Министерство образования и науки РФ

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Московской области

Международный Университет природы

общества и человека "Дубна"

Филиал "Котельники"

Кафедра естественных и гуманитарных наук.

Курсова робота

"Исследование прочности на разрыв полосок ситца"

по дисциплине:

"Теория вероятностей и математическая статистика"

Выполнила студентка

Второго курса 262 ЭТ группы

Проверила:

___________

2006 г.

Содержание

Введение

Математическая статистика - наука которая занимается разработкой методов отбора, группировки и обработки опытных данных с целью изучения закономерностей массовых случайных явлений.

Математическая статистика опирается на методы и понятия теории вероятностей и, в свою очередь, служит основой для обработки анализа статистических результатов в конкретных областях человеческой деятельности.

Задачи математической статистики:

нахождение функции распределения по опытным данным.

из теоретических соображений функция распределения оказывается в общем виде известна, но неизвестны её параметры. Неизвестные параметры определяются по опытным данным.

Статистическая проверка гипотез:

в общем виде известна функция распределения, определяют её неизвестные параметры и выясняют, как согласуются экспериментальные данные с общим видом функции распределения.

Цель курсовой работы

Целью курсовой работы является закрепление теоретических знаний и приобретения навыков обработки статистической информации.

Постановка задачи

В данной курсовой работе были поставлены следующие задачи для обработки статистических данных:

построение полигона частот и относительных частот

построение гистограммы частот и относительных частот

построение эмпирической функции распределения.

нахождение выборочной средней, выборочной дисперсии и

нахождение среднего выборочного квадратичного отклонения.

5) проверка гипотезы о нормальном распределении изучаемой случайной величины.

Исходные данные

Вариант 14. Прочность на разрыв полосок ситца (в дан):

32313432312932343331313432313532

34333130303232343131353234333231

34323129323433313134323135323433

31303432312932343331303232313632

34333130323331283234333130323330

35323433323031333033323433313032

33303132343331303233303132333331

30323330313233303433313032333031

3233

Распределение случайной величины на основе опытных данных

Для обработки опытных данных воспользуемся составлением статистического ряда. В первой строке записываются номера наблюдений, а во второй строке результаты наблюдений.

Если результаты наблюдений расположить в возрастающем порядке, то получим вариационный ряд.

Результат измерения называется - варианта.

Число появления каждой варианты называется частотой.

Отношение частоты к объему выборки называется относительной частотой.

x_{i -} варианта (значение, полученное в процессе измерения)

n_i - частота (сколько раз появилась каждая варианта)

Р^*_i - отношение частоты объёму выборки

x_i

28

29

30

31

32

33

34

35

36

n_i

1

3

18

29

32

24

18

4

1

ni

Pi^* n

1

130

3

130

18

130

29

130

32

130

24

130

18

130

4

130

1

130

Существует вместо статистического ряда так называемая статистическая совокупность, для этого все наблюдаемые значения признака разбиваются на группы равной длины.

x_i<x≤x_i+1

(27; 29]

(29; 31]

(31; 33]

(33; 35]

(35; 37]

n_i

4

47

56

22

1

P_i^*

4/130

47/130

56/130

22/130

1/130

Размах колебания: х_min=28

х_max=36

R= 36-28=8

Статистическое распределение можно изобразить графически:

Либо в виде полигона частот, полигона относительных частот и в виде гистограммы частот, гистограммы относительных частот.

Полигоном частот называется ломаная линия, соединяющая точки с абcциcсой (О_х) - варианта и ординатой (О_у) - частота.

Cтроим полигон частот.

Полигоном относительных частот называется ломаная линия, соединяющая точки с абсциссой (О_х) - варианта и ординатой (О_у) - относительная частота.

Строим полигон относительных частот.

Полигон относительных частот

Гистограммой частот называется фигура, состоящая из прямоугольников с равными основаниями (длина интервала) и площадью численно равной частоте.

Для построения гистограммы воспользуемся таблицей:

x_ii+1

(27; 29]

(29; 31]

(31; 33]

(33; 35]

(35; 37]

n_i

4

47

56

22

1

h_i = n_i

Δx

4/2

47/2

56/2

22/2

½

Δx=2

hi

56⁄ 2

47⁄ 2

22⁄ 2

4/2

1/2

27

29

31

33

35

37

xi

Гистограммой относительных частот называется фигура, состоящая из прямоугольников с равными основаниями (длина интервала) и площадью численно равной относительной частоте.

