Тема урока «Тригонометрические уравнения» (2 часа)

Тригонометрия по традиции занимает большое место в материалах конкурсных экзаменов в вузы; чтобы научиться уверенно решать экзаменационные задачи по тригонометрии, нужна тренировка. В школьном курсе подробно изучаются три основных метода решения тригонометрических уравнений – метод введения нового неизвестного, что позволяет свести уравнение к квадратному; разложение на множители; метод введения вспомогательного аргумента.

В своем уроке я рассмотрела решение тригонометрических уравнений, опираясь на методы их решения в наиболее доступной последовательности изложения материала.

Предварительная подготовка к уроку. Учащиеся должны знать следующие темы: «Основные тригонометрические тождества», «Формулы сложения и их свойства», «Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов», «Простейшие тригонометрические уравнения».

Цели урока. Образовательная: формирование умений применять полученные раннее знания; сопоставлять, анализировать, делать выводы; отработка умения решать уравнения.

Воспитательная: формирование интереса к познавательному процессу.

Развивающая: развитие наблюдательности, памяти, логического мышления.

Оборудование: Таблицы «Формулы корней простейших тригонометрических уравнений», «Основные формулы тригонометрии»

Тип урока: урок совершенствования знаний. Объяснение нового материала построено на решении конкретных примеров.

Ход урока.

1. Организационный момент. Сообщение темы урока; постановка цели урока; сообщение этапов урока.

2. Изучение нового материала.

Вы уже знакомы с формулами корней простейших тригонометрических уравнений

К этим уравнениям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.

1. Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Задача 1. Решить уравнение

Заменим на получим

это уравнение является квадратным относительно .

Обозначим получим

Отсюда

Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению простейших

уравнений

Уравнение

имеет корни N.

Ответ: N.

2. Однородные уравнения.

Задача 2. Решить уравнение

Заменим

Поделив уравнение на получим

Ответ:

Напомним, что при делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни уравнения корнями данного уравнения.

Задача 3. Решить уравнение

Заменим

Ответ:

3. Вынесение общего множителя за скобки.

Задача 4. Решить уравнение

Ответ:

4. Преобразование суммы в произведение.

Используем формулы

.

Задача 5. Решить уравнение

Заменим разность синусов, на произведение, получим уравнение

Ответ:

5. Преобразование произведения в сумму.

Используем формулы

Задача 6. Решить уравнение

,

Умножим обе части уравнения на 2 и учитывая, что получим

Заменим разность косинусов произведением.

Отсюда или

Так как первая серия решений включает в себя вторую серию решений при , то в

ответе записываем только (Для наглядности рассмотреть решение

на единичной окружности)

Ответ:

6. Введение вспомогательного угла.

Используем формулы

Рассмотрим уравнение

Разделим обе части уравнения (*) на

.

Обозначим .

Так как то можно подобрать такой угол α, что

Тогда исходное уравнение примет вид

Если подобрать такой угол , что a =

в виде

Задача 7. Решить уравнение

Разделим правую и левую часть на .

Так как ,

Ответ:

Замечание: Вспомогательный угол вводится, если слагаемое есть

7. Решение уравнений с помощью формул приведения.

Задача 8. Решить уравнение

Заменим получим уравнение

Замечание: Из равенства синусов не следует равенство аргументов.

Разность синусов заменим произведением.

отсюда

Это простейшие тригонометрические уравнения, которые имеют решения

Ответ:

8. Понижение степени.

Используем формулы ;

.

Задача 9. Решить уравнение

=1, умножим уравнение на 2

заменим сумму произведением и получим

Ответ:

9. Введение новой переменной.

Задача 10. Решить уравнение

Пусть , возведем правую левую часть равенства в квадрат,

тогда

Получим уравнение

.

Умножим уравнение на , введем вспомогательный угол

Ответ:

10. Универсальная подстановка.

Используем формулы

, , .

Замечание: При использовании универсальной подстановки может быть потеряна серия ответов

Задача 11. Решить уравнение

пусть тогда

отсюда y = 5.

Проведем обратную замену

Проверка, если , то

корнем данного уравнения.

Ответ:

Итог урока: С какими способами решения уравнений сегодня познакомились?

Домашнее задание: Внимательно разобрать материал лекции.

Решить уравнение:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10.