1.01. В группе из 25 человек 10 учится на «отлично», 8 на «хорошо» и 7 на «удовлетворительно». Найти вероятность того, что из взятых наугад 8 человек 3 человека учатся на «отлично».

Решение. В данном случае испытание состоит в том, что из 25 человек наугад берутся 8 человек. При этом число всех равновозможных, несовместных и единственно возможных исходов равно

.

Здесь мы используем сочетания, т.к. подмножества из 8 элементов неупорядочены.

Количество способов, которыми из 10 отличников можно взять 3, есть

Остальных человек (не отличников) в группе из 8 человек у нас будет 8-3=5. Их мы выбираем из оставшихся 25-8=17 человек следующим числом способов:

Далее, вероятность того, что в группе из 8 человек будут 3 отличника, вычисляем по классической формуле

2.01. Программа экзамена состоит из 30 вопросов. Из 20 студентов группы 8 человек выучили все вопросы, 6 человек по 25 вопросов, 5 человек по 20 вопросов, а один человек 10 вопросов. Определить вероятность того, что случайно вызванный студент ответит на два вопроса билета.

Решение. Число способов составления билетов по два вопроса из 30 есть

Для каждого из 8 человек, знающих все вопросы, число билетов будет тем же самым, т.е., вероятность найти билет с известными вопросами есть 1 или 100%. Доля таких студентов в группе есть .

Для следующих 6 человек возможное число билетов с известными вопросами есть . Вероятность для них найти билет с известными вопросами есть . Доля таких студентов в группе есть .

Аналогично, для следующих 5 человек , , их доля есть .

Для того, кто знает только 10 вопросов, число выигрышных билетов есть , , его доля есть .

Теперь воспользуемся формулой полной вероятности

=70,9%

3.01. Всхожесть семян некоторого растения составляет 80%. Найти вероятность того, что из 6 посеянных семян взойдёт: три, не менее трёх, не более четырёх.

Решение. Так как возможность одновременного всхода и гибели семени нереальна, это несовместные события, то вероятность гибели семени есть q=1-p=0,2.

Вероятность появления ровно 3 раза в серии из 6 событий находим по формуле Бернулли, так как число испытаний n = 6 невелико (n  10):

Не менее трёх ― это означает либо 3, либо 4, либо 5, либо 6. Вычислим вероятность проращивания всех 6 семян: Р₆(6)=0,8⁶=0,262.

Соответственно,

Следовательно, вероятность того, что взойдёт не менее 3 семян, есть

Р_n≥3(6)= P₃(6)+P₄(6)+P₅(6)+P₆(6)=0,082+0,262+0,246+0,393=0,983

Не более четырёх ― это значит, любое число, кроме 5 и 6, т.е., вероятность такого события есть

Р_n≤4(6)=1-(P₆(6)+P₅(6))=1-0,393-0,262=0,345

Ответ: , Р_n≥3(6)=0,983, Р_n≤4(6)=0,345.

4.01. Вероятность производства бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что из взятых на проверку 1000 деталей будет 10 бракованных.

Решение. В этой задаче число испытаний N = 1000 достаточно велико (N  10), поэтому используем приближенные формулы Лапласа.

Число бракованных деталей равно 10, то есть . Соответствующую вероятность находим по локальной формуле Лапласа.

, где

.

Результат вычислений для x₀ округляем с точностью до 0,01, так как значения функции φ(х₀) табулируются в с такой точностью. По специальной таблице, находим: φ(0,71)=0,3101.

Следовательно,

5.01. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично», наугад извлекаются 3 работы. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х ― числа работ, оцененных на отлично. Найти числовые характеристики случайной величины Х. Построить функцию распределения.

Решение. Имеем случайную величину Х ― число отличных работ. Её возможные значения .

Пусть у нас не попалось ни одной из отличных работ, т.е., вытянули все 3 не отличные. Вероятность этого есть

Пусть теперь есть только одна отличная работа. Она может быть вытащена в первый, во второй или только в третий раз. Вероятность такого события есть

. Здесь 20 и 5 ― соответственно число не отличных и отличных работ в исходном массиве, 25, 24 и 23 ― число работ, последовательно уменьшающихся по мере того как мы выбираем их по одной.

Далее, пусть есть 2 отличных работы и соответственно 1 не отличная. Эта одна не отличная работа может попасться в первый, второй или третий раз:

И наконец, единственный исход со всеми отличными работами:

Полученные значения заносим в таблицу, которая и будет представлять закон распределения данной случайной величины:

x_i

0

1

2

3

p_i

0,4956

0,4130

0,0870

0,0043

Сумма всех вероятностей

Для нахождения интегральной функции распределения воспользуемся её определением применительно к каждому промежутку изменения случайной величины

x≤0

F(x)=P(x<0)=0

0≤x≤1

F(x)=P(x<1)=p₀=0,4956

1≤x≤2

F(x)=P(x<2)=p₀+p₁=0,4956+0,4130=0,9086

2≤x≤3

F(x)=P(x<3)=p₀+p₁+p₂=0,9956

3≤x≤∞

F(x)=1

Итак, искомая функция распределения выглядит следующим образом:

Чертим график

Найдём числовые характеристики случайной величины:

Мода М₀=1

Математическое ожидание

Дисперсия

Среднеквадратичное отклонение

6.01. Случайная величина Х задана плотностью вероятностей

Определить параметр А, функцию распределения F(x), моду, математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение, вероятность того, что в четырёх независимых испытаниях случайная величина Х попадёт 3 раза в интервал (0, 2). Построить графики функций f(x), F(x).

