная функция , то , учитывая , что

c_-n ( f ) = c_n( f ) , n = 0 из соотношения (2) мы получим :

f_r ( x ) =

= , ( 6 )

где

F ( z ) = c₀ ( f ) + 2 ( z = re^ix ) ( 7 )

• аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции  L¹( -,  ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция

u ( z ) = _r (e^ix ) , z = re^ix , 0  r 1 , x  [ -,  ] .

При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой

v (z) = Im F (z) = . ( 8 )

Утверждение1.

Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге  z     функция и  (x) = u (e^ix) , x,   . Тогда

u (z) = ( z = re^ix ,  z    ) ( 10 ).

Так как ядро Пуассона P_r (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

=,  z   +  .

Но тогда

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению поведения функции _r (x) при r , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:

а) ;

б) ;

в) для любого >0

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3)  х  .

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -,  ) , 1  p <  , имеет место равенство

;

если же  (x) непрерывна на [ -,  ] и  (-) =  () , то

.

Доказательство.

В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

( 12 )

Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим

.

Следовательно,

.

Для данного    найдем  =  () такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку

.

Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства

.

Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.

Определение1.

Пусть функция суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 . Максимальной функцией для функции называется функция

где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.

Определение 2.

Оператор называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0

.

Теорема 2 (Фату).

Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда

для п.в. .

Доказательство.

Покажем, что для и

, ( 13 )

где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) ¹. Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку

(К - абсолютная константа).

Пусть - такое число, что

.

Тогда для

.

Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора , найдем такую последовательность функций ,что

,

( 14 )

для п.в. .

Согласно (13) при x (-2)

Учитывая , что по теореме 1 для каждого x [- ] и (14)

Из последней оценки получим

при n.

Теорема 2 доказана.

Замечание.

Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. x [- ] , когда точка re^it стремится к e^ix по некасательному к окружности пути.

^ Мы считаем , что f (x) продолжена с сохранением периодичности на отрезок 22 (т.е.
f (x) = f (y) , если x,y  [-2,2] и x-y=2) и f (x) = 0 , если x   .

1