1. Линейная парная регрессия

1.1. Основные понятия и определения

Корреляционная зависимость может быть представлена в виде

M_x(Y) = (x) (1)

или M_y(X) = (у), где (x)  const, (у)  const.

В регрессионном анализе рассматривается односторонняя зависимость случайной переменной Y от одной (или нескольких) неслучайной независимой переменной Х. Такая зависимость Y от X (иногда ее называют регрессионной) может быть также представлена в виде модельного уравнения регрессии Y от X (1). При этом зависимую переменную Y называют также функцией отклика (объясняемой, выходной, результирующей, эндогенной переменной, результативным признаком), а независимую переменную Х – объясняющей (входной, предсказывающей, предикторной, экзогенной переменной, фактором, регрессором, факторным признаком).

Для точного описания уравнения регрессии необходимо знать условный закон распределения зависимой переменной Y при условии, что переменная Х примет значение х, т.е. Х = х. В статистической практике такую информацию получить, как правило, не удается, так как обычно исследователь располагает лишь выборкой пар значений (x_i, y_i) ограниченного объема n. В этом случае речь может идти об оценке (приближенном выражении, аппроксимации) по выборке функции регрессии. Такой оценкой является выборочная линия (кривая) регрессии:

= ( x, b₀, b₁, …, b_p) (2)

где  условная (групповая) средняя переменной Y при фиксированном значении переменной X = x; b₀, b₁, …, b_p – параметры кривой.

Уравнение (2) называется выборочным уравнением регрессии.

В дальнейшем рассмотрим линейную модель и представим ее в виде

= b₀ + b₁x. (3)

Для решения поставленной задачи определим формулы расчета неизвестных параметров уравнения линейной регрессии (b₀, b₁).

Согласно методу наименьших квадратов (МНК) неизвестные параметры b₀ и b₁ выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических значений y_i от значений , найденных по уравнению регрессии (3), была минимальной:

. (4)

На основании необходимого условия экстремума функции двух переменных S = S(b₀, b₁) (4) приравняем к нулю ее частные производные, т.е.

откуда после преобразований получим систему нормальных уравнений для определения параметров линейной регрессии:

(5)

Теперь, разделив обе части уравнений (5) на n, получим систему нормальных уравнений в следующем виде:

(6)

где соответствующие средние определяются по формулам:

; (7) ; (9)

; (8) . (10)

Решая систему (6), найдем

, (11)

где  выборочная дисперсия переменной Х:

, (12)

 выборочный корреляционный момент или выборочная ковариация:

. (13)

Коэффициент b₁ называется выборочным коэффициентом регрессии Y по X.

Коэффициент регрессии Y по X показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная Y при увеличении переменной X на одну единицу.

Отметим, что из уравнения регрессии следует, что линия регрессии проходит через точку , т.е. = b₀ + b_1.

На первый взгляд, подходящим измерителем тесноты связи Y от Х является коэффициент регрессии b₁. Однако b₁ зависит от единиц измерения переменных. Очевидно, что для "исправления" b₁ как показателя тесноты связи нужна такая стандартная система единиц измерения, в которой данные по различным характеристикам оказались бы сравнимы между собой. Если представить уравнение в эквивалентном виде:

. (14)

В этой системе величина называется выборочный коэффициент корреляции и является показателем тесноты связи.

Если r > 0 (b₁ > 0), то корреляционная связь между переменными называется прямой, если r < 0 (b₁ < 0),  обратной.

Учитывая (7)–(13) получим следующие формулы для расчета коэффициента корреляции:

; (15)

. (16)

Выборочный коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [1: 1], т.е. 1 ≤ r ≥ 1.

2. При r=±1 корреляционная связь представляет линейную функциональную зависимость. При этом все наблюдения располагаются на прямой линии.

3. При r = 0 линейная корреляционная связь отсутствует. При этом линия регрессии параллельна оси ОХ.

В силу воздействия неучтенных факторов и причин отдельные наблюдения переменной Y будут в большей или меньшей мере отклоняться от функции регрессии (Х). В этом случае уравнение взаимосвязи двух переменных (парная регрессионная модель) может быть представлена в виде:

Y = (X) + ,

где   случайная переменная (случайный член), характеризующая отклонение от функции регрессии.

