Основы научного исследования и планирование экспериментов на транспорте

ВВЕДЕНИЕ

Современный этап научных исследований характеризуется тем, что наряду с классическим натурным экспериментом все шире применяется вычислительный эксперимент, проводимый на математической модели с помощью ЭВМ. Проведение вычислительного эксперимента значительно дешевле и мобильнее, чем проведение аналогичного натурного, и в ряде случаев вычислительный эксперимент является единственным возможным инструментом исследователя.

Математический аппарат теории планирования и обработки результатов экспериментов в полной мере может быть применен как к натурным, так и к вычислительным экспериментам. В данной контрольно-курсовой работе под проводимым экспериментом будем понимать эксперимент на математической модели, выполненный при помощи ЭВМ.

Основная задача теории планирования и обработки результатов экспериментов – это построение статистической модели изучаемого процесса в виде Y = f(X₁, X₂,…X_k), где X – факторы, Y – функция отклика. Полученную функцию отклика можно использовать для оптимизации изучаемых процессов, то есть определять значения факторов, при которых явление или процесс будет протекать наиболее эффективно.

Объект исследования – одноцилиндровый четырехтактный дизельный двигатель ТМЗ-450Д.

Предмет исследования – процесс функционирования двигателя.

Цель исследования – анализ влияния одного из параметров двигателя на показатели его работы и получение соответствующей функциональной зависимости

ЗАДАНИЕ

Область планирования фактора X: X_min = 0,012 м, X_max = 0,055 м.

План проведения эксперимента:

№ опыта

x_j

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,2

0,4

0,6

0,8

Используя приведенные исходные данные и программу расчета функционирования двигателя, проанализировать влияние радиуса кривошипа (X) на величину максимальной температуры (Y) рабочего тела в цилиндре двигателя. Получить функциональные зависимости между указанными величинами.

ПОДГОТОВКА ПЛАНА ПРОВЕДЕНИЯ ОДНОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Используя указанный в задании план проведения эксперимента в кодовом виде, а также область планирования фактора Х (Х_min, Х_max), подготовим план проведения данного однофакторного эксперимента.

;

где - интервал (шаг) варьирования фактора;

- натуральное значение основного уровня фактора;

- кодированное значение фактора x;

- натуральное значение фактора в j-ом опыте, где j = 1, 2,…, N; N – число опытов.

В дальнейших расчетах будем использовать только натуральные значения факторов и функции отклика.

ПЛАН ЭКСПЕРИМЕНТА И РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ

Используя выданную преподавателем программу расчета (математическую модель) проведем на ЭВМ необходимое количество опытов N. Полученные результаты представим в виде таблицы 1.

Табл. 1

№ опыта

X_j

Y_j

0,012

3601,8348

0,0163

2712,4310

0,0206

2195,4343

0,0249

1855,3637

0,0292

1626,8644

0,0335

1461,2450

0,0378

1339,577

0,0421

1250,5135

0,0464

1173,9877

0,0507

1126,4606

0,055

1092,5573

УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ

Получим функциональную зависимость Y = f(X) (уравнение регрессии) с помощью метода наименьших квадратов (МНК). В качестве аппроксимирующих функций использовать линейную (Y = a₀ + a₁X) и квадратичную зависимости (Y = a₀ + a₁X + a₂X²). Посредством МНК значения a₀, a₁ и a₂ найдем из условия минимизации суммы квадратов отклонений измеренных значений отклика Y_j от получаемых с помощью регрессионной модели, т. е. путем минимизации суммы:

Проведем минимизацию суммы квадратов с помощью дифференциального исчисления, путем приравнивания к 0 первых частных производных по a₀, a₁ и a₂.

Рассмотрим реализацию метода наименьших квадратов применительно к уравнению вида Y = a₀ + a₁X. Получим:

;

Выполнив ряд преобразований, получим систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов:

Решая эту систему, найдем коэффициенты a₁ и a₀:

; .

Для квадратичной зависимости Y = a₀ + a₁X + a₂X² система нормальных уравнений имеет вид:

Вычислим из N опытов необходимые суммы и данные представим в виде таблицы 2.

Табл. 2

№ опыта

X_j

Y_j

X_j²

X_j Y_j

X_j²Y_j

X_j³

X_j⁴

0,012

3601,8348

0,000144

43,222017

0,5186642

0,0000017

0,000000020736

0,0163

2712,4310

0,0002656

44,212625

0,7204216

0,0000043

0,0000000705433

0,0206

2195,4343

0,0004243

45,225946

0,9315227

0,0000087

0,0000001800304

0,0249

1855,3637

0,00062

46,198556

1,1503254

0,0000154

0,0000003844

0,0292

1626,8644

0,0008526

47,50444

1,3870645

0,0000248

0,0000007269267

0,0335

1461,2450

0,0011222

48,951707

1,6398091

0,0000375

0,0000012593328

0,0378

1339,577

0,0014288

50,63601

1,9139876

0,000054

0,0000020414694

0,0421

1250,5135

0,0017724

52,646618

2,2164101

0,0000746

0,0000031414017

0,0464

1173,9877

0,0021529

54,473029

2,52747781

0,0000998

0,0000046349784

0,0507

1126,4606

0,0025704

57,111552

2,8954543

0,0001303

0,0000066069561

0,055

1092,5573

0,003025

60,090651

3,3049858

0,0001663

0,000009150625

0,3685

19436,266

0,0143782

550,27311

19,206122

0,0006174

0,0000282173998

Для уравнения регрессии вида Y = a₀ + a₁X найдем коэффициенты a₁ иa₀:

