XIV муниципальная научно-практическая конференция «Ломоносовские чтения »

Изучение методов

интерполяции и аппроксимации

Выполнила учащаяся группы ФМ3.2

Сарманова Снежана Геннадьевна

Научный руководитель: Бородкин

Дмитрий Константинович,

преподаватель информатики Лицея №2

г.Ангарск, 2009

Содержание

1. Аннотация……………………………...…………………………………………………....3

2. Цель, задачи……………………………………………………………………...……….....3

3. Введение………………………………………………………………………..…….……...4

4. Линейная интерполяция………………………………………………………....……...….5

   • Теория ………………………………………………………………………….........5

   • Блок-схема……………………………………………………………...……………6

   • Текст программы……………………………………………………………..….….7

   • Пример…………………………………………………………………..……….…..7

5. Квадратичная интерполяция………….………………………………………..…………..8

• Теория…………………………………………………………………….……….. 10

• Блок-схема…………………………………………………………….....…………11

• Текст программы…………………………………………………………….……..12

• Пример……………………………………………………………………………...13

6. Инструкция по работе с программами……………............................................................16

7. Заключение…………………………………………………………………………………17

8. Список литературы………………………………………………………………………...18

Аннотация

В данной работе излагаются основные численные методы решения математических задач, возникающих при исследовании физических и технических проблем. Изложенные методы пригодны как для расчетов на ЭВМ, так и для «ручных» расчетов.

Огромное количество численных методов ставит актуальной задачей не столько создание новых, сколько исследование и классификацию старых, выявление лучших.

Данная работа будет полезна студентам, аспирантам, преподавателям университетов и технических институтов, научным работникам и инженерам-исследователям, а так же всем, кто имеет дело с численными расчетами.

Цель работы: разработать программы вычисления значений функции f(x) для значений х, не содержащихся в таблице.

Задачи:

• Изучить и проанализировать научную, справочную литературу

• Подобрать наиболее простые и лучшие методы решения уравнений первой и второй степени

• Составить алгоритм решения уравнений в виде блок-схемы

• Разработать программы в системе программирования Borland Turbo Pascal 7.0

Гипотеза: создание программ для нахождения неизвестных значений функции в системе программирования позволит значительно сократить затраты времени по сравнению с ручными расчетами.

Введение

Если задана функция y (x), то это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоемко. Например, у(х) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра, или у(х) измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно.

Функция у(х) может участвовать в каких-либо физико-технических или чисто математических расчетах, где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у(х) приближенной формулой, т. е. подобрать некоторую функцию φ (х), которая близка в некотором смысле к у(х) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у(х) φ(х). Близость получают введением в аппроксимирующую функцию свободных параметров а={а₁, а₂, …, а_n} и соответствующим их выбором. В этом случае используются такие понятия как, аппроксимация и интерполяция.

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ (от лат. interpolatio — изменение, переделка) - отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям. Например, отыскание значений функции f( x) в точках x, лежащих между точками x₀ по известным значениям y_i = f( x_i) (где i = 0,1,..., n). Если x лежит вне интервала ( x₀, x_n), аналогичная процедура называется экстраполяцией.

Основная цель интерполяции – получить быстрый (экономичный) алгоритм вычисления значений f(x) для значений х, не содержащихся в таблице.

АППРОКСИМАЦИЯ (от лат. approximo — приближаюсь) - замена одних математических объектов (например, чисел или функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими к исходным (например, кривых линий близкими к ним ломаными).

Огромное количество численных методов ставит актуальной задачей не столько создание новых, сколько исследование и классификацию старых, выявление лучших. Именно поэтому в данной работе будут рассмотрены два вида интерполяции – линейная и квадратичная.

Линейная интерполяция

Простейшим и часто используемым видом локальной интерполяции является линейная ( или кусочно-линейная) интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки ( х_i, у_i) ( i=0, 1, …, n) соединяются прямолинейными отрезками, и функция f(х) приближается ломаной с вершинами в данных точках.

Рис. пример интерполяции

Уравнения каждого отрезка ломаной в каждом случае разные. Поскольку имеется n интервалов ( х_i-1 , х_i), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение прямой, проходящей через две точки. В частности, для i-го интервала можно написать уравнение, проходящей через точки ( х_i-1 , у_i-1 ) и (х_i , y_i), в виде

=

Отсюда

y= a_ix + b_i ; x_i-1 ≤ x ≤ x_i , (1)

, b_i= y_i-1 – a_ix_i-1 .

Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента х, а затем подставить его в формулу (1) и найти приближенное значение функции в этой точке.

