15

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»

Контрольная работа

по дисциплине: «Математика»

Вариант 1

Выполнил: студент 1 курса группы БУА-5

Проверил:___________________________

Тюмень 2007 год

Содержание

«Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного

переменного……………………………………………………………………2

«Дифференциальное исчисление функций и его приложение……………...6

«Интегральное исчисление функции одного переменного»……………….11

«Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного»

1. Вычислить предел: .

Решение.

При имеем

Следовательно,

.

2. Найти асимптоты функции: .

Решение.

Очевидно, что функция не определена при .

Отсюда получаем, что

Следовательно, – вертикальная асимптота.

Теперь найдем наклонные асимптоты.

.

Следовательно, – горизонтальная асимптота при .

3. Определить глобальные экстремумы: при .

Решение.

Известно, что глобальные экстремумы функции на отрезке достигаются или в критических точках, принадлежащих отрезку, или на концах отрезка. Поэтому сначала находим .

А затем находим критические точки.

.

Теперь найдем значение функции на концах отрезка.

.

Сравнивая значения, получаем:

4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции: .

Решение.

Сначала находим .

.

Затем находим критические точки.

.

x

0

1

3

+

0

+

0

–

0

+

возрастает

нет экстр.

возрастает

max

убывает

min

возрастает

Отсюда следует, что функция возрастает при , убывает при .

Точка – локальный максимум.

Точка – локальный минимум.

5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции: .

Решение.

Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба, найдем вторую производную функции.

.

.

.

x

2

–

0

+

выпуклая

перегиб

вогнутая

Отсюда следует, что функция

выпуклая при ,

вогнутая при .

Точка – точка перегиба.

«Дифференциальное исчисление функций и его приложение»

1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции .

Решение.

1) Область определения функции

.

2) Поскольку , функция не является четной или нечетной.

3) Точки пересечения с осями:

а) с оx:

б) с oy .

4) Асимптоты.

а) .

Следовательно, – вертикальная асимптота.

б) Теперь найдем наклонные асимптоты

Отсюда получаем, что

– наклонная асимптота при .

5) Критические точки

К тому же не существует при .

6)

К тому же не существует при

x

0

2

4

+

0

–

Не сущ.

–

0

+

–

–

–

Не сущ.

+

+

+

y

возрастает

выпуклая

max

убывает

выпуклая

не сущ.

убывает

вогнутая

min

возрастает

вогнутая

Эскиз графика функции

2. Найти локальные экстремумы функции .

Решение.

Сначала найдем частные производные

Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.

То есть мы получили две критические точки

. Далее проведем исследование этих точек.

Для чего найдем предварительно частные производные второго порядка

Для точки :

.

Следовательно, точка не является точкой экстремума.

Для точки :

.

Следовательно, точка не является точкой экстремума.

Вывод – локальных экстремумов у функции нет.

3. Определить экстремумы функции , если .

Решение.

Сначала запишем функцию Лагранжа

И исследуем ее

То есть мы получили две критические точки: .

В силу условия нам подходит только точка .

Поэтому будем исследовать эту точку

Вычислим частные производные второго порядка:

Отсюда получаем, что

Теперь продифференцируем уравнение связи

Для точки получаем .

Следовательно,

То есть мы получили положительно определенную квадратичную форму.

Следовательно, является точкой условного локального минимума.

«Интегральное исчисление функции одного переменного»

1–3. Найти неопределенный интеграл

1. .

Решение.

2. .

Решение.

3. .

Решение.

4. Вычислить .

Решение.

5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми

.

Решение.

.