Для построения гистограммы воспользуемся таблицей:

x_ii+1

(27; 29]

(29; 31]

(31; 33]

(33; 35]

(35; 37]

Р^*_i

4/130

47/130

56/130

22/130

1/130

h_i = P^*_i

Δx

4/260

47/260

56/260

22/260

1/260

Δx=2

h*i

56∕ 260

47⁄ 260

22⁄ 260

4∕ 260

1 ∕ 260

0

27

29

31

33

35

37

xi

Построение эмпирической функции распределения

Статистическая функция распределения (эмпирическая) - это частота события, состоящего в том, что случайная величина Х в процессе изменения примет значение меньше некоторого фиксированного х

F^*(х) = Р^* = P^* (X<x)

Статистическая функция распределения (эмпирическая) является разрывной функцией, точки разрыва совпадают с наблюдаемыми значениями случайной величины, а скачок в каждой точке разрыва равен частоте появления наблюдаемого значения в данной серии наблюдения. Сумма скачков всегда равна 1.

9

Σ P_i* = 1

i=1

1) ∞ < х ≤ 28

F^* (x) =P^* (X<28) =0

2) 28

F^* (x) =P^* (X<29) =P^* (X=28) =1/130

3) 29

F^* (x) =P^* (X=28) + P^* (X=29) =1/130+3/130=4/130

4) 30

F^* (x) =P^* (X<31) = P^* (X=28) + P^* (X=29) P^* (X=30) +1/130+3/130+18/130=22/130

5) 31

F^* (x) =P^* (X<32) = P^* (X=28) + +P^* (X=29) +P^* (X=30) +P^* (X=31) =1/130+3/130+18/130+29/130=51/130

6) 32

F^* (x) =P^* (X<33) = P^* (X=28) +P^* (X=29) +P^* (X=30) +P^* (X=31)

P^* (X=32) =1/130+3/130+18/130+29/130+32/130=83/130

7) 33

F^* (x) =P^* (X<34) = P^* (X=28) +P^* (X=29) +P^* (X=30) +P^* (X=31) +

+P^* (X=32) +P^* (X=33)

=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130=107/130

8) 34

F^* (x) =P^* (X<35) = P^* (X=28) +P^* (X=29) +P^* (X=30) +P^* (X=31) +

+P^* (X=32) +P^* (X=33) P^* (X=34) =

=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130+18/130=125/130

9) 35

F^* (x) =P^* (X<36) = P^* (X=28) +P^* (X=29) +P^* (X=30) +P^* (X=31) +

+P^* (X=32) +P^* (X=33) P^* (X=34) + P^* (X=35)

=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130+18/130+4/130=129/130

10) x>36

F^* (x) =1

0, -∞<х≤28

1/130, -∞<х≤29

4/130, 29<х≤30

22/130, 30<х≤31

F^*(x) 51/130, 31<х≤32

83/130, 32<х≤33

107/130, 33<х≤34

125/130, 34<х≤35

129/130, 35<х≤36

1, х>36

Статистическая функция распределения является разрывной функцией и её графиком является ступенчатая линия.

Построим систему координат:

на оси Ох=х_i

на оси Оу=F^* (x)

F*

1

129/130

125/130

107/130

83/130

51/130

22/130

4/130

1/130

0

xi

28

29

30

31

32

33

34

35

36

Статистические оценки параметров распределения

Одной из задач статистики является оценка параметров распределения случайной величины Х по данным выборки.

Оценка параметра зависит от наблюдаемых значений и от числа наблюдений. Для того чтобы полученную оценку можно было бы использовать на практике она должна удовлетворять следующим условиям:

1) оценка должна быть не смещённой оценкой параметра, т.е. математическое ожидание должно быть равно оцениваемому параметру. Если это условие не выполняется, то оценку называют смещённой оценкой оцениваемого параметра;

2) оценка должна быть состоятельной оценкой оцениваемого параметра;

3) Оценка должна быть эффективной оценкой оцениваемого параметра;

Из всех различных оценок выбираем ту которая имеет наименьшую дисперсию она и называется эффективной если её дисперсия является минимальной из всех получившихся дисперсий.

Таким образом, чтобы полученная опытным путем оценка оцениваемого параметра была пригодной она должна быть несмещённой состоятельной и эффективной.

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность объема N количественного признака Х.

_ х1+х2+….+хN

хг= =

N

N

=Σ x_i

i=1

N

Генеральной средней совокупностью называют среднее арифметическое наблюдаемых значений.

_ х1×N1+x2×N2+…...xk×Nk

хг= =

N

k

=Σ x_i×N_i

i=1

N

Если же значение признака х₁, х₂,……. х_к имеют соответственно частоты N₁,N₂……. N_k, то средняя генеральная вычисляется по формуле:

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно некоторого количественного признака Х произведена выборка объема n.

х1+х2+….хn

хв= =

n

n

=Σ xi

i=1

n

Выборочной средней называют среднее арифметическое наблюдаемых значений в данной выборке.