Данный алгоритм представлен на рисунке

Начало

i=1 to N

Ввод x[i] ,

y[i]

Ввод x_р

(x_р< x[1]) and

(x_р>x[N])

Нет

Да

i=2 to N

(x[i-1] <=x_р) and (x_р<=x[N])

Экстраполяция

a= (y[i] – y[i-1]) /

(x[i] – x[i-1])

Нет

b= y [i-1] – a*x[i-1]

y= a*x_р + b

Вывод y_р

Конец

Текст программы:

Program interpol;

Const N=3;

Var x: array [1..N] of real;

y: array [1..N] of real;

a, b, xр, yр : real;

i: integer;

begin

for i:=1 to N do

begin {ввод данных через массивы}

writeln (‘x[‘,i,’]=’);

readln (x[i]);

writeln (‘y[‘,i,’]=’);

readln (y[i]);

end;

write (‘vvedite x=’); {ввод промежуточного значения}

readln (xр);

for i:=2 to N do

if (x[i-1]<=xp) and (xp<=x[i-1]) then

begin

a:= (y[i] – y[i-1]) / (x[i] – x[i-1]);

b:= y [i-1] – a*x[i-1];

yр:= a*xр + b

else writeln (‘ekstrepolyazia’);

readln;

end;

writeln (‘y=’, yр); {вывод искомого значения}

readln;

end.

Пример. Найти значение функции y=f(x), изображенной на рисунке, при х=1

Воспользуемся формулой линейной интерполяции(1). Значение х=1 находится между точками х_i =2 и х_i-1 = 0. Отсюда имеем

=

b_i= y_i-1 – a_i ٠x_i-1 = 4 – 0.5٠0=4

у= а٠х_р +b = -0.5 ٠1 + 4 = 3.5

Результаты выполнения программы

На рисунке 1 показан вид окна программы при вводе исходных данных

Рис.1

На рисунке 2 представлен вид окна программы после вывода результатов

Рис.2

Исполнимый модуль программы находится в файле с именем interpol1.exe

Пример 2.

Если в два часа ночи температура воздуха была +10, а в шесть утра - +25,
то используя линейную интерполяцию можно предположить
что в три часа ночи температура воздуха была равна
(25 - 10) / (6 - 2) * (3 - 2) + 10 = 13.75

Квадратичная интерполяция

В качестве интерполяционной функции на отрезке [х_i-1, x_i+1] принимается квадратный трехчлен. Такую интерполяцию называют также параболической.

Уравнение квадратного трехчлена

y = a_ix² + b_ix + c_i , x_i-1 x_i x_i+1 (2)

содержит три неизвестных коэффициента a_i , b_i , c_i , для определения которых необходимы три уравнения. Ими служат условия прохождения параболы (2) через три точки ( x_i-1, y_i-1),

(x_i, y_i), (x_i+1, y_i+1). Эти условия можно записать в виде

y_i-1 = a_ix²_i-1 + b_ix_i-1 + c_i

y_i = a_ix²_i + b_ix_i + c_i (3)

y_i+1 = a_ix²_i+1 + b_ix_i+1 + c_i

Данная система уравнений решается методом Крамера.

Определители:

Решение:

Алгоритм нахождения приближенного значения функции с помощью квадратичной интерполяции можно записать в виде структурограммы, как и для случая линейной интерполяции. Вместо формулы (1) нужно использовать (2) с учетом решения системы линейных уравнений (3). Интерполяция для любой точки x є [x_o, x_n] приводится по трем ближайшим к ней узлам.

Данный алгоритм представлен на рисунке

Начало

I=1 to N

Ввод x[i] ,

y[i]

(x_p< x[1]) and

(x_p>x[i])

i=2 to N

Да

(x[i-1] <=x_р) and (x_р<=x[N])

delta= x[i-1]*x[i-1]*x[i] – x[i-1]*x[i-1]*x[i+1]+ x[i-1]*x[i+1]*x[i+1] – x[i-1]*x[i]*x[i] – x[i+1]*x[i+1]*x[i]+ x[i+1]*x[i]*x[i]

deltaA= x[i+1]*y[i]– x[i-1]*y[i] +y[i-1]*x[i]-x[i+1]*y[i-1] – y[i+1]*x[i]+x[i-1]*y[i+1]

deltaB=x[i-1]*x[i-1]*y[i]–x[i+1] *x[i+1]*y[i]-y[i-1]*x[i]*x[i]+ y[i+1]*x[i]*x[i] – x[i-1]*x[i-1]*y[i+1] + x[i+1]*x[i+1]*y[i-1]

deltaC= y[i+1]*x[i-1]*x[i-1]*x[i] – y[i]*x[i-1]*x[i-1]*x[i+1] + y[i]*x[i-1]*x[i+1]*x[i+1]- y[i+1]*x[i-1]*x[i]*x[i] –y[i-1]*x[i+1]*x[i+1]*x[i] + y[i-1]*x[i+1]*x[i]*x[i]

a=delta/deltaA

b=delta/deltaB

c=delta/deltac

Y_р:= a*x_р*x_р + b*x_р +c

Вывод y_р

Конец

Program interpol2;

Const N=3;