Для уравнения регрессии вида Y = a₀ + a₁X + a₂X² найдем коэффициенты a₁, a₂ иa₀:

Решим систему нормальных уравнений способом Крамера:

Найдем определитель (det) матрицы:

РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ В ГРАФИЧЕСКОМ ВИДЕ

Построим графики функций Y = a₀ + a₁X ; Y = a₀ + a₁X + a₂X²:

0,012

0,0163

0,0206

0,0249

0,0292

0,0335

0,0378

0,0421

0,0464

0,0507

0,055

Y=a_o+a₁X

2833,143

2619,9

2406,658

2193,415

1980,172

1766,929

1553,686

1340,443

1127,2

913,9573

700,7144

Y=a₀+a₁X+a₂ X²

3215,923

2748,207

2330,714

1963,444

1646,397

1379,574

1162,973

996,5962

880,4424

814,5117

798,8043

ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ И РАБОТОСПОСОБНОСТИ МОДЕЛИ

Для проверки адекватности модели определим абсолютные Y_j и относительные погрешности в каждом из опытов.

Y_j = - Y_j; ,

где – расчетное значение функции (отклика) в j-ой точке.

Данные представим в виде таблицы 3.

Табл. 3

Y = a₀ + a₁X

Y = a₀ + a₁X + a₂X²

Y_j

-768,6918

-0,21342

-385,9118

-0,10714

-92,531

-0,03411

35,776

0,01319

211,2237

0,09621

135,2797

0,06162

338,0513

0,1822

108,0803

0,05825

353,3076

0,21717

19,5326

0,012

305,684

0,20919

-81,671

-0,05589

214,109

0,15983

-176,604

-0,13183

89,9295

0,07191

-253,9173

-0,20305

-46,7877

-0,0398

-293,5453

-0,25004

-212,5033

-0,1886

-311,9489

-0,27693

-391,8429

-0,35865

-293,753

-0,26887

Просматривая значения этих погрешностей, исследователь может легко понять, какова погрешность предсказания в точках, где проводились опыты, устраивают его или нет подобные ошибки. Таким образом, путем сопоставления фактических значений отклика с предсказанными по уравнению регрессии можно получить достаточно надежное свидетельство о точностных характеристиках модели.

С помощью анализа работоспособности регрессионной модели выясним практическую возможность ее использования для решения какой-либо задачи. Это анализ будем проводить, вычисляя коэффициент детерминации (квадрат корреляционного отношения). Коэффициент детерминации R² вычисляется по формуле:

где – общее среднее значение функции отклика.

Вычислим из N опытов необходимые суммы и данные представим в виде таблицы 4.

Табл. 4

Y = a₀ + a₁X

Y = a₀ + a₁X + a₂X²

3366863,62479

1136803,18835

1952571,23764

893965,95743

727552,24249

853898,13319

183613,13271

409247,73017

312848,71152

7819,94095

181886,66602

37616,467

19619,28834

45470,75597

14328,99238

93445,31841

0,00002

147047,20405

182633,3815

45474,39816

359786,00774

266689,37885

181893,9504

589419,20142

351584,44898

409258,65674

602866,06259

410205,24101

727568,0054

801506,847

454782,94891

1136822,67874

759273,70255

6231222,66188

5001978,27246

5732724,84892

Для уравнения регрессии Y = a₀ + a₁X:

Для уравнения регрессии Y = a₀ + a₁X + a₂X²:

Т.к. в уравнениях регрессии оба уравнения принято считать работоспособными. В уравнении регрессии вида Y = a₀ + a₁X + a₂X²

, а в уравнении регрессии вида Y = a₀ + a₁X . Из этого следует, что в уравнении вида Y = a₀ + a₁X + a₂X² найденное значение регрессии лучше объясняет вариацию в значениях Y (N >> (d+1)), чем в уравнении вида Y = a₀ + a₁X.

ВЫВОД

В процессе выполнения контрольно-курсовой работы мы научились:

- разрабатывать план проведения вычислительного эксперимента;

- проводить вычислительный эксперимент на ЭВМ и накапливать статистическую информацию;

- обрабатывать полученные статистические данные с помощью регрессионного анализа и получать формульные зависимости, связывающие значение выходной переменной (отклика) объекта с входными переменными (факторами);

- графически представлять и анализировать полученные результаты (проверять адекватность и работоспособность регрессионной модели);

- вычислять коэффициент детерминации (квадрат корреляционного отношения) и анализировать полученные результаты.