Регрессионный анализ

Задача

Некоторая фирма занимается поставками различных грузов на короткие расстояния внутри города. Необходимо оценить стоимость таких услуг, зависящую от затрачиваемого на поставку времени. В качестве наиболее важного фактора, влияющего на время доставки, выбрано пройденное расстояние. Были собраны исходные данные о десяти поставках (табл.).

Расстояние, км

3,5

2,4

4,9

4,2

3,0

1,3

1,0

3,0

1,5

4,1

Время, мин

16

13

19

18

12

11

8

14

9

16

Постройте график исходных данных, определите по нему характер зависимости между расстоянием и потраченным временем, постройте уравнение регрессии, проанализируйте силу регрессионной связи и сделайте прогноз поездки на 2 км.

Решение

Для расчёта стоимости услуг, зависящих от затрачиваемого на поставку времени, вычислим суммы (рис. 1):

 

t

y(t)

 

 

 

 

 

 

расстояние.

время

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3,50

16,00

12,25

56,00

256,00

15,22

2,63

2

2,40

13,00

5,76

31,20

169,00

12,30

1,70

3

4,90

19,00

24,01

93,10

361,00

18,95

28,58

4

4,20

18,00

17,64

75,60

324,00

17,08

12,14

5

3,00

12,00

9,00

36,00

144,00

13,89

0,09

6

1,30

11,00

1,69

14,30

121,00

9,37

17,88

7

1,00

8,00

1,00

8,00

64,00

8,57

25,27

8

3,00

14,00

9,00

42,00

196,00

13,89

0,09

9

1,50

9,00

2,25

13,50

81,00

9,90

13,67

10

4,10

16,00

16,81

65,60

256,00

16,82

10,36

сумма

28,9

136,0

99,4

435,3

1 972,0

136,0

112,4

 

 

13,60

 

 

 

 

 

a1 =

2,66

 

 

 

 

 

 

a0 =

5,91

 

 

 

 

 

 

r2 =

0,92

91,83%

 

 

 

 

 

 

8,17

 

 

 

 

 

 

Рис .1 - График исходных данных

Вывод: существует сильная связь между исходными данными.

Задача

В таблице приведены данные по объемам собранного урожая овощей из тепличного хозяйства за последний год (по месяцам), а также данные о затраченной электроэнергии, воде и удобрениях.

Месяц

Объем собранного урожая

Факторы, влияющие на урожай

Электроэнергия, кВт

Удобрения, тонн

Вода, литр

t

y

x₁

x₂

x₃

январь

140

165

138

134

февраль

138

164

139

128

март

158

158

157

168

апрель

144

159

142

147

май

142

148

144

146

июнь

134

152

136

140

июль

122

143

122,5

132

август

125

146

128

135

сентябрь

124

148

119

125

октябрь

138

150

142

126

ноябрь

157

156

159

143

декабрь

161

160

164

150

Необходимо определить степень влияния каждого отдельного фактора на результат (объем урожая). Для этого необходимо построить графики исходных данных, построить уравнения регрессии, проанализировать силу регрессионной связи (по коэффициенту детерминации) и сделать прогноз урожая по двум-трем значениям (в пределах прогноза исходных данных).

Решение

Строим графики исходных данных (рис. 2, 3):

Рис. 2 - График зависимости урожая от удобрения

Рис. 3 - График зависимости урожая от воды

Численные коэффициенты функции регрессии для первой зависимости:

Численные коэффициенты функции регрессии

X1_i

Y_i

X1_iІ

X1_i Y_i

Y_i І

Y_i ^p

(Y_i ^p -y)І

(Y_i -y)І

165

140

27225

23100

19600

152,5778

151,9747

0,0625

164

138

26896

22632

19044

151,4485

125,4073

5,0625

158

158

24964

24964

24964

144,673

19,56251

315,0625

159

144

25281

22896

20736

145,8022

30,82711

14,0625

148

142

21904

21016

20164

133,3803

47,19267

3,0625

152

134

23104

20368

17956

137,8974

5,534888

39,0625

143

122

20449

17446

14884

127,734

156,6506

333,0625

146

125

21316

18250

15625

131,1218

83,32442

232,5625

148

124

21904

18352

15376

133,3803

47,19267

264,0625

150

138

22500

20700

19044

135,6388

21,26283

5,0625

156

157

24336

24492

24649

142,4144

4,684729

280,5625

160

161

25600

25760

25921

146,9315

44,64219

430,5625

1849

1683

285479

259976

237963

 

738,2566

1922,25

 Среднее значение

140,25

 

 

 

 

 

 

Коэффициент детерминации r²=0,384059.

Коэффициент детерминации низкий поэтому модель не адекватна.