_ х1×n1+x2×n2+…+xk×nk

хв=______________________ =

n

^k

=Σ x_i×n_i

i=1

n

Если же значение признака х₁, х₂,…. х_k имеет соответственно частоты n₁,n₂,…. n_k, то выборочная средняя определяется по формуле:

_ _ _

_ (х1-хв)2 + (х2-хв)2 + ….(хn-хв)2

Dв= n =

ⁿ _

=Σ (х_i-x_в )²

i=1

n

x_i

28

29

30

32

32

33

34

35

36

n_i

1

3

18

29

32

24

18

4

1

28×1+29×3+30×18+31×29+32×32+33×24+34×18+35×4+36×1

х_в =

130

= 4158 = 31,98

130

Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочной средней. Вычисляется выборочная дисперсия по формуле:

_ _ _

_ (х1-хв)2× n1 + (х2-хв)2 ×n2+ ….(хk-хв)2×nk =

Dв= n

^k _

=Σ (х_i-x_в )²× n_i

i=1

n

Если же значение признака х₁, х_2…. x _k имеет соответственно частоты n₁,n_2…. n_k, то выборочная дисперсия вычисляется по формуле:

(28-31,98) ²×1+ (29-31,98) ²×3+ (30-31,98) ²×18+ (31-31,98) ²×29+

D_в= + (32-31,98) ²×32+ (33-31,98) ²×24+ (34-31,98) ²×18+ (35-31,98) ²×

×4+ (36-31,98) ²×1 =

130

= 291,972 = 2,24

130

Среднее выборочное квадратичное отклонение - это величина численно равная квадратному корню из выборочной дисперсии.

_ __

σв = D_в

σ_в = D_в

__

σ_в = √ 2,24 = 1,5

Нормальный закон распределения случайной величины

Говорят, что случайная величина распределена по нормальному закону если плотность распределения этой случайной величины выражается формулой:

1 -(x-a)2

F(x) = σ √2¶ × e 2σ²

Проверка гипотезы о нормальном распределении изучаемой величины

Гипотезу Н₀ выдвигаем в качестве основной - пусть наш исследуемый признак х распределён по нормальному закону. Параллельно гипотезе Н₀ выдвигаем альтернативную гипотезу о том, что исследуемый признак распределен не по нормальному закону.

Проверка гипотезы о предполагаемом законе распределения производится с помощью специально подобранной величины называемой критерием согласия.

Для исследования воспользуемся критерием χ² Пирсона.

Вычисляем χ² для наблюдаемых значений. Для вычислений составляем таблицу и воспользуемся следующими формулами:

x_i-x_в

Z_i = _

σ_в

x_i+1-x_в

Z_i+1= _

σ_в

_

х_в =31,98

_

D_в=2,24

_

σ_в=1,5

Таблица отдельный файл

k (ni-ni*)2

χ2 _набл.=Σ

i=1 ni

χ² _набл=13,8725515

Далее находим χ² с помощью таблицы критических точек распределения по заданному уровню значимости £=0,05 и числу степеней свободы.

К=S-3

5-3=2

χ²_крит. =6,0

χ² _набл=13,8725515 > χ²_крит=6,0

Гипотеза не принимается.

Вывод

В данной работе был изучен статистический материал по исследованию прочности на разрыв полосок ситца, статистически были обработаны и получены соответствующие результаты.

Цель курсовой работы реализована через решение поставленных задач.

Наглядно представление о поведении случайной величины показано через полигон частот и полигон относительных частот, гистограммы частот и гистограммы относительных частот.

Была составлена и построена эмпирическая функция распределения и построен график этой функции на основе наблюдаемых значений.

0ценили параметры распределения:

выборочную среднюю

выборочную дисперсию

выборочное среднее квадратичное отклонение.

После обработки имеющихся статистических данных было выдвинуто предположение о нормальном распределении случайной величины. При проверке этой гипотезы оказалось, что случайная величина нераспределена по нормальному закону.

Литература

1.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник. - М.: Наука, 1988.

2.Боровков А.А. Теория вероятностей: Учеб. пособие.; М.: Наука, 1986.

3.Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей: Учеб. пособие. - М.: Изд-во ун-та Дружбы народов, 1994.

4.Бочаров П.П., Печинкин А.В. Математическая статистика: Учеб. пособие. - М.: Изд-во ун-та Дружбы народов, 1994.

5.Б.М. Рудык, В.И. Ермаков, Р.К. Гринцевевичюс, Г.И. Бобрик, В.И. Матвеев, И.М. Гладких, Р.В. Сигитов, В.Г. Шершнев. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. В.И. Ермакова. - М.: ИНФАРМА-М, 2005. - 656с. - (Высшее образование).