Решение. Так как ненулевая наша функция распределения только на интервале от 1 до ∞, то воспользуемся свойством нормировки плотности вероятности:

, откуда А=4

Таким образом,

Чертим график такой функции

Найдём моду такой функции. Мо=1, так как наибольшее значение плотность вероятности принимает именно при x=1

Найдём медиану:

. Отсюда

Найдём математическое ожидание

Дисперсия

Среднеквадратичное отклонение

Найдём интегральную функцию распределения:

При x≤1, F(x)=0

При x>1

Таким образом,

Вычерчиваем такой график

Вероятность того, что случайная величина попадает в интервал (0, 2) или фактически в интервал (1, 2), т.к. невозможны значения меньше 1, вычислим, проинтегрировав плотность вероятности в соответствующих пределах:

, так как на промежутке от 0 до 1 вероятность выпадения величины равна нулю.

Вероятность того, что только три из четырёх попаданий будет в этот интервал, вычислим по формуле Бернулли

7.01. Срок службы прибора представляет собой случайную величину, подчинённую закону нормального распределения со средним сроком службы в 10 лет и среднеквадратичным отклонением 1,5 года. Определить вероятность того, что прибор прослужит до 15 лет, от 8 до 18 лет, свыше 16 лет.

Решение. Вероятность того, что величина Х попадает в некоторый интервал (α, β) есть , где Ф ― функция Лапласа, m ― математическое ожидание распределения, σ ― среднеквадратичное отклонение.

В первом случае имеется от 0 до 15 лет, т.е., α=0, β=15

Следовательно, . Аргумент соответствующей функции Лапласа округляем до сотых. Обращаясь к таблице, выписываем: Ф(3,33)=0,4996 и Ф(6,67)=0,5000

Следовательно, вероятность того, что прибор прослужит до 15 лет есть Р₁=0,4996+0,5=0,996

Соответственно, вероятность того, что он прослужит от 8 до 18 лет есть

. Обращаясь к таблице, выписываем: Ф(1,33)=0,4082 и Ф(5,33)=0,5000. Следовательно, вероятность того, что он прослужит от 8 до 18 лет есть Р₂=0,5+0,4082=0,9082

Свыше 16 лет ― это означает от 16 до бесконечности. . Обращаясь к таблице, выписываем: Ф(∞)=0,5 и Ф(4)=0,499968. Следовательно, такая вероятность Р₃=0,5-0,499968=3,2·10⁵.

8.01. Имеются данные о продаже туристических товаров в системе спорткультторга по кварталам за 5 лет в тыс. у.е. рассчитать гарантийный запас товара в тыс. у.е. на квартал с указанной надёжностью γ и проанализировать плановые товарные запасы на квартал

Решение. Поскольку σ неизвестно, то гарантийный запас обуви найдём по формуле , где . По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=1-0,96=0,04 и числом степеней свободы k=n-1=19 найдем t_γ=2,20.

Составляем расчётную таблицу для нахождения и S.

№

x_i

№

x_i

1

396

156816

12

418

174724

2

438

191844

13

412

169744

3

398

158404

14

480

230400

4

412

169744

15

478

228484

5

414

171396

16

519

269361

6

422

178084

17

429

184041

7

436

190096

18

437

190969

8

418

174724

19

391

152881

9

443

196249

20

368

135424

10

474

224676

Σ

8633

3750561

11

450

202500

Параметры вычисляем по формулам:

Тогда

Границы доверительного интервала ― это 431,65-17,5=414,12 слева и 431,65+17,5=449,18

Таким образом, гарантийный квартальный запас должен быть не менее 414,12 тыс. у.е. и не более 449,18 тыс. у.е. В эти рамки должно укладываться не менее 96% произведённых выборок.

План 460 тыс. у.е. не соответствует этому интервалу.

Определить тесноту связи между X и Y, составить уравнение регрессии.

Решение. Для определения характера зависимости построим точки x_i, y_i.

Видно, что все точки, кроме (14, 1346), (14,3, 1359) группируются около некоторой прямой. Следовательно, можно говорить о линейной регрессии.

Будем искать уравнение регрессии в виде

№

x_i

y_i

x_iy_i

1

13.5

1362.0

182.25

1855044

18387

1364.04

2.04

2

13.6

1368.0

184.96

1871424

18604

1362.34

5.66

3

13.7

1357.0

187.69

1841449

18590

1360.64

3.64

4

13.8

1363.0

190.44

1857769

18809

1358.95

4.05

5

13.9

1360.0

193.21

1849600

18904

1357.25

2.75

6

14.0

1346.0

196.00

1811716

18844

1355.55

9.55

7

14.1

1354.0

198.81

1833316

19091

1353.85

0.15

8

14.2

1347.0

201.64

1814409

19127

1352.16

5.16

9

14.3

1359.0

204.49

1846881

19433

1350.46

8.54

10

14.4

1348.0

207.36

1817104

19411

1348.76

0.76

Σ

139,5

330

1946,85

18398712

189203

-

-

Искомые параметры a и b найдём из системы уравнений

а=-16,96969 и b=1593,12727. Следовательно, искомая аппроксимирующая функция есть y=-16,96969х+1593,12727

Рассчитаем по этому уравнению ожидаемые значения выпечки хлеба. По значениям отклонений можно сделать вывод о том, что ожидаемые значения удовлетворительно согласуются с наблюдаемыми значениями у.

Найдём выборочный коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции по модулю равен 0,69 ― связь заметная, обратная (по шкале Чаддока).