Численные коэффициенты функции регрессии для первой зависимости, представляем расчеты виде таблицы:

Численные коэффициенты функции регрессии

X2_i

Y_i

X2_iІ

X2_i Y_i

Y_i І

Y_i ^p

(Y_i ^p -y)І

(Y_i -y)І

138

140

19044

19320

19600

137,5802

7,127725

0,0625

139

138

19321

19182

19044

138,5088

3,031641

5,0625

157

158

24649

24806

24964

155,224

224,2202

315,0625

142

144

20164

20448

20736

141,2947

1,091391

14,0625

144

142

20736

20448

20164

143,1519

8,421225

3,0625

136

134

18496

18224

17956

135,723

20,49389

39,0625

122,5

122

15006,25

14945

14884

123,1866

291,1588

333,0625

128

125

16384

16000

15625

128,294

142,9452

232,5625

119

124

14161

14756

15376

119,9365

412,64

264,0625

142

138

20164

19596

19044

141,2947

1,091391

5,0625

159

157

25281

24963

24649

157,0812

283,29

280,5625

164

161

26896

26404

25921

161,7243

461,1463

430,5625

1690,5

1683

240302,3

239092

237963

 

1856,658

1922,25

 Среднее значение

140,25

 

 

 

 

 

 

Коэффициенты регрессии — сдвиг а₀ и наклон а₁ прямой у:

a0=

9,430782

a1=

0,928619

Коэффициент детерминации r²=0,965877.

Коэффициент детерминации высокий, поэтому модель адекватна и можно делать прогноз.

Прогноз на три шага вперед y13=120.9, y14=154.3, y15=142.2.

Численные коэффициенты функции регрессии для первой зависимости, представляем расчеты виде таблицы:

Численные коэффициенты функции регрессии

X3_i

Y_i

X3_iІ

X3_i Y_i

Y_i І

Y_i ^p

(Y_i ^p -y)І

(Y_i -y)І

134

140

17956

18760

19600

135,8979

18,94079

0,0625

128

138

16384

17664

19044

131,1502

82,80727

5,0625

168

158

28224

26544

24964

162,8018

508,5838

315,0625

147

144

21609

21168

20736

146,1847

35,22048

14,0625

146

142

21316

20732

20164

145,3934

26,4545

3,0625

140

134

19600

18760

17956

140,6456

0,156535

39,0625

132

122

17424

16104

14884

134,3153

35,22048

333,0625

135

125

18225

16875

15625

136,6892

12,67937

232,5625

125

124

15625

15500

15376

128,7763

131,6463

264,0625

126

138

15876

17388

19044

129,5676

114,1144

5,0625

143

157

20449

22451

24649

143,0195

7,670238

280,5625

150

161

22500

24150

25921

148,5586

69,03215

430,5625

1674

1683

235188

236096

237963

 

1042,526

1922,25

 Среднее значение

140,25

 

 

 

 

 

 

Коэффициенты регрессии — сдвиг а₀ и наклон а₁ прямой у:

a0=

29,86486

a1=

0,791291

Коэффициент детерминации r²=0,542347.

Коэффициент детерминации низкий, поэтому модель не адекватна.

Задача

Санаторный комплекс ежегодно заключает с пекарней договор на выпечку хлеба сорта С₁. Чтобы полностью использовать свои производственные мощности пекарня также выпекает хлеб сорта С₂, который пускает в свободную продажу. В таблице приведены данные выпуска хлеба (тыс. шт.) пекарней за последний год

Месяц

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

С₁

1

2,3

1,5

0,5

4

5

2

3,5

1

4,5

2,5

1,5

С₂

9

6,5

8,1

8,7

4

0,2

7,6

5

8,7

2

7

8,4

Проанализируйте график исходных данных и постройте регрессионную модель функции производственных возможностей пекарни. Проверьте удовлетворительность модели и сделайте прогноз выпуска хлеба С₂, если санаторный комплекс сделает заказ хлеба С₁ 3 тысячи булок.

Решение

Рис. 4 - График исходных данных

Суммы, необходимые для расчета коэффициентов линейной регрессии и коэффициента детерминации вычислим с помощью таблицы, учитывая данные зависимости объема собранного урожая от количества электроэнергии.

x

y

x²

xy

y^p

(y^p-y_cp)²

(y-y_cp)²

1

9

1

9

8.981453

7.370065

7.471111

2.3

6.5

5.29

14.95

6.533438

0.071167

0.054444

1.5

8.1

2.25

12.15

8.039909

3.144387

3.361111

0.5

8.7

0.25

4.35

9.922997

13.36875

5.921111

4

4

16

16

3.332187

8.611173

5.137778

5

0.2

25

1

1.449098

23.20897

36.80444

2

7.6

4

15.2

7.098364

0.691721

1.777778

3.5

5

12.25

17.5

4.273731

3.971792

1.604444

1

8.7

1

8.7

8.981453

7.370065

5.921111

4.5

2

20.25

9

2.390642

15.02356

18.20444

2.5

7

6.25

17.5

6.15682

0.012066

0.537778

1.5

8.4

2.25

12.6

8.039909

3.144387

4.551111

=29.3

=75.2

=95.79

=137.95

=85.98811

=91.34667

Находим коэффициенты регрессии — сдвиг а₀ и наклон а₁ прямой у:

a0=

10,86454

a1=

-1,88309

Коэффициент детерминации r²=0,941338.

