Обробка результатів прямих багатократних рівно точних статистичних вимірювань

Хід роботи

1. Схема вимірювань та початкові дані.

1. Схема вимірювань:

Генератор

Г3-109

Частотомір

Ч3-64/1

2. Початкові дані:

• номінальне значення частоти генератора – 270 Гц;

• точність установки частоти генератора – ± 1,5%;

• початковий статистичний ряд:

Табл. 1

Номер вимірювання

Значення частоти, Гц

Номер вимірювання

Значення частоти, Гц

1

269,508

24

269,597

2

269,441

25

269,550

3

269,627

26

269,517

4

269,442

27

269,417

5

269,520

28

269,442

6

269,604

29

269,476

7

269,627

30

269,535

8

269,522

31

269,521

9

269,476

32

269,623

10

269,451

33

269,583

11

269,515

34

269,457

12

269,439

35

269,441

13

269,509

36

269,487

14

269,508

37

269,516

15

269,508

38

269,528

16

269,526

39

269,499

17

269,572

40

269,453

18

269,523

41

269,518

19

269,580

42

269,556

20

269,511

43

269,543

21

269,520

44

269,445

22

269,528

45

269,536

23

269,588

2. Обчислення оцінок основних статистичних характеристик.

Найчастіше на практиці описують оцінки таких характеристик:

1. оцінка середнього значення Ā:

Гц

Ā – характеризує найбільш очікуване значення фізичної величини.

2) оцінка середнього квадратичного відхилення результатів вимірювання від середнього значення:

Гц

S – міра розсіювання (розкиду) результатів вимірювань від середнього значення.

3) оцінка дисперсії розсіювання результатів вимірювань:

Гц²

4) оцінка коефіцієнта асиметрії:

A – характеризує несиметричність розподілу результатів вимірювань відносно середнього значення.

5) оцінка коефіцієнта асиметрії:

E – характеризує плосковершинність кривої розподілу.

Всі обчислення подаємо у вигляді таблиці:

Табл. 2

Номер вимірювання

ai

(ai – Ā)

(ai – Ā)²

(ai – Ā)³

(ai – Ā)

1

269,508

-0,009

0,000081

-0,000000729

0,000000007

2

269,441

-0,076

0,005776

-0,000438976

0,000033362

3

269,627

0,110

0,012100

0,001331000

0,000146410

4

269,442

-0,075

0,005625

-0,000421875

0,000031641

5

269,520

0,003

0,000009

0,000000027

0,000000000

6

269,604

0,087

0,007569

0,000658503

0,000057290

7

269,627

0,110

0,012100

0,001331000

0,000146410

8

269,522

0,005

0,000025

0,000000125

0,000000001

9

269,476

-0,041

0,001681

-0,000068921

0,000002826

10

269,451

-0,066

0,004356

-0,000287496

0,000018975

11

269,515

-0,002

0,000004

-0,000000008

0,000000000

12

269,439

-0,078

0,006084

-0,000474552

0,000037015

13

269,509

-0,008

0,000064

-0,000000512

0,000000004

14

269,508

-0,009

0,000081

-0,000000729

0,000000007

15

269,508

-0,009

0,000081

-0,000000729

0,000000007

16

269,526

0,009

0,000081

0,000000729

0,000000007

17

269,572

0,055

0,003025

0,000166375

0,000009151

18

269,523

0,006

0,000036

0,000000216

0,000000001

19

269,580

0,063

0,003969

0,000250047

0,000015753

20

269,511

-0,006

0,000036

-0,000000216

0,000000001

21

269,520

0,003

0,000009

0,000000027

0,000000000

22

269,528

0,011

0,000121

0,000001331

0,000000015

23

269,588

0,071

0,005041

0,000357911

0,000025412

24

269,597

0,080

0,006400

0,000512000

0,000040960

25

269,550

0,033

0,001089

0,000035937

0,000001186

26

269,517

0,000

0,000000

0,000000000

0,000000000

27

269,417

-0,100

0,010000

-0,001000000

0,000100000

28

269,442

-0,075

0,005625

-0,000421875

0,000031641

29

269,476

-0,041

0,001681

-0,000068921

0,000002826

30

269,535

0,018

0,000324

0,000005832

0,000000105

31

269,521

0,004

0,000016

0,000000064

0,000000000

32

269,623

0,106

0,011236

0,001191016

0,000126248

33

269,583

0,066

0,004356

0,000287496

0,000018975

34

269,457

-0,060

0,003600

-0,000216000

0,000012960

35

269,441

-0,076

0,005776

-0,000438976

0,000033362

36

269,487

-0,030

0,000900

-0,000027000

0,000000810

37

269,516

-0,001

0,000001

-0,000000001

0,000000000

38

269,528

0,011

0,000121

0,000001331

0,000000015

39

269,499

-0,018

0,000324

-0,000005832

0,000000105

40

269,453

-0,064

0,004096

-0,000262144

0,000016777

41

269,518

0,001

0,000001

0,000000001

0,000000000

42

269,556

0,039

0,001521

0,000059319

0,000002313

43

269,543

0,026

0,000676

0,000017576

0,000000457

44

269,445

-0,072

0,005184

-0,000373248

0,000026874

45

269,536

0,019

0,000361

0,000006859

0,000000130

На практиці оцінюється значущість коефіцієнтів вимірювань.

Для цього обчислюємо дисперсії коефіцієнтів A і E:

,

Якщо виконується умова, що

і ,

то робиться висновок, що коефіцієнти незначущі, а значить ними можна знехтувати. В протилежному випадку коефіцієнти є значущі, а значить вони повинні бути враховані при виборі математичної моделі для опису розподілу результатів вимірювань.