Var x: array [1..N] of real;

y: array [1..N] of real;

a, b, c, xр, yр, deltaA, deltaB, deltaC, delta : real;

i: integer;

begin

for i:=1 to N do

begin {ввод данных через массивы}

writeln (‘x[‘,I,’]=’);

readln (x[i]);

writeln (‘y[‘,I,’]=’);

readln (y[i]);

end;

write (‘vvedite x’); {ввод промежуточного значения}

readln (xр);

for i:=2 to N do

if (x[i-1]<=xр) and (xр<=x[i-1]) then

begin {вычисления}

delta:= x[i-1]*x[i-1]*x[i] – x[i-1]*x[i-1]*x[i+1]+ x[i-1]*x[i+1]*x[i+1] – x[i-1]*x[i]*x[i] – x[i+1]*x[i+1]*x[i]+ x[i+1]*x[i]*x[i];

deltaA:= x[i+1]*y[i]– x[i-1]*y[i] +y[i-1]*x[i]-x[i+1]*y[i-1] – y[i+1]*x[i]+x[i-1]*y[i+1];

deltaB:=x[i-1]*x[i-1]*y[i] – x[i+1]*x[i+1]*y[i]-

y[i-1]*x[i]*x[i] + y[i+1]*x[i]*x[i] – x[i-1]*x[i-1]*y[i+1] + x[i+1]*x[i+1]*y[i-1];

deltaC:= y[i+1]*x[i-1]*x[i-1]*x[i] – y[i]*x[i-1]*x[i-1]*x[i+1] + y[i]*x[i-1]*x[i+1]*x[i+1]- y[i+1]*x[i-1]*x[i]*x[i] –y[i-1]*x[i+1]*x[i+1]*x[i] + y[i-1]*x[i+1]*x[i]*x[i];

a:= delta/deltaA;

b:=delta/deltaB;

c:= delta/ deltaC;

yр:= a*xр*xр + b*xр +c;

end;

writeln (‘y=’, yр); {вывод искомого значения}

readln;

end.

Пример. Найти приближенное значение функции y = f (x) при x = 2.5, если известна следующая таблица её значений:

x

2

3

4

y

2

4

7

Найдем приближенное значение функции с помощью формулы квадратичной интерполяции (2) . Составим систему уравнений (3). С учетом ближайших к точке x = 2.5 узлов x_i-1 = 2 , x_i = 3, x_i+1 = 4. Соответственно y_i-1 = 2 , y_i = 4 y_i+1 = 7. Система (3) запишется в виде

2²a_i + 2b_i + c_i = 2;

3²a_i + 3b_i + c_i = 4

4²a_i + 4b_i + c_i = 7.

4 2 1

9 3 1 = 4٠3-4٠4 +2٠16 -2٠ 9 – 16٠3+ 4٠9= -2

16 4 1

2 2 1

4 3 1 = 2٠3 -2٠4 +2٠3 – 4٠2 - 7٠3 +2٠7 = -1

7 4 1

4 2 1

9 4 1 = 4٠4- 16٠4 -2٠9 + 7٠9 - 4٠7+16٠2= 1

16 7 1

4 2 2

9 3 4 =7٠4٠3 – 4٠4٠4 + 4٠2٠16 – 7٠2٠9 – 2٠16٠3 + 2٠4٠9= -2

16 4 7

;

Решая эту систему, находим a_i =0.5 , b_i = -0.5, c_i = 1. Искомое значение функции

y(2.5)²٠0.5 + 2.5٠(-0.5) + 12.875.

На рисунке 1 показан вид окна программы при вводе исходных данных

Рис.1

На рисунке 2 представлен вид окна программы после вывода результатов

Рис.2

Исполнимый модуль программы находится в файле с именем interpol2.exe

Инструкция по работе с программами

Исполнимые модули программ находятся в файле с именами interpol.exe и interpol2.exe, запускаются на выполнение в операционной системе ее средствами.

После запуска программы пользователь должен ввести исходные данные, как это показано на рисунке 1 (см. стр.8, 14) После ввода исходных данных программа производит вычисления и выводит результат на экран в том же окне, что и исходные данные, как это показано на рисунке 2(см. стр.9,15). Чтобы завершить работу программы, пользователь должен нажать любую клавишу.

Составленные программы решают задачу интерполирования таблично заданной функции с произвольным расположением узлов. Как показывает анализ результатов, вычисления, производимые программами, верны.

Заключение

В данной работе была изучена и проанализирована справочная литература, вследствие чего были выявлены два наиболее простых и удобных вида интерполяции – линейная и квадратичная; созданы программы в системе программирования Borland Turbo Pascal 7.0 для вычисления значений функции f(x) и разработан быстрый (экономичный) алгоритм решения этой функции, предоставленный в виде блок-схем.

Список использованных источников

1. Калиткин Н.Н.. Численные методы. – М.: Наука, 1982.

2. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики – М.: Наука, 1977.

3. Носач В.В. Решение задач аппроксимации с помощью персональных компьютеров.. М.: Бином, 1994

4. Самарский А.А. Численные методы. – М.: Наука, 1989.