Коэффициент детерминации высокий поэтому модель адекватна и можно делать прогноз.

Если санаторный комплекс сделает заказ хлеба С₁ 3 тысячи булок, то прогноз С₂ =-1,88309*3000+10,86454=5215,7.

Транспортная задача

Задача

Заводы некоторой автомобильной фирмы расположены в городах А, В и С. Основные центры распределения продукции сосредоточены в городах D и E. Объемы производства указанных трех заводов равняются 1000, 1300 и 1200 автомобилей ежеквартально.

Величины квартального спроса в центрах распределения составляют 2300 и 1400 автомобилей соответственно.

Стоимости перевозки автомобилей по железной дороге по каждому из возможных маршрутов приведены в таблице

Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт.

D

E

А

80

215

В

100

108

С

102

68

Постройте математическую модель, позволяющую определить количество автомобилей, перевозимых из каждого завода в каждый центр распределения, таким образом, чтобы общие транспортные расходы были минимальны.

Задаем целевую функцию и ограничения с помощью «Поиска решений»:

;

Получаем:

Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт

 

D

Е

V

Издержки

А

80

215

1000

 

В

100

108

1300

 

С

102

68

1200

 

Спрос

2300

1400

 

291600

 

Продукция

 

D

Е

Сумма

А

1000

0

1000

В

1300

0

1300

С

0

1200

1200

Y

0

200

200

Сумма

2300

1400

 

Задача

Постройте транспортную модель для исходных данных задачи 2.1 при условии, что квартальный спрос в пункте распределения D упал до 1900 автомобилей, а выпуск на заводе В увеличился до 1500 автомобилей за квартал.

Решение

Задаем целевую функцию и ограничения с помощью «Поиска решений»:

;

Получаем:

Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт

 

D

Е

F

V

Издержки

А

80

215

0

1000

 

В

100

108

0

1500

 

С

102

68

0

1200

 

Спрос

1900

1400

400

 

273200

Продукция

 

D

Е

F

Сумма

А

1000

0

0

1000

В

900

200

400

1500

С

0

1200

0

1200

Сумма

1900

1400

400

 

Задача

Три электрогенерирующие станции мощностью 25, 40 и 30 миллионов кВтч поставляют электроэнергию в три города. Максимальная потребность в электроэнергии этих городов оценивается в 30, 35 и 24 миллионов кВтч. Цены за миллион кВт-ч в данных городах приведены в табл. 4.4.

Стоимость за электроэнергию, руб. /млн. кВтч

Города

1

2

3

Станция

1

600

700

400

2

320

300

350

3

500

480

450

В августе на 20% возрастает потребность в электроэнергии в каждом из трех городов. Недостаток электроэнергии могут восполнить из другой электросети по цене 1000 за 1 миллион кВт-ч. Но третий город не может подключиться к альтернативной электросети. Электрогенерирующие станции планируют разработать наиболее экономичный план распределения электроэнергии и восполнения ее недостатка в августе. Сформулируйте эту задачу в виде транспортной модели.

Решение

Задаем целевую функцию и ограничения с помощью «Поиска решений»:

;

Получаем:

Стоимость за электроэнергию, руб. /млн. кВтч

 

Города

 

Издержки

1

2

3

Мощность

 

Станция

1

600

700

400

25

 

2

320

300

350

40

 

3

500

480

450

30

 

 

4

1000

1000

10000

12

 

Потребление

 

36

42

29

 

48570

 

Города

 

1

2

3

 

Сумма

Станция

1

0

0

25

 

25

2

24

16

0

 

40

3

0

26

4

 

30

 

4

12

0

0

 

12

 

Сумма

36

42

29

 

 

Задача

Найти тремя методами опорный план ТЗ, в которой запасы на трех складах равны 210, 170, 65 ед. продукции, потребности четырех магазинов равны 125, 90, 130, 100 ед. продукции, тарифы перевозки в рублях за единицу продукции следующие:

Решение

Проверка сбалансированности задачи показывает, что суммарный объем запасов равен суммарному объему потребностей, т.е. введение фиктивных столбцов или строк не потребуется

Результаты нахождения опорного плана различными методами представлены в табл.

Транспортная таблица с опорным планом северо-западного угла

Пункты

отправления,

Пункты потребления,

Запасы, ед. продукции

125

5

85

8

1

2

210/85/0

2

5

5

130

4

35

9

170/165/35/0

9

2

3

65

1

65/0

Потребность,

ед. продукции

125/0

90/5/0

130/0

100/65/0

Опорный план , найденный методом северо-западного угла

[ед.товара]

Соответствующая ЦФ (общие затраты на перевозку)

[руб.].

