Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

Валентин Подвысоцкий

Уравнение:

X⁴ + TX² + PX + Q = 0

(1)

имеет четыре корня X₁, X₂, X₃, X₄.

Известно, что:

X₁ + X₂ + X₃ + X₄ = 0,

(2)

X₁X₂ + X₁X₃ + X₁X₄ + X₂X₃ + X₂X₄ + X₃X₄ = T,

(3)

X₁X₂X₃ + X₁X₂X₄ + X₁X₃X₄ + X₂X₃X₄ = –P,

(4)

X₁X₂X₃X₄ = Q.

(5)

Путем простых алгебраических преобразований из соотношений (2), (3), (4) получаем:

X₁X₂ + X₃X₄ = T + (X₁ + X₂)²,

(6)

(X₁ + X₂)(X₁X₂ – X₃X₄) = P.

(7)

Составляем квадратное уравнение:

Y² – (X₁X₂+X₃X₄)Y + X₁X₂X₃X₄ = 0,

(8)

где Y₁ = X₁X₂, Y₂ = X₃X₄.

Используя ф-лы (5), (6), (7) и обозначая A = (X₁ + X₂)² перепишем уравнение (8) в виде:

Y² – (T + A)Y + Q = 0.

Решая уравнение (8) получаем:

X₁X₂ = ¹/₂(T + A² + ([T + А]² – 4Q)^1/2),

(9)

X₃X₄ = ¹/₂(T + A² – ([T + A]² – 4Q)^1/2).

(10)

Таким образом, используя ф-лы (9), (10) получаем:

X₁X₂ – X₃X₄ = ([T + A]² – 4Q)^1/2.

(11)

Учитывая, что A^1/2 = X₁ + X₂ перепишем формулу (7) в виде:

X₁X₂ – X₃X₄ = Р/А^1/2.

(12)

Подставляя в ф-лу (12) ф-лу (11) получаем

P/A^1/2 = ([T + A]² – 4Q)^1/2.

(13)

Путем простых алгебраических преобразований из ф-лы (13) получаем кубическое уравнение относительно переменной А:

A³ + 2TA² + (T² – 4Q)A – P² = 0.

(14)

Таким образом решение уравнение четвертой степени (1) сводится к решению кубического уравнения (13), где A=(X₁+X₂)² и двух квадратных уравнений:

X² – (X₁ + X₂)X + X₁X₂ = 0,

(15)

X² – (X₃ + X₄)X + X₃X₄ = 0.

(16)

Используя ф-лы (9), (10) и учитывая, что X₁ + X₂ = – (X₃+X₄) перепишем ф-лы (15), (16) в виде:

X² – A^1/2X + ¹/₂(T+A + ([T + A]² – 4Q)^1/2) = 0,

(17)

X² + A^1/2X + ¹/₂(T+A – ([T + A]² – 4Q)^1/2) = 0.

(18)

Полное уравнение четвертой степени X⁴ + KX³ + TX² + PX + Q = 0 сводится уравнению (1) путем замены переменной X на переменную Y = X + K/4.