Рассмотрим линейный регрессионный анализ, для которого унция (Х) линейна относительно оцениваемых параметров:

M_x(Y) = ₀ + ₁x. (17)

Предположим, что для оценки параметров линейной функции регрессии (17) взята выборка, содержащая п пар значений переменных (x_i, y_i), где i = 1, 2, …, п. В этом случае линейная парная регрессионная модель имеет вид:

y_i = ₀ + ₁x_i + _i. (18)

Отметим основные предпосылки регрессионного анализа (условия Гаусса-Маркова).

1. В модели y_i = ₀ + ₁x_i + _i возмущение _i есть величина случайная, а объясняющая переменная x_i – величина неслучайная.

2. Математическое ожидание возмущения _i равно нулю:

M(_i) = 0. (19)

3. Дисперсия возмущения _i постоянна для любого i:

D(_i) = ². (20)

4. Возмущения _i и _j не коррелированны:

M(_i _j) = 0 (i  j). (21)

5. Возмущения _i есть нормально распределенная случайная величина.

Оценкой модели (18) по выборке является уравнение регрессии
= b₀ + b₁x. Параметры этого уравнения b₀ и b₁ определяются на основе МНК. Воздействие неучтенных случайных факторов и ошибок наблюдений в модели (18) определяется с помощью дисперсии возмущений (ошибок) или остаточной дисперсии (см. табл. 1).

Теорема ГауссаМаркова. Если регрессионная модель
y_i = ₀ + ₁x_i + _i удовлетворяет предпосылкам 15, то оценки b₀, b₁ имеют наименьшую дисперсию в классе всех линейных несмещенных оценок.

Таким образом, оценки b₀ и b₁ в определенном смысле являются наиболее эффективными линейными оценками параметров ₀ и ₁.

Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной. Для проверки значимости выдвигают нулевую гипотезу о надежности параметров. Вспомним основные понятия и определения необходимые для анализа значимости параметров регрессии.

Статистическая гипотеза – это предположение о свойствах случайных величин или событий, которое мы хотим проверить по имеющимся данным.

Нулевая гипотеза Н₀ – это основное проверяемое предположение, которое обычно формулируется как отсутствие различий, отсутствие влияние фактора, отсутствие эффекта, равенство нулю значений выборочных характеристик и т.п.

Другое проверяемое предположение (не всегда строго противоположное или обратное первому) называется конкурирующей или альтернативной гипотезой.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость проверить ее. Так как проверку производят статистическими методами, то данная проверка называется статистической.

При проверке статистических гипотез возможны ошибки (ошибочные суждения) двух видов:

 можно отвергнуть нулевую гипотезу, когда она на самом деле верна (так называемая ошибка первого рода);

 можно принять нулевую гипотезу, когда она на самом деле не верна (так называемая ошибка второго рода).

Допустимая вероятность ошибки первого рода может быть равна 5% или 1% (0,05 или 0,01).

Уровень значимости – это вероятность ошибки первого рода при принятии решения (вероятность ошибочного отклонения нулевой гипотезы).

Альтернативные гипотезы принимаются тогда и только тогда, когда опровергается нулевая гипотеза. Это бывает в случаях, когда различия в средних арифметических экспериментальной и контрольной групп настолько значимы (статистически достоверны), что риск ошибки отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную не превышает одного из трех принятых уровней значимости статистического вывода:

1-й уровень  5% ( = 0,05), где допускается риск ошибки в выводе в пяти случаях из ста теоретически возможных таких же экспериментов при строго случайном отборе для каждого эксперимента;

2-й уровень  1% ( = 0,01), т. е. соответственно допускается риск ошибиться только в одном случае из ста;

3-й уровень  0,1% ( = 0,01), т. е. допускается риск ошибиться только в одном случае из тысячи.

Последний уровень значимости предъявляет очень высокие требования к обоснованию достоверности результатов эксперимента и потому редко используется. В эконометрических исследованиях, не нуждающихся в очень высоком уровне достоверности, представляется разумным принять 5%-й уровень значимости.

Статистика критерия  некоторая функция от исходных данных, по значению которой проверяется нулевая гипотеза. Чаще всего статистика критерия является числовой функцией.