Транспортная таблица с опорным планом минимального элемента

Пункты

отправления,

Пункты потребления,

Запасы, ед. продукции

5

45

8

130

1

35

2

210/80/45/0

125

2

45

5

4

9

170/45/0

9

2

3

65

1

65/0

Потребность,

ед. продукции

125/0

90/45/0

130/0

100/35/0

Опорный план , найденный методом минимального элемента

[ед.товара]

[руб.]

Транспортная таблица с опорным планом Фогеля

Штрафы строк,

5

8

110

1

100

2

210/110/0

1

1

1

7

125

2

25

5

20

4

9

170/45/25/0

2

1

1

1

9

65

2

3

1

65/0

1

1

–

–

125/0

90/25/0

130/20/0

100/0

Штрафы столбцов,

3

3

2

1

–

3

2

1

–

3

3

7

–

3

3

–

На первом шаге нахождения опорного плана методом Фогеля возникает ситуация равенства значений максимальных штрафов транспортной матрицы

Минимальные тарифы в этих столбцах также совпадают

.

Поэтому необходимо сравнить суммарные штрафы клеток (2,1) и (3,2)

;

.

Т.к. , то выбираем на первом шаге для заполнения клетку (2,1).

Опорный план

[ед.товара], [руб.]

Задача

Найти тремя методами опорный план ТЗ, в которой запасы на трех складах равны 160, 140, 170 ед. продукции, потребности четырех магазинов равны 120, 50, 200, 110 ед. продукции, тарифы перевозки в рублях за единицу продукции следующие:

Решение

Суммарный объем запасов равен суммарному объему потребностей

470 ед. товара

480 ед. товара

160+140+170

120+50+200+110

потребности

запасы

Транспортная таблица с опорным планом северо-западного угла

Пункты отправления,

Пункты потребления,

Запасы, ед. продукции

120

7

40

8

1

2

160/40/0

4

10

5

130

9

8

140/130/0

9

2

70

3

100

6

170/100/0

фиктивный склад

0

0

0

10

0

10/0

Потребность,

ед. продукции

120/0

50/10/0

200/70/0

110/10/0

Опорный план , найденный методом северо-западного угла [ед.товара].

Соответствующая ЦФ (общие затраты на перевозку)

Транспортная таблица с опорным планом минимального элемента

Пункты отправления,

Пункты потребления,

Запасы, ед. продукции

7

8

160

1

2

160/0

110

4

5

9

30

8

140/30/0

9

50

2

40

3

80

6

170/120/80/0

фиктивный склад

10

0

0

0

0

10/0

Потребность,

ед. продукции

120/110/0

50/0

200/40/0

110/30/0

Опорный план , найденный методом минимального элемента

Транспортная таблица с опорным планом Фогеля

Штрафы строк,

7

8

50

1

110

2

160/50/0

1

1

6

-

-

-

110

4

30

5

9

8

140/110/0

1

1

1

1

1

1

9

20

2

150

3

6

170/20/0

1

1

1

1

7

-

фикт.

10

0

0

0

0

10/0

0

-

-

-

-

-

120/110/0

50/30/0

200/150/0

110/0

Штрафы столбцов,

4

2

1

2

3

3

2

4

3

3

2

-

5

3

6

–

5

3

-

-

4

5

-

-

Опорный план , найденный методом Фогеля [ед.товара],

Задача

Некоторая фирма производит автомобили четырех различных марок М₁, М₂, М₃, М₄. Завод в городе А производит только автомобили марок М₃, M₄, в городе В – только автомобили марок М₁, М₂, M₄, а в городе С – только автомобили марок М₁, М₂. Ежеквартальные объемы выпуска каждого завода и величины спроса в каждом пункте распределения приведены в таблице 1.3. Постройте соответствующую модель экономичных перевозок и определите целевую функцию по двум вариантам:

• каждому виду продукции должна соответствовать одна транспортная матрица;

• все виды продукции представлены в одной общей матрице с использованием запрещающих тарифов в клетках, связывающих разные виды продукции.

Объемы производства заводов и спроса пунктов распределения автомобилей, шт/квартал

Марка автомобиля

M₁

M₂

M₃

M₄

Заводы

А

—

—

700

300

В

500

600

—

400

С

800

400

—

—

Пункты распределения

D

700

500

500

600

Е

600

500

200

100

Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт

D

Е

А

80

215

В

100

108

С

102

68

Решение:

Составляем для каждого вида продукции транспортную матрицу:

Транспортная матрица для первого вида продукции:

 

D

Е

Объем

А

0

0

0

В

100

108

500

С

102

68

800

Спрос

700

600

 

издержки

111200

 

D

Е

Сумма

А

0

0

0

В

500

0

500

С

200

600

800

Сумма

700

600

 

Транспортная матрица для второго вида продукции:

 

D

Е

Объем

А

0

0

0

В

100

108

600

С

102

68

400

Спрос

500

500

 