Висновок: для нормального закону розподілу результатів вимірювань коефіцієнти A і E рівні нулю, тому якщо на практиці ми отримали А0 і Е0 або ними можна знехтувати, то з великою достовірністю можна говорити, що наші результати розподіляються за нормальним законом. В нашому випадку А і Е не дорівнюють нулю, тому, що ми маємо дуже мало вимірювань проте вони є незначущі (0,2271,049 і 0,7173,277), а значить ними можна знехтувати. Звідси слідує, що дійсно наші результати розподіляються за нормальним законом розподілу.

Грубі похибки та промахи повинні бути виявленні і відкинуті з результатів вимірювань. З цією метою використовується спеціальний статистичний критерій – критерій Стьюдента.

В роботі використовуємо критерій – правило трьох у.

Початковий статистичний ряд представимо у вигляді такого графіка:

статистичний коефіцієнт середній стьюдент

На графік наносимо середнє значення і межі (границі):

• верхню Ā+3S;

• нижню Ā-3S.

Висновок: грубих похибок і промахів не виявлено; початковий ряд є однорідним; приведемо його характеристики: n=45, Ā=269.517 Гц, S=0.055 Гц

Додатково перевіримо наявність грубих похибок використовуючи коефіцієнти Стьюдента. Для цього знаходимо на графіку максимальне і мінімальне значення і обчислюємо квантиль t₁ і t_2:

Для n = 45 при p = 0.98 t_доп. = 2,4

t₁ t_доп., t₂ t_доп.

За допомогою коефіцієнтів Стьюдента ми ще раз підтвердили, що грубі похибки і промахи відсутні, статистичний ряд є однорідним.

Експериментальний розподіл отримують у вигляді гістограми.

Порядок побудови гістограми:

1. однорідний ряд розміщуємо в порядку зростання;

2. обчислюємо розмах значень:

;

3. відрізок розділяємо на рівних інтервалів:

;

4. обчислюємо ширину інтервалу гістограми:

;

5. обчислюємо межі кожного інтервалу, результати записуємо у таблицю 3.

Табл. 3

Номер вимірювання

Межі інтервалів

n_j

p_j

1

269,417 ч 269,447

7

0.155556

2

269,447 ч 269,477

5

0.111111

3

269,477 ч 269,507

2

0.044444

4

269,507 ч 269,537

19

0.422222

5

269,537 ч 269,567

3

0.066667

6

269,567 ч 269,597

5

0.111111

7

269,597 ч 269,627

4

0.088889

6. підраховуємо число попадання результатів вимірювань в кожен інтервал n_j;

7. обчислюємо імовірності попадань результатів вимірювань в кожен інтервал ;

8. будуємо гістограму:

Для цього на кожному інтервалі будуємо прямокутник площа якого дорівнює p_j.

Гістограма – це експериментальний аналог густини розподілу.

Крім гістограми є ще інші варіанти представлення експериментальних розподілів:

• у вигляді полігону розподілу;

• у вигляді функції накопичених частот.

Вибір математичної моделі проводиться з урахуванням:

• вигляду гістограми;

• факту, що в більшості випадків математичною моделлю виступає функція Гауса (нормальний закон розподілу).

Враховуючи сказане і вигляд гістограми вибір математичної моделі розпочинаємо з функції Гауса:

.

На практиці використовують нормований варіант задання нормального закону розподілу.

Умови нормування:

• m = 0;

• у = 1.

Після нормування функція Гауса має такий вигляд:

Гістограму також треба представити у нормованому вигляді. Тобто і .

Номер інтервалу

Нормовані межі інтервалів

Експериментальні імовірності (р_j)

Теоретичні імовірності (p_j^*)

1

-1,818 ч -1,273

0.15556

0,067

2

-1,273 ч -0,727

0.11111

0,132

3

-0,727 ч -0,182

0.04444

0,194

4

-0,182 ч 0,364

0.42222

0,214

5

0,364 ч 0,909

0.06667

0,176

6

0,909 ч 1,445

0.11111

0,109

7

1,445 ч 2

0.08889

0,05

,

Для вирішення цієї задачі використаємо критерій, який так і називається, критерій узгодженості.

Серед них найчастіше використовуються:

• критерій Пірсона (критерій ч²);

• критерій Колмогорова;

• критерій щ² та інші.

В роботі використовуємо критерій Пірсона.

p_j

p_j^*

(p_jp_j^*)

(p_jp_j^*)²

(p_jp_j^*)²/ p_j^*

0.15556

0.067

0.089

0.00792

0.118

0.11111

0.132

-0.021

0.00044

0.003

0.04444

0.194

-0.150

0.0225

0.116

0.42222

0.214

0.208

0.04326

0.202

0.06667

0.176

-0.109

0.01188

0.068

0.11111

0.109

0.002

0.000004

0.00004

0.08889

0.050

0.039

0.00152

0.03

∑ = 0.537

Величина служить мірою розбіжності експериментального розподілу і вибраної математичної моделі.

Вибираємо довірчу імовірність .

Обчислюємо рівень значимості .

Обчислюємо число вільності , де k – кількість інтервалів гістограми .

За цими даними із таблиці розподілу Пірсона .

Висновок: математична модель (функція Гауса) не описує експериментальний розподіл, потрібно вибрати наступну математичну модель, наприклад, якщо експериментальний розподіл є симетричним трикутноподібну, або іншу.