Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства

Колегаева Елена Михайловна, доцент кафедры математических методов и информационных технологий ДВАГС

I. Преобразование иррациональных выражений.

Иррациональным называется выражение, содержащее корни n-ой степени.

1) Одно из типичных преобразований иррациональных выражений – избавление от иррациональности в знаменателе.

а) Если в знаменателе стоит выражение вида , то необходимо числитель и знаменатель умножить на сопряженное к нему выражение . В этом случае применяется формула .

б) Если в знаменателе стоит выражение (или ), то числитель и знаменатель умножается, соответственно, на (или ). В этом случае применяются формулы

Пример 1. Избавиться от иррациональности в знаменателе:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Решение:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е)

Отметим еще одно свойство:

которое часто применяется в преобразованиях.

Пример 2. Упростить выражение:

а) ; б) ; в) .

Решение:

а) , т.к. .

б) , т.к. .

в)

-1

Выясним, при каких n выражения под знаком модуля меняют знак: n1, n1, n0.

1) Если n<-1, то

2) Если -1n<0, то

3) Если 0

4) Если n1, то

Ответ:

II. Иррациональные уравнения.

Рассмотрим уравнение вида .

Основной метод решения – возведение обеих частей уравнения в степень n. При этом, если n – четное, то могут возникнуть посторонние корни. Поэтому в уравнениях необходимо делать проверку.

Если уравнение содержит два и больше корней, то один из корней «уединяется», то есть уравнение приводится к виду .

Еще один способ решения – введение вспомогательной переменной.

Пример 3. Решить уравнения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Решение:

а)  ;

Проверка.

 х4 – посторонний корень,

– верно  х2 – корень.

Ответ: х2.

б)

Проверка.

– это выражение не существует, т.е.

– посторонний корень,

– верно  – корень.

Ответ: .

в)

Введем вспомогательную переменную  x2=t2–13

t2-13-2t=22; t2-2t-35=0,

t1=7; t25.

Сделаем обратную замену:

 х2+13=49  х2=36  х=6,

– не имеет решений.

Ответ: х=6.

г)

Сделаем замену переменной. Положим . Тогда уравнение примет вид:

 

    .

Проверка показывает, что – корень.

Ответ: .

III. Решение иррациональных неравенств.

При решении этих неравенств следует помнить, что в четную степень можно возводить неравенства с неотрицательными членами.

Поэтому неравенство эквивалентно системам

или

Неравенство равносильно системе

Пример 4. Решить неравенства:

а) б)

в) г)

Решение.

а)  

Решим третье неравенство системы методом интервалов:

x2-5x-14>0

x2-5x-14=0

–

-2

(x-7)(x+2)>0

-18

-2

Найдем пересечение решений трех неравенств:

Ответ: -18x<-2.

б)

если х-10, то неравенство верно, то есть х1;

если x-1>0 и так как x2+1>0, возводим обе части в квадрат. Имеем:

  x>1.

Объединяем два решения, получим х – любое.

Ответ: х – любое.

в)

  

 

Ответ: х1.

г)

или

-3

-5/6

 х3

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения

Уважаемые ребята, ниже приводятся задания для самостоятельного решения, которые следует выполнить, оформить отдельно от заданий по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.

Наш адрес: 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ ( ХКЗФМШ).

М11.9.1. Упростить:

1) 2) 3)