Всякое правило, на основе которого отклоняется или принимается нулевая гипотеза, называется критерием проверки данной гипотезы. Статистический критерий – это случайная величина, которая служит для проверки статистических гипотез.

Критическая область – совокупность значений критерия, при котором нулевую гипотезу отвергают. Область принятия нулевой гипотезы (область допустимых значений) – совокупность значений критерия, при котором нулевую гипотезу принимают. При справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что статистика критерия попадает в область принятия нулевой гипотезы должна быть равна 1.

Процедура проверки нулевой гипотезы в общем случае включает следующие этапы:

• задается допустимая вероятность ошибки первого рода ( = 0,05);

• выбирается статистика критерия;

• ищется область допустимых значений;

• по исходным данным вычисляется значение статистики;

• если статистика критерия принадлежит области принятия нулевой гипотезы, то нулевая гипотеза принимается (корректнее говоря, делается заключение, что исходные данные не противоречат нулевой гипотезе), а в противном случае нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза. Это основной принцип проверки всех статистических гипотез.

В современных эконометрических программах (например, EViews) используются не стандартные уровни значимости, а уровни, подсчитываемые непосредственно в процессе работы с соответствующим статистическим методом. Эти уровни, обозначенные обычно Prob, могут иметь различное числовое выражение в интервале от 0 до 1, например, 0,7, 0,23 или 0,012. Понятно, что в первых двух случаях, полученные уровни значимости слишком велики и говорить о том, что результат значим нельзя. В последнем случае результаты значимы на уровне двенадцати тысячных.

Если вычисленное значение Рrob превосходит выбранный уровень Рrob_кр, то принимается нулевая гипотеза, а в противном случае  альтернативная гипотеза. Чем меньше вычисленное значение Рrob, тем более исходные данные противоречат нулевой гипотезе.

Число степеней свободы у какого-либо параметра определяют как размер выборки, по которой рассчитан данный параметр, минус количество выбранных переменных.

Величина W называется мощностью критерия и представляет собой вероятность отклонения неверной нулевой гипотезы, т.е. вероятность правильного решения. Мощность критерия – вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива альтернативная гипотеза. Чем больше W, тем вероятность ошибки второго рода меньше.

Коэффициент регрессии (b₁) является случайной величиной. Отсюда после вычисления возникает необходимость проверки гипотезы о значимости полученного значения. Выдвигаем нулевую гипотеза (Н₀) о равенстве нулю коэффициента регрессии (Н₀:b₁ = 0) против альтернативной гипотезы (Н₁) о неравенстве нулю коэффициента регрессии (Н₁:b₁  0). Для проверки гипотезы Н₀ против альтернативы используется t-статистика, которая имеет распределение Стьюдента с (n  2) степенями свободы (парная линейная регрессия).

Коэффициент регрессии надежно отличается от нуля (отвергается нулевая гипотеза Н₀), если t_набл > t_;n-2. В этом случае вероятность нулевой гипотезы (Prob.) будет меньше выбранного уровня значимости. t_;n-2  критическая точка, определяемая по математико-статистическим таблицам.

Проверка значимости уравнения регрессии производится на основе дисперсионного анализа.

Согласно основной идее дисперсионного анализа

(22)

или

Q = Q_R + Q_e, (23)

где Q – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней, а Q_R и Q_e – соответственно сумма квадратов, обусловленная регрессией, и остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов.

Схема дисперсионного анализа имеет вид, представленный в табл. 1.

Средние квадраты и s² (табл. 1) представляют собой несмещенные оценки дисперсий зависимой переменной, обусловленных соответственно регрессией или объясняющей переменной Х и воздействием неучтенных случайных факторов и ошибок; m – число оцениваемых параметров уравнения регрессии; п – число наблюдений.

При отсутствии линейной зависимости между зависимой и объясняющими(ей) переменными случайные величины и имеют ²-распределение соответственно с т – 1 и п – т степенями свободы.

Таблица 1

Компоненты дисперсии

Сумма квадратов

Число
степеней свободы

Средние
квадраты

Регрессия

m – 1

Остаточная

n – m

Общая

n – 1

Поэтому уравнение регрессии значимо на уровне , если фактически наблюдаемое значение статистики

, (24)

где  табличное значение F-критерия ФишераСнедекора, определяемое на уровне значимости  при k₁ = m – 1 и k₂ = n – m степенях свободы.