издержки

88000

 

D

Е

Сумма

А

0

0

0

В

500

100

600

С

0

400

400

Сумма

500

500

 

Транспортная матрица для третьего вида продукции:

 

D

Е

Объем

А

80

215

700

В

0

0

0

С

0

0

0

Спрос

500

200

 

издержки

83000

 

D

Е

Сумма

А

500

200

700

В

0

0

0

С

0

0

0

Сумма

500

200

 

Транспортная матрица для четвертого вида продукции:

 

D

Е

Объем

А

80

215

300

В

100

108

400

С

0

0

0

Спрос

600

100

 

издержки

64800

 

D

Е

Сумма

А

300

0

300

В

300

100

400

С

0

0

0

Сумма

600

100

 

Целевая функция равна сумме издержек по каждому виду продукции 347000.

Объединяем все виды продукции в одной общей матрице и с помощью «Поиска решений» находим оптимальный план и целевую функцию:

 

D1

E1

D2

E2

D3

E3

D4

E4

производство

A3

10000

10000

10000

10000

80

215

10000

10000

700

A4

10000

10000

10000

10000

10000

10000

80

215

300

B1

100

108

10000

10000

10000

10000

10000

10000

500

B2

10000

10000

100

108

10000

10000

10000

10000

600

B4

10000

10000

10000

10000

10000

10000

100

108

400

C1

102

68

10000

10000

10000

10000

10000

10000

800

C2

10000

10000

102

68

10000

10000

10000

10000

400

спрос

700

600

500

500

500

200

600

100

347000

 

D1

E1

D2

E2

D3

E3

D4

E4

 

A3

0

0

0

0

500

200

0

0

700

A4

0

0

0

0

0

0

300

0

300

B1

500

0

0

0

0

0

0

0

500

B2

0

0

500

100

0

0

0

0

600

B4

0

0

0

0

0

0

300

100

400

C1

200

600

0

0

0

0

0

0

800

C2

0

0

0

400

0

0

0

0

400

 

700

600

500

500

500

200

600

100

Задача о назначениях

Задача

а). Строительной компании «Спецстройкурнож» необходимо выполнить бетонные работы на 4 строящихся объектах. В фирме имеется 4 бригады бетонщиков, которые могут выполнить эту работу. Бригадиры каждой бригады побывали на объектах, оценили объемы работ и рассчитали сроки, за которые они могут выполнить работы.

Бригада

Объект

1

2

3

4

№1

30

40

50

60

№2

36

41

52

58

№3

28

44

49

57

№4

35

39

49

63

Перед руководством фирмы стоит задача распределения бригад по объектам таким образом, чтобы суммарный срок выполнения всех работ был минимальным. Поскольку количества бригад и объектов одинаковы, следовательно, имеем сбалансированную задачу о назначениях.

Решение

С помощью «Поиска решения» распределяем бригады по объектам таким образом, чтобы суммарный срок выполнения всех работ был минимальным.

Бригада

Объект

1

2

3

4

№1

30

40

50

60

№2

36

41

52

58

№3

28

44

49

57

№4

35

39

49

63

целевая функция

175

Бригада

Объект

1

2

3

4

№1

0

1

0

0

№2

0

0

0

1

№3

1

0

0

0

№4

0

0

1

0

∑

1

1

1

1

б). Несбалансированная задача. Пока руководство фирмы «Спецстройизбкурнож» решало, какую бригаду бетонщиков послать на какой объект, освободилась от работ на предыдущем объекте еще одна бригада и выразила готовность также подключиться к работе на одном из четырех объектов. Бригадир этой бригады оценил работы на каждом объекте и подсчитал, что работы на первом объекте его бригада выполнит за 29 рабочих дней, на втором объекте за 40 дней, на третьем объекте за 48 дней и на четвертом – за 59 дней

Решение

С помощью «Поиска решений» распределяем бригады по объектам таким образом, чтобы суммарный срок выполнения всех работ был минимальным.

Бригада

Объект

1

2

3

4

№1

30

40

50

60

№2

36

41

52

58

№3

28

44

49

57

№4

35

39

49

63

№5

29

40

48

59

цел. функция

173

Бригада

Объект

1

2

3

4

№1

0

0

0

0

№2

0

0

0

1

№3

1

0

0

0

№4

0

1

0

0

№5

0

0

1

0

∑

1

1

1

1

Общая распределительная задача линейного программирования

Задача

На фабрике эксплуатируются три типа ткацких станков, которые могут выпускать четыре вида тканей. Известны следующие данные о производственном процессе:

производительности станков по каждому виду ткани, м/ч

;

себестоимость тканей, руб./м

;

фонды рабочего времени станков (): 90, 220, 180 ч;

планируемый объем выпуска тканей (): 1200, 900, 1800, 840 м.

Требуется распределить выпуск ткани по станкам с целью минимизации общей себестоимости производства ткани.

