Министерство науки и образования Украины

Национальный технический университет Украины

"Киевский политехнический институт"

Радиотехнический факультет

Контрольная работа

По курсу: "Основы научных исследований"

Тема: "Методика регрессионного анализа"

Киев 2007

Нахождение коэффициентов регрессии модели полнофакторного эксперимента типа 2³

Факторный эксперимент связан с варьированием одновременно всех факторов и проверкой достоверности результатов математико-статистическими методами. Факторы в эксперименте можно варьировать на бесконечном множестве уровней. При планировании эксперимента, чтобы получить результаты эксперимента в виде удобных для анализа полиномов, достаточно изменять факторы на двух, трех или пяти уровнях. Проведение экспериментов с многоуровневыми факторами затруднительно, поэтому они находят ограниченное применение в практике инженерного эксперимента.

Таблица 1

Номер

комбинации

Факторы

Произведения факторов

Параметры оптимизации

(экспертная оценка)

Параметр

оптимизации

_

Ф

И

С

x0

x1

x2

x3

x1x2

x1x3

x2x3

x1x2x3

y1

y2

y3

1

1

-1

-1

-1

1

1

1

-1

0

0

0

0

2

1

1

-1

-1

-1

-1

1

1

31

28

47

35,3

3

1

-1

1

-1

-1

1

-1

1

12

9

10

10,3

4

1

1

1

-1

1

-1

-1

-1

60

52

64

58,7

5

1

-1

-1

1

1

-1

-1

1

1

3

2

2

6

1

1

-1

1

-1

1

-1

-1

54

59

50

54,3

7

1

-1

1

1

-1

-1

1

-1

41

41

40

40,7

8

1

1

1

1

1

1

1

1

91

92

90

91

Среднее значение

24,8

Модель для ПФЭ типа выглядит следующим образом:

Коэффициенты уравнения регрессии по методу наименьших квадратов в матричной форме определяем следующим образом [1, с. 53-55]:

Выражение - квадратная симметричная матрица – называется матрицей системы нормальных уравнений, или информационной матрицей (матрицей Фишера); – ковариационная матрица, или матрица дисперсий ковариаций.

Ковариация показывает величину статистической взаимосвязи между эффектами модели x_i и x_j:

Также коэффициенты ковариаций можно определить из ковариационной матрицы:

Из матрицы видно, что коэффициенты ковариаций каждого эффекта с каждым равны нулю, отсюда делаем вывод, что коэффициенты уравнения регрессии не коррелированны между собой.

Проверка многофакторных статистических моделей по основными критериям качества

Проверка на статистическую значимость получаемой математической модели [1, с. 93-94]

Проводиться проверка статистической гипотезы о силе влияния факторов плана эксперимента на фоне случайной изменчивости повторных опытов:

Где – среднее значения результатов опытов в u-той строке матрицы результатов; – среднее значение по всем результатам опытов; - результат в u-той строке l-го повторного опыта; (n – количество повторных опытов (2))

По таблице (приложение 3) определяем 3,73

Поскольку (53,935>3,73), то делаем положительный вывод о целесообразности получения математической модели.

Проверки предпосылок о свойствах случайных ошибок входящие в результаты экспериментов [1, с. 93]

При равномерном дублировании опытов n_u = n = const (в нашем случае n = 2). Проверка однородности ряда дисперсий производиться с использованием G-критерия Кохрена:

- вычисляется по формуле:

Число степеней свободы, которыми обладает каждая из дисперсий: n – 1 = 1;

Количество независимых оценок дисперсий: N = 8

По указанным индексам находим значение из таблицы "Критерий Кохрена" (приложение 1)

Так как то делаем вывод, что дисперсии однородны и могут быть усреднены:

Проверка на адекватность полученной модели произвольным результатам экспериментов в пределах принятых изменений факторов [1, с. 94-95]

Проверка коэффициентов уравнения регрессии на статистическую значимость проводиться с помощью t-критерия:

Для значения α = 0,05, получим α/2 = 0,025 и значение t-критерия Стьюдента равно . Поскольку в матрице дисперсий-ковариаций не нулевые только диагональные элементы и равны между собой (), то все доверительные интервалы равны между собой:

Теперь проверим все коэффициенты на статистическую значимость исходя из условия: если – то коэффициент статистически значим, если – то коэффициент статистически не значим.

коэффициент

b₀

b₁

b₂

b₃

b₄

b₅

b₆

b₇

36,542

23,292

13,625

10,458

1,375

2,375

5,208

1,875

Статистически значим

+

+

+

+

-

+

+

-

Таким образом мы получили, что коэффициенты b₄ и b₇ – статически не значимы, поэтому мы не будем вносить их в нашу модель. И окончательный вид модели будет таким:

Число = 6 – количество эффектов, которые вошли в структуру модели, то есть статистически значимые.