Учитывая смысл величин и s², можно сказать, что значение F показывает, в какой мере регрессия лучше оценивает значение зависимой переменной по сравнению с ее средней.

Для парной линейно регрессии т = 2, и уравнение регрессии значимо на уровне  (отвергается нулевая гипотеза), если

. (25)

Следует отметить, что значимость уравнения парной линейной регрессии может быть проведена и другим способом, если оценить значимость коэффициента регрессии b₁, который имеет
t-распределение Стьюдента с k = n – 2 степенями свободы.

Уравнение парной регрессии или коэффициент регрессии b₁ значимы на уровне  (иначе – гипотеза Н₀ о равенстве параметра b₁ нулю, т.е.
Н₀:b₁ = 0, отвергается), если фактически наблюдаемое значение статистики

(26)

больше критического (по абсолютной величине), т.е. |t| > t_{1  ; n  2}.

Коэффициент корреляции r значим на уровне  (Н₀: r = 0), если

. (27)

Одной из наиболее эффективных оценок адекватности регрессионной модели, мерой качества уравнения регрессии, характеристикой прогностической силы анализируемой регрессионной модели является коэффициент детерминации, определяемый по формуле:

. (28)

Величина R² показывает, какая часть (доля) вариации зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной.

В случае парной линейной регрессионной модели коэффициент детерминации равен квадрату корреляции, т.е. R² = r².

Доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной .

 t_{1 – ; n  2}   + t_{1  ; n  2}, (29)

где  оценка дисперсии индивидуальных значений у₀ при х = х₀.

Доверительный интервал для параметров регрессионной модели.

(30)

1.4. Типичный пример анализа экономических процессов
с использованием пространственных данных

По 28 предприятиям концерна изучается зависимость дневной выработки (ед.) у от уровня механизации труда (%) х по следующим данным (табл. 2).

Таблица 2

Номер пред-приятия

Уровень механизации, %, х

Дневная выработка, ед., у

Номер пред-приятия

Уровень механизации, %, х

Дневная выработка, ед., у

1

15

5

15

63

24

2

24

6

16

64

25

3

42

6

17

66

25

4

46

9

18

70

27

5

48

15

19

72

31

6

48

14

20

75

33

7

50

17

21

76

33

8

52

17

22

80

42

9

53

22

23

82

41

10

54

21

24

87

44

11

55

22

25

90

53

12

60

23

26

93

55

13

61

23

27

95

57

14

62

24

28

99

62

При анализе статистических зависимостей широко используются графические методы, которые задают направление его дальнейшего анализа. В Excel для этого можно использовать средство Мастер диаграмм. Для создания диаграммы необходимо выделить данные, запустить мастер диаграмм, выбрать тип и вид диаграммы (для нашего примера тип диаграммы – Точечная), выбрать и уточнить ориентацию диапазона данных и ряда, настроить параметры диаграммы.

Для описания закономерностей в исследуемой выборке наблюдений строится линия тренда.

Для добавления линии тренда в диаграмму необходимо выполнить следующие действия:

1) щелкнуть правой кнопкой мыши по ряду данных;

2) в динамическом меню выбрать команду Добавить линию тренда. На экране появится окно Линия тренда (рис. 2);

3) выбрать вид зависимости регрессии. Для нашего примера тип тренда определим, как Линейный;

4) перейти на вкладку Параметры. В поле Показать уравнение на диаграмме установить подтверждение;

5) в случае необходимости можно задать остальные параметры.

Рис. 2. Диалоговое окно для выбора типа тренда

Изобразим полученную зависимость графически точками координатной плоскости (рис. 3). Такое изображение статистической зависимости называется полем корреляции.

По расположению эмпирических точек можно предполагать наличие линейной корреляционной (регрессионной) зависимости между переменными х и у.

По данным табл. 2 найдем уравнение регрессии у по х. Расчеты произведем в Excel по формулам (7)–(13), промежуточные вычисления представим в табл. 3.

