Канашский филиал

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

По математике

Вариант 3

Студента 1 курса экономического факультета

Шифр: 04653033 Учебная группа: 53-06

Работа выслана в Чувашский госуниверситет

«____» ____________2006 г.

Передана на кафедру «Экономики и управления»

Оценка___________ «___» _____________2006г.

Преподаватель: Бычков Владимир Порфирьевич

Возвращена в деканат______________________

Математика

Вариант 3

Даны вершины А(х₁;у₁) ,В(х₂;у₂), С(х₃;у₃) треугольника. Требуется найти: 1)длину стороны ВС; 2)площадь треугольника; 3)уравнение стороны ВС; 4)уравнение высоты проведенной из вершины А; 5)длину высоты проведенной из вершины А; 6)уравнение биссектрисы внутреннего угла ;

7)угол в радианах с точностью до 0,01; 8)систему неравенств определяющих множество точек треугольника. Сделать чертеж.

вариант 3: А(5;-1), В(1;-4), С(-4;8).

Решение:

1)Длина стороны ВС:

;

2)Длина стороны АВ:

;

Скалярное произведение векторов и

Угол :

cos = ; =arcos 0,2462=75,75;

3) Уравнение стороны ВС:

; ; ; ; ;

4) Уравнение высоты, проведенной из вершины А:

; ;

Условие перпендикулярности двух прямых:

; ;

; ; ; ;

5) Длина высоты, проведенной из вершины А:

6)

Уравнение прямой АС:

Уравнение биссектрисы внутреннего угла :

7) Угол в радианах с точностью до 0,01:

8) Уравнение стороны ВС:

Уравнение стороны АС:

Уравнение стороны АВ:

Система неравенств, определяющих множество внутренних точек треугольника.

X

Y

A (5;-1)

B (1;-4)

C (-4;8)

Задание 13.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(4;1) на расстоянии 4 единиц от точки В(-4;0).

Решение:

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку А:

По условию задачи

Искомые прямые:

Задание 23.

Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки F(8;0) вдвое больше, чем от прямой Х-2=0. Сделать чертеж.

Решение:

По условию задачи:

- уравнение гиперболы с центром в точке и полуосями

A(x;y)

F(8;0)

X

Y

4 6 8

2

-2

-4

-6

Задание 33.

Составить уравнение параболы и ее директрисы, если известно что парабола проходит через точки пересечения прямой с окружностью и ось является осью симметрии параболы. Сделать чертеж.

Решение.

Рассмотрим уравнение окружности:

Найдем точки пересечения окружности и прямой.

Координаты точек пересечения окружности и прямой т.к. парабола симметрична относительно ОХ, то уравнение имеет вид учитывая что найдем параметр p

Таким образом, уравнение параболы

Уравнение директрисы параболы:

1 3 5 7 9

8

5

2 4 6 8 10

Y

X

M

Y=2x

X=-4

-4

Задание 43.

Дано уравнение параболы f(x;y)=0. Сделать параллельный перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO₁Y уравнение параболы приняло вид X²=aY или Y²=aX. Построить обе системы координат и параболу.

Решение:

O₁

O

y Y

x

X

Задание 53

Даны вершины А₁(Х₁;Y₁;Z₁),. А₂(Х₂;Y₂;Z₂), А₃(Х₃;Y₃;Z₃), А₄(Х₄;Y₄;Z₄)

пирамиды. Требуется найти: 1) длину ребра А₁А₂; 2)Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₂ и гранью А₁А₂ А₃; 4) площадь грани А₁А₂ А₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂ А₃; 7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂ А₃, и вершину А₁ пирамиды.

A₁ (3;5;4), А₂(5;8;3), А₃(1;9;9), A₄(6;4;8);

Решение:

1)

Длина ребра А₁А₂;

2)

Длина ребра А₁А₄;

Скалярное произведение векторов А₁А₂ и А₁А₄:

Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄:

3) Уравнение грани А₁А₂ А₃:

Угол между ребром А₁А₂ и гранью А₁А₂ А₃:

4)Площадь грани А₁А₂А₃:

кв. ед.

