Модули. ЕГЭ.

Автор – Прокофьева Тамара Александровна,

учитель МБОУ СОШ №12 г. Дзержинска Нижегородской обл.

Тема «Абсолютная величина» включена в список тем, проверяемых на ЕГЭ 2013.

Тему «Модули» можно углубленно изучать в средней школе:

• во время предпрофильной подготовки в 8-9 классах в рамках элективного курса «Модуль» - 8 часов, автор Студенецкая В.Н.;

• во время изучения элективного курса «Алгебра +», автор Земляков А.Н. учащиеся работают с темами «Уравнения с модулями. Раскрытие модулей - стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей. Неравенства с модулями. Схемы освобождения от модулей в неравенствах. Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах ("правило знаков"). Задачи с модулями и параметром»;

• во время непрерывного повторения;

• на уроках итогового повторения и обобщения.

Правила решений.

Уравнения:

1) , где

2)

1 способ. По определению модуля данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

1) 2) «раскрытие модуля изнутри»;

2 способ. По свойству модуля данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

1) 2) «раскрытие модуля снаружи»;

3)

4) .

Неравенства:

1) , если , то .

2) , где .

3) .

1 способ. По определению модуля данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств: а) б) Это «раскрытие модуля изнутри».

2 способ. По свойству модуля от неравенства переходим к системе неравенств

3 способ. «Раскрытие модуля снаружи».

.

4)

5) .

6) .

Особые свойства модуля:

1) тогда и только тогда, когда ,

2) тогда и только тогда, когда и ,

3) тогда и только тогда, когда .

Выражения, содержащие модули.

1) Найти целое число, равное разности .

Решение.

Сравним числа и . Возведем их в квадрат , , тогда

и , .

= , .

1 способ.

Преобразуем подкоренные выражения:

,

.

.

2 способ.

Возведем равенство в квадрат:

,

,

,

, т. к. , то .

Ответ. -10

2) Упростить выражение при .

Решение.

=.

, тогда , ,

, .

.

Ответ.10

3) Упростить выражение при всех допустимых значениях переменной.

Решение.

Пусть =, тогда

.

Найдем нули подмодульных выражений:

Найденные значения разбивают числовую ось на три числовых промежутка.

Определим знаки подмодульных выражений на этих числовых промежутках:

-

-

+

-

+

+

а) если , то ,

б) если , то ,

в) если , то .

Ответ. , если ; , если ; , если .

Уравнения с модулями.

1) Решите уравнение . В ответе укажите наименьший положительный корень (в градусах).

Решение.

Модуль, равный 3 имеют два числа, поэтому рассмотрим два случая:

а) , б) ,

, ,

корней нет; - наименьший положит. корень.

Ответ. 270

2) Решите уравнение . (Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите сумму всех его корней.)

Решение.

Рассмотрим способ «раскрытия модуля снаружи». Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

а) б)

, ,

, ,

, ,

корней нет при ; удовлетворяет условиям системы.

Ответ. 0

3) Решите уравнение . В ответе укажите наименьший положительный корень (в градусах).

Решение.

Раскроем модуль по определению. Этот способ называется «раскрытие модуля изнутри».

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

а) б)

, ,

, ,

корней нет при ; ,

;

.

- наибольший отрицательный корень.

Ответ. -90

4) Укажите наибольшее решение уравнения .

Решение.

Область определения уравнения .

Перепишем уравнение в другом виде: .

По определению модуля: при ,

тогда данное уравнение равносильно условию:

;

- наибольшее решение уравнения.

Ответ. 25

5) Решите уравнение . (Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите произведение всех его корней.)

Решение.

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

а) , б) ,

, ,

корней нет; , .

Ответ. 2

6) Решите уравнение .

Решение.

Область определения уравнения: .

Рассмотрим решение уравнения методом интервалов.

Найдем нули подмодульных выражений:

, ,

, ,

, .