Рис. 3. Поле корреляции

Таблица 3

N

X

Y

X*Y

X*X

Y*Y

1

15

5

75

225

25

2

24

6

144

576

36

3

42

6

252

1764

36

4

46

9

414

2116

81

5

48

15

720

2304

225

6

48

14

672

2304

196

7

50

17

850

2500

289

8

52

17

884

2704

289

9

53

22

1166

2809

484

10

54

21

1134

2916

441

11

55

22

1210

3025

484

12

60

23

1380

3600

529

13

61

23

1403

3721

529

14

62

24

1488

3844

576

15

63

24

1512

3969

576

16

64

25

1600

4096

625

17

66

25

1650

4356

625

18

70

27

1890

4900

729

19

72

31

2232

5184

961

20

75

33

2475

5625

1089

21

76

33

2508

5776

1089

22

80

42

3360

6400

1764

23

82

41

3362

6724

1681

24

87

44

3828

7569

1936

25

90

53

4770

8100

2809

26

93

55

5115

8649

3025

27

95

57

5415

9025

3249

28

99

62

6138

9801

3844

Сумма

1782

776

57647

124582

28222

Среднее

63,64286

27,71429

2058,821

4449,357

 

Дисперсия

398,9439

239,8469

b1

0,739465

Cov(x,y)

295,0051

b0

-19,3474

Итак, уравнение регрессии у по х:

= 19,37 + 0,74x.

Из полученного уравнения регрессии следует, что при увеличении уровня механизации х на 1% выработка у увеличивается в среднем на 0,74 ед.

По исходным данным вычислим коэффициент корреляции.

Расчеты произведем в Excel, промежуточные вычисления см. табл. 3 и формулы (15), (16).

= 0,954,

т.е. связь между переменными тесная.

Оценим на уровне значимости  = 0,05 значимость уравнения регрессии у по х.

1-й способ. Используя данные табл. 4 вычислим необходимые суммы по формулам табл. 1:

= 6715,71 (см. столбец 6);

Q_R = = 6108,09 (см. столбец 7);

Q_e = Q  Q_R = 6715,71 – 6108,09 = 607,63

Таблица 4

N

X

Y

Yрег

Yi-Yрег

(Yi-Yср)^2

(Yрег-Yср)^2

(Xi-Xcp)^2

1

2

3

4

5

6

7

8

1

15

5

-8,25541

13,2554

515,9388

1293,8192

2366,12755

2

24

6

-1,60023

7,6002

471,5102

859,3406

1571,55612

3

42

6

11,71015

-5,7101

471,5102

256,1325

468,413265

4

46

9

14,66801

-5,6680

350,2245

170,2054

311,270408

5

48

15

16,14694

-1,1469

161,6531

133,8035

244,69898

6

48

14

16,14694

-2,1469

188,0816

133,8035

244,69898

7

50

17

17,62587

-0,6259

114,7959

101,7762

186,127551

8

52

17

19,1048

-2,1048

114,7959

74,1233

135,556122

9

53

22

19,84426

2,1557

32,6531

61,9372

113,270408

10

54

21

20,58373

0,4163

45,0816

50,8448

92,9846939

11

55

22

21,32319

0,6768

32,6531

40,8461

74,6989796

12

60

23

25,02052

-2,0205

22,2245

7,2564

13,2704082

13

61

23

25,75998

-2,7600

22,2245

3,8193

6,98469388

14

62

24

26,49945

-2,4995

13,7959

1,4758

2,69897959

15

63

24

27,23892

-3,2389

13,7959

0,2260

0,41326531

16

64

25

27,97838

-2,9784

7,3673

0,0697

0,12755102

17

66

25

29,45731

-4,4573

7,3673

3,0381

5,55612245

18

70

27

32,41517

-5,4152

0,5102

22,0983

40,4132653

19

72

31

33,8941

-2,8941

10,7959

38,1901

69,8418367

20

75

33

36,1125

-3,1125

27,9388

70,5300

128,984694

21

76

33

36,85196

-3,8520

27,9388

83,4971

152,69898

22

80

42

39,80982

2,1902

204,0816

146,3020

267,556122

23

82

41

41,28875

-0,2888

176,5102

184,2662

336,984694

24

87

44

44,98608

-0,9861

265,2245

298,3149

545,556122

25

90

53

47,20447

5,7955

639,3673

379,8675

694,69898

26

93

55

49,42287

5,5771

744,5102

471,2626

861,841837

27

95

57

50,9018

6,0982

857,6531

537,6608

983,270408

28

99

62

53,85966

8,1403

1175,5102

683,5807

1250,12755

Сумма

1782

776

 

0,00

6715,7143

6108,0879

11170,4286

Среднее

63,64286

27,71429

 

 

 

 

 

b1

0,739465

b0

-19,3474

F = = 261,36.