Решение

1.1

1

1

1

1

a_i

0,5

0,5

0,5

0,5

0,33333

0,33333

0,33333

0,3333

1.2

90

1

90

220

*

0,5

=

110

180

0,33333

60

1.3

24

30

18

42

b_j

12

15

9

21

8

10

6

14

1200

900

1800

840

bj'

50

30

100

20

b(фиктив)'

60

1.4

2

1

3

1

c_ij

3

2

4

1

*

24

30

18

42

6

3

5

2

48

30

54

42

=

72

60

72

42

144

90

90

84

2.

a_i

b_j

90

50

110

30

60

100

260

20

60

260

3.

48

30

54

42

0

90

72

60

72

42

0

110

144

90

90

84

0

60

50

30

100

20

60

50

30

10

0

0

0

0

90

20

0

Поиск оптимального решения

0

0

0

0

60

4.

50

30

10

0

0

1

x_ij

0

0

90

20

0

/

0,5

=

0

0

0

0

60

0,3333

50

30

10

0

0

=

0

0

180

40

0

0

0

0

0

180

5.

50

30

10

0

0

24

30

18

42

0

0

0

180

40

0

*

12

15

9

21

0

0

0

0

0

180

8

10

6

14

0

1200

900

180

0

0

2

1

3

1

0

0

0

1620

840

0

*

3

2

4

1

0

0

0

0

0

0

6

3

5

2

0

2400

900

540

0

0

0

6480

840

L(x)=

11160

0

0

0

0

Задача

Некоторая фирма содержит три магазина, которым еженедельно следует доставлять товар: первому магазину – 1050 кг сыра, второму – 600 мешков муки, третьему – 2400 упаковок сока. Товары доставляются грузовыми машинами четырех транспортных предприятий. Количество машин на этих предприятиях составляет 65, 40, 45 и 20 машин. Все машины имеют различную грузоподъемность [ед. тов. / маш.], в зависимости от типа машины и типа перевозимого груза

Стоимости использования машин [руб. / маш.] в зависимости от дальности перевозки и емкости машины равны

.

Организуйте экономичную перевозку товаров (при решении используйте метод северо-западного угла).

Решение:

Этапы решения распределительной задачи:

1.1

0,2

0,2

0,2

 

a_i

0,1

0,1

0,1

 

1

1

1

 

0,5

0,5

0,5

 

1.2

65

0,2

13

40

*

0,1

=

4

45

1

45

20

0,5

10

1.3

10

6

12

b_j

5

3

6

50

30

60

25

15

30

1050

600

2400

b_j

21

20

40

a фикт

9

1.4

30

24

24

1500

720

1440

c_ij

10

9

6

*

50

30

60

=

500

270

360

250

210

240

12500

6300

14400

100

75

90

5000

2250

5400

2.

a_i

b_j

13

21

4

20

45

40

10

81

9

81

3.

1500

720

1440

13

500

270

360

4

12500

6300

14400

45

5000

2250

5400

10

0

0

0

9

21

20

40

13

0

0

4

0

0

4

20

21

Поиск оптимального решения

0

0

10

0

0

9

4.

13

0

0

0,2

65

0

0

4

0

0

0,1

40

0

0

x_ij

4

20

21

/

1

=

4

20

21

0

0

10

0,5

0

0

20

0

0

9

0

0

0

0

5.

65

0

0

10

6

12

650

0

0

40

0

0

5

3

6

200

0

0

4

20

21

*

50

30

60

=

200

600

1260

0

0

20

25

15

30

0

0

600

0

0

0

0

0

0

0

0

0

650

0

0

30

24

24

19500

0

0

200

0

0

10

9

6

2000

0

0

200

600

1260

*

250

210

240

=

50000

1E+05

3E+05

0

0

600

100

75

90

0

0

54000

0

0

0

0

0

0

0

0

0

L(x)=

553900

Модели управления запасами

Задача

Объем продажи некоторого магазина составляет в год 500 упаковок супа в пакетах. Величина спроса равномерно распределяется в течение года. Цена покупки одного пакета равна 2 руб. За доставку заказа владелец магазина должен заплатить 10 руб. Время доставки заказа от поставщика составляет 12 рабочих дней (при 6-дневной рабочей неделе). По оценкам специалистов, издержки хранения в год составляют 40 коп. за один пакет. Необходимо определить: сколько пакетов должен заказывать владелец магазина для одной поставки; частоту заказов; точку заказа. Магазин работает 300 дней в году.

Постройте график затрат Q [10; 200] с учетом затрат владельца магазина на закупку пакетов супа у поставщика. Графически определите наиболее выгодный объем заказа.

Решение

Пусть Q - размер заказа; T=300 - продолжительность периода планирования; D=500 - величина спроса за период планирования; К=10 - издержки одного заказа (стоимость доставки); - удельные издержки хранения за период; с=2 — цена продукта. Тогда:

Издержки заказа за период планирования:;

Издержки хранения за период планирования : ;

Издержки на закупку товара: .