5) Объем пирамиды:

куб. ед.

6) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂ А₃:

7) Уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂ А₃, и вершину А₁ пирамиды.

Задание 63.

Определить вид поверхности, заданной уравнением f(x;y;z)=0, и показать её расположение относительно системы координат.

Решение:

Эллиптический параболоид с вершиной О(z;o;o), направленный вдоль оси ОХ, и имеющий полуоси на оси по оси

2

Y

Z

X

0

1

Задание 73.

Применяя метод исключения неизвестных, решить систему уравнений.

Решение:

2

-9

-4

-3

3

-83

= >

= >

0

-47

-28

-13

7

-459

2

-7

-2

-1

-4

-57

0

-45

-26

-11

0

-433

7

-6

2

-2

0

-35

0

-139

-82

-37

-14

-1351

1

19

12

5

-2

188

1

19

12

5

-2

188

0

-47/7

-4

-13/7

1

-459/7

0

68/77

30/77

0

1

980/77

0

-45

-26

-11

0

-433

0

45/11

26/11

1

0

433/11

0

-233

-138

-63

0

-2269

0

272/11

120/11

0

0

2320/11

1

39/7

4

3/7

0

398/7

1

94/77

-190/77

0

0

481/77

0

0

0

0

1

-2900/77

0

-19/15

0

1

0

-2583/11

0

13,6

1

0

0

116

1

1574/231

0

0

0

22521/77

Общее решение системы:

Задание 83.

Даны векторы и . Показать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение:

Составим определитель из координат векторов и вычислим его:

Так как ,то векторы составляют базис. Найдем координаты вектора в этом базисе:

2

-10

0

-4

-42

= >

0

-20

4

-4

-88

= >

0

48

-12

252

4

-9

10

3

-43

0

-29

18

3

-135

0

-80

30

-350

2

-7

0

-1

-39

0

-17

4

-1

-85

0

17

-4

85

1

5

-2

0

23

1

5

-2

0

23

1

5

-2

23

0

-4

1

0

-21

= >

0

0

1

0

3

0

40

0

0

240

0

1

0

0

6

0

1

0

1

1

0

0

0

1

-5

1

-3

0

0

-19

1

0

0

0

-1

Итак

Проверка:

2(-1)-10*6 -4(-5)=-42; -42=-42;

4(-1)-9*6+10*3+3(-5)=-43; -43=-43;

2(-1)-7*6- -(-5)=-39; -39=-39;

-1+5*6-2*3 =23; 23=23.

или

Задание 93.

Дана матрица А . Требуется найти: 1) матрицу, обратную матрице А;

2) собственные значения и собственные векторы матрицы А.

Решение:

-1

-2

12

1

0

0

1

2

-12

-1

0

0

0

4

3

0

1

0

0

4

3

0

1

0

0

5

6

0

0

1

0

5

6

0

0

1

1

0

-13,5

-1

-0,5

0

1

0

0

-1

-8

6

0

1

0,75

0

0,25

0

0

1

0

0

6/9

-3/9

0

0

2,29

0

-1,25

1

0

0

1

0

-5/9

4/9

Обратная матрица:

Корни характеристического уравнения:

- собственные значения матрицы А .

При

Собственный вектор:

Задание 103.

Построить график функции y=f(x) деформацией и сдвигом графика функции y=sin x.

Решение:

-2П -3/2П -П -П/2 П/2 П 3/2П 2П

Y=-6/5sin(2/3x+1)

-6/5

X

-6/5

Y=sin(2/3x+1)

1

X

-1

Y=sin(2/3x)

1

X

-1

Y=sin x

1

X

-1

Y1

Сжатие вдоль оси ОХ в 2/3 раза

Сдвиг влево на 1 вдоль оси ОХ

Растягивание в 6/5 раза и

переворот вдоль OY

Задание 113.

Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).

Решение:

Подстановка:

Задание 123.

Дана функция y=f(x) и три значения аргумента x₁,x₂,x₃. Установить, является ли эта данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений Х. Построить (приближенно) график функции в окрестностях каждой из данных точек.