По статистическим таблицам F-распределения F_0,05;1;26 = 4,22. Так как
F > F_0,05;1;26, то уравнение регрессии значимо.

2-й способ. Учитывая, что b₁ = 0,739, = 11170,43
(табл. 4), = =23,37 (табл. 4), по формуле (26)

t = = 16,17.

По таблице t-распределения t_0,95;26 = 2,06. Так как t > t_0,95;26, то коэффициент регрессии b₁, а значит, и уравнение парной линейной регрессии значимо.

Найдем коэффициент детерминации и поясним его смысл. Ранее было получено Q_R = 6108,09, Q = 6715,71. По формуле (28) = 0,9095 (или R² = r² = 0,954² = 0,9095). Это означает, что изменения зависимой переменной у – дневная выработка – на 90% объясняется вариацией объясняющей переменной х – уровнем механизации.

Найдем 95%-ные доверительные интервалы для индивидуального значения прибыли при уровне механизации равной 65%.

Ранее было получено уравнение регрессии

= 19,37 + 0,74x.

Чтобы построить доверительный интервал для индивидуального значения , найдем точечное значение признака = 19,37 + 0,74∙65 = 28,718.

Затем найдем дисперсию оценки:

=23,370= 0,839

и = 0,916.

Далее искомый доверительный интервал получим по (29):

28,718 – 2,06∙0,916   28,718 + 2,06∙0,916

26,832   30,604

Таким образом, дневная выработка при уровне механизации равной 65% с надежностью 0,95 находится в пределах от 26,832 ед. до
30,604 ед.

Найдем 95%-ный доверительный интервал для параметра ₁.

По формуле (30)

0,74 – 2,06  ₁  0,74 + 2,06,

0,645  ₁  0,834,

т.е. с надежностью 0,95 при изменении уровня механизации x на 1% дневная выработка y будет изменяться на величину, заключенную в интервале от 0,645 до 0,834 (ед.).

Исследуем полученную модель на наличие гетероскедастичности.

Тест ГолфредаКвандта.

Упорядочим п наблюдений по мере возрастания переменной х. Исключим из рассмотрения С = 6 центральных наблюдений (условие
(п  С)/2 = (28 – 6)/2 = 11 > р = 1 выполняется). Разделим совокупность из (п  С) = (28 – 6) = 22 наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора х по 11 наблюдений) и определим по каждой из групп уравнения регрессии. Для первой группы оно составит = 3,70 + 0,39x. Для второй группы: = 1,16 + 53,11x. Определим остаточные суммы квадратов для первой (S₁) и второй (S₂) групп. Промежуточные расчеты занесем в табл. 5.

N

X

Y

Yрег = -3,70 + 0,39Х

e=Y-Yрег

e^2

1

15

5

2,15

2,85

8,1225

2

24

6

5,66

0,34

0,1156

3

42

6

12,68

-6,68

44,6224

4

46

9

14,24

-5,24

27,4576

5

48

15

15,02

-0,02

0,0004

6

48

14

15,02

-1,02

1,0404

7

50

17

15,8

1,2

1,44

8

52

17

16,58

0,42

0,1764

9

53

22

16,97

5,03

25,3009

10

54

21

17,36

3,64

13,2496

 

 

S1

121,5258

N

X

Y

Yрег = -53,11 + 1,16Х

e=Y-Yрег

e^2

17

66

25

23,45

1,55

2,4025

18

70

27

28,09

-1,09

1,1881

19

72

31

30,41

0,59

0,3481

20

75

33

33,89

-0,89

0,7921

21

76

33

35,05

-2,05

4,2025

22

80

42

39,69

2,31

5,3361

23

82

41

42,01

-1,01

1,0201

24

87

44

47,81

-3,81

14,5161

25

90

53

51,29

1,71

2,9241

26

93

55

54,77

0,23

0,0529

27

95

57

57,09

-0,09

0,0081

28

99

62

61,73

0,27

0,0729

 

 

 

 

S2

32,8636

Тест ранговой корреляции Спирмэна

Проранжируем значения х_i и абсолютные величины остатков в порядке возрастания, расчеты занесем в табл. 6.

