Заказ №1459

№1

Округлить сомнительные цифры числа а, оставив верные цифры: а) в узком смысле; б) в широком смысле. Определить абсолютную погрешность результата.

Решение

а) По условию . Следовательно, в числе верными в узком смысле являются четыре цифры: 3, 7, 8, 5. Округляем число a до четырех

значащих цифр: . Тогда

Так как , то число a₁ имеет три верные цифры: 3, 7, 8. Округляем число a до трех значащих цифр: . Тогда

Так как , то число a₂ имеет две верные цифры: 3, 7. Округляем число a до двух значащих цифр: . Тогда

Так как , то две оставшиеся цифры результата верны в узком смысле. Таким образом,

б) Представим в виде и найдем

примем. Так как , то число a = 4,571 имеет три верные в широком смысле цифры: 4, 5, 7. Округляем число a до трех значащих цифр: . Тогда

Так как, то три оставшиеся цифры результата верны в широком смысле. Таким образом,

.

Ответ: а) , ;

б) ,

№2

Найти интерполяционный многочлен Лагранжа для данной функции f (x) с заданными узлами x_k (k = 0, 1, 2, 3)

Решение

Прежде всего, заметим, что

Применяя формулу (3) при n = 3, получим:

Ответ:

№3

Методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу вида y = ax + b по данным опыта, представленным таблицей

х

1

2

3

4

5

у

1,8

1,3

3,3

4,8

3,8

Решение

Результаты предварительных вычислений вносим в таблицу

0

1

2

3

4

1

2

3

4

5

1,8

1,3

3,3

4,8

3,8

1,8

2,6

9,9

19,2

19

1

4

9

16

25

15

15

52,5

55

Нормальная система уравнений принимает вид

Следовательно, искомая эмпирическая формула

Ответ:

№4

Вычислить данный интеграл с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Вычисления производить с округлением до четвертого десятичного знака.

Решение

Определяем значения подынтегральной функции при для следующих значений аргумента

Находим соответствующие значения функции :

Тогда получаем

Ответ:

№5

Отделить корни данного уравнения аналитически и уточнить больший из них методом Ньютона с точностью до

Решение

Отделим корни данного уравнения аналитически. Находим

Составляем таблицу знаков функции

-

+

-

+

Уравнение имеет три действительных корня:

Уменьшим отрезки, содержащие корни, до длины, равной 1

-3

-2

0

1

2

3

-

+

+

-

-

+

Значит,

Уточним больший корень заданного уравнения методом Ньютона. Имеем

при . Поэтому для использования метода Ньютона выбираем , причем

. Все вычисления сводим в таблицу

0

1

2

3

4

3

2,3495

2,0809

2,0285

2,0265

67

15,4003

2,1721

0,0765

-0,0005

103

57,3388

41,4471

38,5488

38,4394

0,651

0,267

0,0524

0,0020

0

2,3495

2,0809

2,0285

2,0265

2,0265

Искомый корень

Ответ:

№6

Используя метод Эйлера, составить таблицу приближенных значений решения данного дифференциального уравнения y’ = f (x, y), удовлетворяющего начальному условию y(1) = 0, на отрезке [1; 1,05] с шагом h = 0,01. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой

Решение

Находим последовательные значения аргумента

Обозначим

Для удобства вычислений составим таблицу

0

1

2

3

4

5

1

1,01

1,02

1,03

1,04

1,05

0

0,01

0,0199

0,0297

0,0395

0,0491

1

0,9907

0,9824

0,9750

0,9686

0,01

0,0199

0,0297

0,0395

0,0491

Таким образом, имеем следующую таблицу

х

1

1,01

1,02

1,03

1,04

1,05

у

0

0,01

0,0199

0,0297

0,0395

0,0491

Ответ: таблица.