Решение:

Так как ,то функция в точке Х₁=-1 непрерывна.

Так как ,то функция в точке х=3 разрывная.

Так как ,то функция в точке х=7 непрерывна.

Y=3

Y

X

-1 0 7

Задание 133.

Функция y=f(x) задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график.

Решение:

Так как , то функция в точке х=-1 разрывна.

Так как , то функция в точке непрерывна.

Y

-1 П/6 X

Задание 143.

Найти производные

a) б) в)

г) д)

Решение.

а)

б)

в)

г)

д)

Задание 153.

Найти для функции, заданной параметрическим.

Решение.

Задание 163.

На линии найти точку, в которой касательная к этой линии параллельна прямой

Решение.

Угловой коэффициент прямой:

или

Угловой коэффициент касательной к линии:

Так как касательная к линии и прямая параллельны, то

тогда:

Таким образом получаются две точки:

Задание 173.

Какова должна быть высота равнобедренного треугольника, вписанного в окружность диаметра d, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

Решение.

B

R

O

R

A K C

Задание 183.

Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график.

Решение.

1. область определения функции:

так как то функция нечетная.

2. Точки пересечения с осями координат:

При при

3. Область возрастания (убывания) функции, точки экстремумов:

При функция возрастает.

При функция убывает.

При функция убывает.

При функция возрастает

Точка точка максимума.

Точка точка минимума.

4. Область выпуклости (вогнутости) функции, точки перегибов.

При функция выпукла;

При функция вогнута;

При функция выпукла;

При функция вогнута.

Точки - точки перегибов.

5. Асимптот нет

Y

X

0

1. область определения функции:

2. точки пересечения с осями координат:

При

так как то функция нечетная.

3. области возрастания (убывания) функции; точки экстремумов.

Точек экстремумов нет.

Так как то функция возрастает.

4. область выпуклости (вогнутости) функции; точки экстремумов.

При функция вогнута;

При функция выпукла;

Точка (0;0) точка перегиба.

5. асимптоты.

асимптота.

0

X

Y

1

-1

Задание 193.

Определить количество действительных корней уравнения ;

отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенные значения с точностью до 0,001.

Решение.

Исследуем график функции.

Количество корней К=1.

Таким образом, функция принимает значения на отрезке ,в качестве начального приближения возьмем

метод касательных:

составим таблицу:

1

2

3

-0,1

-0,398

-0,388

-0,001

-0,063

-0,586

1,499

-0,053

-0,0001

5,03

5,475

5,452

0,298

-0,0097

-0,00002

-0/3980

-0,3883

-0,3882

Искомый корень х=-03882

Задание 203.

Найти частные производные функции

Решение.

Частные производные:

Задание 213.

Дана функция и две точки . Требуется:

1) вычислить приближенное значение функции у точке В, исходя из значения в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 2) вычислить точное значение функции в точке В и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции дифференциалом.

Решение.

Вычислим частные производные в точке А.

Приближенное значение:

Вычислим точки значения функции:

Относительная погрешность вычисления:

Задание 223.

Даны функция точка и вектор а. Требуется найти:

1) grad z в точке А; 2)производную по направлению вектора в точке А.

Решение.

1) вектором градиентом функции двух переменных является вектор:

Найдем частные производные в точке А:

2) производная по направлению вектора вычисляется по формуле.

Задание 233.

Найти наименьшее и наибольшее значение функции в замкнутой области, ограниченной заданными линиями.

Решение.

Частные производные:

На прямой АВ: \

На прямой АС:

На прямой ВС:

Z наибольшее =5; z наименьшее =-117.

О(0;0)

Y

X

Использованная литература:

1 Ткачук В.В. Математика абитуриенту:-М:МЦНМО,2002 г.

2 Сканави М.И. 2500 задач по математике для поступающих в вузы:

-М: Оникс 21 век, 2005 г.

3 Мельников И.И. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. 3-е издание, переработанное: учебник/ И.И Мельников, И.Сергеев.-М:УНЦДО, 2004 г.