При этом совокупные издержки: .

Формула совокупных издержек:

.

Для нахождения наименьшего значения функции С найдем ее производную и прировняем ее к нулю.

Отсюда получаем: .

Оптимальное число заказов:

.

Число дней между заказами:

дней.

Так как длина интервала между поставками равна 100 дней, а время доставки – 12 дней, то заказ нужно возобновить, когда уровень запаса достаточен для удовлетворения потребностей на 12 рабочих дней.

Так как ежедневная потребность равна 500/300=1,67 упаковок супа в день, то заказы должны делаться регулярно при достижении уровня запаса пачек супа.

График затрат Q [10; 200] с учетом затрат владельца магазина на закупку пакетов супа у поставщика (рис. 5):

С, руб.

Q, шт.

Рис. 5

Оптимальный размер заказа (точка пересечения графиков издержек заказа и издержек хранения) приблизительно равен 158 пакетов супа.

Величина общих годовых издержек составит примерно 1060 руб.

Задача

На некотором станке производятся детали в количестве 2000 штук в месяц. Эти детали используются для производства продукции на другом станке с интенсивностью 500 шт. в месяц. По оценкам специалистов компании, издержки хранения составляют 50 коп. в год за одну деталь. Стоимость производства одной детали равна 2,50 руб., а стоимость на подготовку производства составляет 1000 руб. Каким должен быть размер партии деталей, производимой на первом станке, с какой частотой следует запускать производство этих партий?

Решение

Для начала определяем сколько производит первый и второй станки за год деталей:

первый станок = 2000*12=24000;

второй станок = 500 * 12 = 6000.

Затем по формулам модели Уилсона находим, оптимальный план, частоту заказов и общие издержки.

Qопт=5656,85

С=2121,32

τ месс=11,31

Задача

Фирма может производить изделие или покупать его. Если фирма сама выпускает изделие, то каждый запуск его в производство обходится в 20 руб. Интенсивность производства составляет 120 шт. в день. Если изделие закупается, то затраты на осуществление заказа равны 15 руб. Затраты на содержание изделия в запасе независимо от того, закупается оно или производится, равны 2 коп. в день. Потребление изделия фирмой оценивается в 26 000 шт. в год.

Предполагая, что фирма работает без дефицита, определите, что выгоднее: закупать или производить изделие (в месяце 22 рабочих дня).

Подтвердите свое решение графически, для этого на одном рисунке постройте графики общих затрат фирмы для случаев покупки и производства изделий.

Решение

Производство изделий:

Обозначим Q - размер выпускаемой партии; D=26000 шт. - величина спроса в год; шт. – величина спроса в день; шт. - интенсивность производства; К=20 руб. – стоимость каждого запуска изделия в производство; руб. - издержки хранения за год. Тогда:

шт.

Cовокупные издержки:

руб.

Покупка изделий

Обозначим Q - размер приобретаемой партии; D=26000 шт. - величина спроса в год; К=15 руб. – стоимость каждой покупки; руб. - издержки хранения за год. Тогда:

шт.

Совокупные издержки:

руб.

С2

С1

Рис. 6 - Графики общих затрат фирмы для случаев покупки и производства изделий

Вывод: выгоднее производить изделия, чем покупать их.

Задача

При строительстве участка автодороги длиной 500 м используют гравий, расход которого составляет 120 кг/м. Сроки строительства составляют 17 дней. Работа идет в одну смену. Расход гравия равномерный. Гравий доставляется грузовыми машинами, емкостью 7 т, в течение 4 часов. Затраты на один рейс грузовика равны 15 руб. Затраты на хранение гравия на месте строительства составляют 1 руб. 10 коп. в сутки за тонну.

Определить: оптимальный объем заказа, количество грузовых машин, используемых для доставки, период поставок, точку заказа, затраты за всю стройку. Постройте график двух последних циклов изменения запаса гравия на месте строительства.

Решение

Пусть Q – оптимальный объем заказа; D=т - величина спроса за период строительства; К=руб. - издержки одного заказа (здесь 7 - грузоподъемность машины); руб. - удельные издержки хранения за период; Т=17 дней – период планирования; сут. (принимаем время смены 8 часов). Тогда:

Издержки заказа за период планирования :;

Издержки хранения за период планирования:.

Оптимальный размер заказа составит:

или , откуда т.

Количество грузовых машин равно ед.

Период поставок: дня.

Точка заказа: т.

Затраты на всю стройку составят:

руб.

Так как период поставок равен 4 дня, а время работы равно 17 дней, получим 4 полные поставки и в 16-й день еще одну машину с гравием.

Задача

Пусть затраты на заказ равны 10 руб., затраты на хранение продукции 1 руб. в сутки, интенсивность потребления товара 5 шт. в день, цена товара – 2руб. за штуку, а при объеме закупки 15 шт. и более- 1руб.