Найдем коэффициент ранговой корреляции Спирмэна:

= 0,108.

Таблица 6

N

X

Ei

Расчет ранговой корреляции

Ранг Х

Ранг |Ei|

d

d^2

1

15

13,27

1

28

-27

729

2

24

7,61

2

26

-24

576

3

42

-5,71

3

23

-20

400

4

46

-5,67

4

22

-18

324

5

48

-1,15

5

6

-1

1

6

48

-2,15

6

9

-3

9

7

50

-0,63

7

3

4

16

8

52

-2,11

8

8

0

0

9

53

2,15

9

10

-1

1

10

54

0,41

10

2

8

64

11

55

0,67

11

4

7

49

12

60

-2,03

12

7

5

25

13

61

-2,77

13

13

0

0

14

62

-2,51

14

12

2

4

15

63

-3,25

15

17

-2

4

16

64

-2,99

16

15

1

1

17

66

-4,47

17

19

-2

4

18

70

-5,43

18

20

-2

4

19

72

-2,91

19

14

5

25

20

75

-3,13

20

16

4

16

21

76

-3,87

21

18

3

9

22

80

2,17

22

11

11

121

23

82

-0,31

23

1

22

484

24

87

-1,01

24

5

19

361

25

90

5,77

25

24

1

1

26

93

5,55

26

21

5

25

27

95

6,07

27

25

2

4

28

99

8,11

28

27

1

1

Сумма

 

 

 

 

0,00

3258

Найдем t-критерий для ранговой корреляции:

= 0,556.

Сравним полученное значение t_ с табличным значением
t_{0,95; 26} = 2,06. Так как t_ < t_{0,95; 26}, то на уровне значимости 5% принимается гипотеза об отсутствии гетероскедастичности.

Использование теста Уайта рассмотрим во второй части методических указаний.

Тест Парка Тест предполагает, что дисперсия остатков связана со значениями факторов функций ln ² = а + b ln х + и. Проверяется значимость коэффициента регрессии b по t-критерию Стьюдента. Если коэффициент регрессии для уравнения ln² окажется статистически значимым, то, следовательно, существует зависимость ln² от lnх, т.е. имеет место гетероскедастичность остатков.

Чтобы построить зависимость ln ² = а + b ln х введем замены:
ln ² = у, ln х = z. Построим линейную регрессию у = а + bz. Для этого воспользуемся пакетом анализа Microsoft Excel (Сервис + Анализ данных + + Регрессия). В результате получим следующую модель:

ln ² = 5,635  0,901 ln х.

Проверка уравнения на значимость показывает: R² = 0,039; F = 1,056; t_a = 1,565 и t_b = 1,028. По тесту Парка зависимость дисперсии остатков от х проявляется ненадежно: все параметры статистически нее значимы, R² очень низкий, t-критерий и F-статистика меньше табличных значений (t_0,95;26 = 2,06; F_0,05;1;26 = 4,23). Тест Парка показал отсутствие гетероскедастичности.

Тест Гейзера

Тест оценивает зависимость абсолютных значений остатков от значений фактора х в виде функции: |e| = a + b ∙ x^c, где с задается определенным числом степени. Для нашего примера используем значения с равные 2;1; 0,5; 0,5; 1;2.

Для построения моделей регрессий воспользуемся пакетом анализа Microsoft Excel. Получили следующие результаты:

при с = 2 |e| = 2,62 + 2327,52x^-2 R² = 0,460; F = 22,14

^{(5,61) (4,71)}

при с = 1 |e| = 0,87 + 153,09x^-1 R² = 0,360; F = 14,61

^{(1,01) (3,82)}

при с = 0,5 |e| = 2,40 + 46,10x^-0,5 R² = 0,271; F = 9,65

^{(1,19) (3,11)}

при с = 0,5 |e| = 8,58  0,62x^0,5 R² = 0,090; F = 2,56

^{(2,76) (1,60)}

при с = 1 |e| = 5,39  0,03x R² = 0,035; F = 0,945

^{(2,97) (0,97)}

Из теста Гейзера следует, что абсолютная величина остатков достаточно сильно зависит от х^-2.