Значения откликов, полученных с помощью последней модели:

Отклик

y₁

y₂

y₃

y₄

y₅

y₆

y₇

y₈

-3.25

38.584

13.584

55.418

2.5

53.834

40.166

91.5

3.25

3.251

3.251

3.249

0.5

0.499

0.501

0.5

Проверка модели на адекватность производиться с использованием F-критерия Фишера:

Где – числа степеней свободы для и :

Просчитаем экспериментальное значение:

По таблицам значения критерия Фишера (приложения 3) для q = 0,05 находим:

Так как выполняется условие значит модель адекватна.

Так как у нас , то нет необходимости определять значимость обратного отношения дисперсий.

Проверка на информативность [1, с. 97-99]

Коэффициент множественной корреляции R определяется по формуле:

Посчитанное значение R = 0,997 которое очень близко к единице.

Гипотезу о значимости множественного коэффициента корреляции проверяют по F-критерию:

Где – суммы квадратов отклонений – связанная с коэффициентом модели и остаточная; – числа степеней свободы для и .

В нашем случае:

По таблицам значения критерия Фишера для q = 0,05 находим:

Поскольку , то гипотеза о статистической незначимости R не принимается – это значит, что коэффициент множественной корреляции R является статистически значимым.

Проверка на устойчивость коэффициентов математической модели к случайным составляющим в исходной информации [1, с. 99-101]

Коэффициенты математической модели должны быть устойчивы к малым случайным изменениям в исходных данных, полученных в процессе эксперимента. Для количественно показателя устойчивости коэффициентов математической модели будем использовать меру обусловленности матрицы по Нейману-Голдстейну.

Для определения меры обусловленности по Нейману-Голдстейну P необходимо найти собственные числа для матрицы Фишера , решая уравнение:

Где – собственные числа для информационной матрицы Фишера

Поскольку коэффициенты b₄ и b₇ статистически незначимы, тога соответствующие столбцы матрицы X отбрасываются и размер матрицы становится , размер обратной матрицы - , а размер матрицы Фишера - :

Так как все эффекты в матрице Фишера ортогональны друг другу и нормированы, то:

Находят – максимальное и минимальное собственное число для информационной матрицы Фишера :

Мера обусловленности по Нейману-Голдстейну:

Другая мера обусловленности матрицы обозначается латинским сокращением cond:

- обозначение нормы матрицы. При этом предполагается, что матрица невырождена.

Известны несколько видов норм для матрицы А. Каждой из векторных норм соответствует своя подчиненная норма матрицы. Будем использовать следующую форму:

что означает выбор по всем столбцам j максимальной суммы абсолютных значений элементов по строкам i (m – число строк матрицы А).

Так как все эффекты в расширенной матрице X ортогональны друг другу, то:

Для матрицы каждая по столбцам . Для матрицы каждая по столбцам .

Число обусловленности в этом случае будет:

Что подтверждает результат, полученный предыдущим методом.

Проверка фактической эффективности извлечения полезной информации из исходных данных [1, с. 101-102]

Косвенным показателем эффективности может быть число обусловленности cond для полученной модели. Так как значит эффективность можно считать хорошей.

Проверка правильности описания полученной математической модели по всей области моделирования [1, с. 102]

Полученную математическую модель желательно проверить по контрольной выборке. С использованием ПС ПРИАМ можно построить трехмерное изображение поверхности отклика, и проанализировать полученную поверхность, сравнивая минимальные и максимальные расчетные значения с допустимыми физическими значениями отклика. Возможен также поиск минимума и максимума по модели с использованием ЛПτ равномерно распределенных последовательностей и сравнения с физически возможными значениями отклика.

Оценка семантичности по полученным коэффициентам математической модели [1, с. 102-103]

Семантичность достигается, если эффекты статистической модели ортогональны друг другу, нормированы и план эксперимента равномерный. Выбор структуры модели должен быть проведен с использованием алгоритма RASTA3 и ПС ПРИАМ.

В нашем случае все эффекты полученной модели ортогональны друг другу и нормированы, план эксперимента мы выбрали равномерный, следовательно семантичность достигается.

Проверка свойств остатков [1, с. 103, 364-366]

Анализ основных графиков остатков

Общая оценка свойств полученной математической модели и возможностей ее использования для достижения поставленной цени

Из вышеприведенных расчетов и проверок можно сделать вывод, что данная математическая модель является адекватной для ее использования в поставленных задачах.

Литература

1. Рядченко С.Г. Устойчивые методы оценивания статистических моделей. Монография. – К.: ПП "Санспарель", 2005. – 504 с.

2. Большов Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики

Приложения

1. Значение критерия Кохрена G_1-q для q = 0,05. Все значения G_1-q меньше единицы, поэтому в таблице приведены лишь знаки, следующие после запятой.

2. Значения критерия Стьюдента (t - критерия)

3. Значения критерия Фишера F_1-q для q = 0,05