Полученные значения разбивают область определения уравнения на три числовых промежутка. Определим знаки подмодульных выражений на полученных промежутках:

-

+

+

-

-

+

1) ;

2) решений нет;

3) .

Ответ находим как объединение полученных значений и .

Ответ. , .

7) Решите уравнение .

Решение.

Область определения определяется условием , при .

Запишем уравнение с учетом формулы сокращенного умножения в виде:

, .

Нули выражений, стоящих под знаками модулей:

, ,

; .

Числовая ось разбивается полученными значениями на три числовых промежутка, на которых подмодульные выражения сохраняют знак.

-

+

+

-

-

+

Раскроем в уравнении знаки модулей на полученных промежутках по определению:

1) решений нет;

2) решений нет;

3) решений нет.

Ответ. Корней нет.

8) Решите уравнение .

Решение.

Это задание относится к типу «модуль под модулем», или уравнение с «вложенными модулями», которые нужно последовательно раскрыть.

В данной задаче посмотрим способ раскрытия внешнего модуля.

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

а) , б) ,

, ,

корней нет, т. к. при ; ,

, .

Ответ. , .

9) Решите уравнение

Решение.

Область определения уравнения находится из условия , ,

получаем и .

По свойству модулей

Данное уравнение равносильно системе:

,

, с учетом возрастания логарифмической функции с основанием 3 на всей области определения, получаем , , т. е.

и .

.

Ответ. .

Неравенства с модулями.

1) Решите неравенство .

Решение.

С учетом формулы квадрата суммы, получаем равносильное неравенство

или .

Решим полученное неравенство с модулями методом интервалов:

, , ,

; ; .

Полученные значения разбивают числовую ось на четыре числовых промежутка. Определим знаки подмодульных выражений на этих промежутках знакопостоянства:

-

-

-

+

-

-

+

+

-

+

+

+

Раскроем знаки модулей на полученных числовых промежутках по определению модуля:

1) решений нет;

2) решений нет;

3) решений нет;

4) .

Ответ. .

2) Укажите наибольшее целое число, которое не входит в область определения функции .

Решение.

В область определения данной функции входит множество положительных чисел, следовательно, любое отрицательное число и ноль не входят в область определения этой функции. Составим неравенство или . Полученное неравенство равносильно двойному неравенству ,

, . Наибольшее целое решение неравенства – число 13.

Ответ. 13

3) Найти наименьшее и наибольшее целые числа, являющиеся решениями неравенства .

Решение.

Раскроем внешний модуль. Данное неравенство равносильно двойному неравенству или системе неравенств:

решим отдельно каждое неравенство системы:

а) , используем правило «раскрытия модуля снаружи», получаем равносильное неравенство или

;

б) , используем правило «раскрытия модуля снаружи», получаем равносильную совокупность неравенств:

;

найдем решения полученной системы: .

Наименьшее и наибольшее целые числа, являющиеся решениями неравенства: и .

Ответ.; .

4) Решить неравенство .

Решение.

Область определения неравенства: .

Данное неравенство равносильно неравенству .

,

,

,

.

1) не является решением неравенства;

2) при : а)

, , , , , тогда

при и, следовательно,

- решения неравенства;

б)

, , , ,

, тогда ,

при и, следовательно,

- решения неравенства;

получаем, что - решения неравенства;

3) функция является четной, т. к. , тогда

являются решениями неравенства.

Ответ. , .

5) Решить неравенство .

Решение.

Неравенство вида можно решить по алгоритму:

1. если то все из области определения системы – решения неравенства;

2. если то .

Область определения неравенства определяется условием , т. е. .

1) если ,

,

если , то нет решений полученного неравенства,

если , то обе части неравенства положительные и можно возвести в квадрат, получаем , ,

и , т. к. , то

- решения неравенства;

2) если , т. е. , то обе части исходного неравенства можно возвести в квадрат, получаем:

,

,

, тогда , ;

.

Объединяя условия и получаем решения исх. нерав. .

Ответ. .

Задания с параметрами.

1) При каких значениях уравнение а) не имеет корней;

б) корни принадлежат отрезку .

Решение.

Пусть . Найдем нуль подмодульного выражения

, .

если , то , , угловой коэффициент полученной прямой отрицательный, тогда функция убывает до ;

если , то,, угловой коэффициент полученной прямой положительный, тогда функция возрастает от .

а) чтобы данное уравнение не имело корней, необходимо и достаточно, чтобы наименьшее значение функции было положительным, т. е. .

, это условие выполняется при и .

б) чтобы существовали корни, достаточно требовать , и.

.

Ответ. а) , ; б) .

2) Найти все значения , при каждом из которых неравенство выполняется для любого .

Решение.

Рассмотрим функцию , нужно найти все значения , при которых .

Найдем нули подмодуульных выражений:

1) Если и , то функция ,

убывает и принимает наименьшее значение при или ;

2) если находится на отрезке с концами и , то функция монотонно возрастает;

3) если и , то функция , возрастает и принимает наименьшее значение при или .

Тогда функция принимает наименьшее значение при или .

Чтобы выполнялось при всех условие , нужно, чтобы наименьшее значение этой функции было положительным, т. е. .

Ответ. 3) Найти все значения , при каждом из которых функция имеет ровно три нуля функции.

Решение.

Составим уравнение , запишем его в виде и решим графическим способом.

Пусть и . Необходимо найти условие пересечения графиков в трех точках. Тогда у уравнения будет три корня и у функции ровно три нуля.

При уравнение имеет единственный корень.

Из семейства параллельных прямых нас интересуют только те, которые пересекают построенный график в трех точках. Очевидно, что таких прямых только две. Они и построены на рисунке.

Для прямой I имеем , тогда .

Для прямой II имеем , тогда

Ответ. , .

Литература.

1. Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ. 10 класс. Учебник для углубленного изучения математики в общеобр. учрежд. – М.: Мнемозина, 2005 – 335 с.

2. Глазков Ю. А. Математика. ЕГЭ: сборник заданий и методических рекомендаций.- М.: Экзамен, 2010.-333 с.

3. Горнштейн П.И. и др. Задачи с параметрами. М.: Илекса, 1999.- 336 с.

4. Григорьева Т. П. и др. Пособие по элементарной математике: методы решения задач. Часть 2. – Н. Новгород: НГПУ, 2001.- 101 с.

5. Жафяров А. Ж. Математика. ЕГЭ. Решение задач уровня С1. Учебное пособие.- Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2009.-181 с.

6. Жафяров А.Ж. Математика. ЕГЭ 2010. Экспресс-консультация.-Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2010.-218 с.

7. Кочагин В. В. ЕГЭ 2010. Математика: Сборник заданий. – М.: Эксмо, 2009. – 208 с.

8. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра. 9 кл.: Учебник для школ и классов с углубленным изучением математики.- М.: Мнемозина, 2004. – 439 с.

9. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра: Дополнительные главы к школьному учебнику 9 кл. – М.: Просвещение, 2000. – 224 с.

10. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. Вып.1/ авт.-сост.В. Н. Студенецкая, Л. С. Сагателова.- Волгоград: Учитель, 2007.-205 с.

11. Мерзляк А. Г. и др. Алгебраический тренажер: Пособие для школьников и абитуриентов. М.: Илекса, 2005. – 320 с.

12. Олехник С. Н. и др. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10-11 классы: Учебно-метод пособие.- М.: Дрофа, 2001. – 192 с.

13. Олехник С. Н. и др. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10-11 классы: Учебно- метод. пособие. М.: Дрофа, 2001.- 192 с.

14. Садовничий Ю. В. Алгебра. Конкурсные задачи с решениями: учебное пособие. – М.: Экзамен, 2007. – 445 с.

15. Черкасов О. Ю., Якушев А. Г. Математика: Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы. М.: АСТ-ПРЕСС ШКОЛА, 2004.- 640с.

11