Определите оптимальный размер заказа, цену покупки и затраты на управление запасами. Постройте график общих затрат.

Пусть Q - размер заказа; - величина потребления за день; К=10 - издержки одного заказа; h=1 - удельные издержки хранения за день; с_i — цена продукта при соответствующем размере заказа.

Издержки заказа за период планирования: ;

Издержки хранения за период планирования: ;

Издержки на закупку товара:.

Совокупные издержки:

.

При размере заказа менее 15 шт формула совокупных издержек запишется в виде:

.

Для нахождения наименьшего значения функции С находим ее производную и прировняем ее к нулю.

.

Аналогично находим при заказе 15 шт. и более:

; ; .

Общие издержки для каждого размера заказа и вида скидок с выбором наименьшего значения:

Размер заказа

Менее 15 шт.

15 шт. и более

Цена 1 шт., руб.

2

1

Размер заказа, шт.

10

15

Издержки заказа, руб.

5

3,33

Издержки хранения, руб.

5

7,5

Издержки на закупку товара, руб.

10

5

Общие затраты, руб.

20

15,83

Выбираем размер заказа, минимизирующий общие годовые издержки. Заказ в размере 15 шт. будет минимизировать общие затраты, оптимальный размер заказа шт.

При этом цена покупки составит руб., затраты на управление запасами составят руб.

График общих

С, руб.

Q, шт.

Рис.7

Задача

Рассмотрим задачу 5.1. Пусть поставщик супа в пакетах предоставляет следующие скидки

Размер заказа

Цена, руб./шт.

1-199

2

200-499

1,96 (2% скидки)

500 и более

1,92 (4% скидки)

Следует ли владельцу магазина воспользоваться одной из скидок, предоставляемых поставщиком? Каковы при этом будут размер заказа и общие затраты на управление запасами? Постройте график общих затрат.

Решение

Пусть Q - размер заказа; T=300 - продолжительность периода планирования; D=500 - величина спроса за период планирования; К=10 - издержки одного заказа; Н=0,4 - удельные издержки хранения за период; с_i — цена продукта при соответствующем размере заказа. Тогда:

Издержки заказа за период планирования: ;

Издержки хранения за период планирования : ;

Издержки на закупку товара : .

Совокупные издержки:

.

Оптимальный заказ:

.

Поэтому для первого уровня цен принимаем ; для других цен - . Рассчитываем общие издержки для каждого размера заказа и вида скидок, а затем выбрать наименьшее значение.

Размер заказа

1-199

200-499

500 и более

Цена пакета, руб.

2

1,96

1,92

Размер заказа, шт.

158

200

500

Издержки заказа за год, руб.

31,65

25,0

10

Издержки хранения за год, руб.

31,6

40

100

Издержки на закупку товара за год, руб.

1000

980

960

Совокупные издержки, руб.

1063,25

1045,0

1070,0

Выберем тот размер заказа, который минимизирует общие годовые издержки. Из таблицы видно, что заказ в размере 200 пакетов супа будет минимизировать совокупные издержки, следовательно, оптимальный размер заказа пакетов.

При этом совокупные издержки за год составят руб.

Рис. 8 - График общих затрат

Задача

Какое количество товара заказывать и по какой цене, каковы затраты при оптимальной организации управления запасами? Известно, что  =240 шт./дн.; С₀= 30 руб.; С_h = 3 руб./шт.дн.; a = 6 руб./шт.; a₁ = 5 руб./шт.; a₂ =3 руб./шт.; Q_p1= 50 шт.; Q_P2 =500 шт.

Решение

Пусть Q - размер заказа; v=240 шт./дн. - величина спроса за период планирования; С₀=30 руб. - издержки одного заказа; руб./шт.дн. - удельные издержки хранения за период; с_i — цена продукта при соответствующем размере заказа. Тогда:

Издержки заказа за период планирования: ;

Издержки хранения за период планирования: ;

Издержки на закупку товара:.

Совокупные издержки:

.

Оптимальный заказ:

.

Поэтому для первого уровня цен принимаем ; для других цен - . Далее рассчитаем общие издержки для каждого размера заказа и вида скидок, а затем выбрать наименьшее значение.

Размер заказа

1-49

50-499

500 и более

Цена ед. товара, руб.

6

5

3

Размер заказа, шт.

49

69

500

Издержки заказа, руб.

146,94

104,35

14,40

Издержки хранения, руб.

73,50

103,50

750,00

Издержки на закупку товара, руб.

1440,00

1200,00

720,00

Совокупные издержки, руб.

1660,44

1407,85

1484,40

Выберем тот размер заказа, который минимизирует общие издержки. Из таблицы видно, что заказ в размере 69 единиц товара будет минимизировать совокупные издержки, следовательно, оптимальный размер заказа .

Вывод: совокупные издержки 1407,85 руб.

Расчет и анализ сетевых моделей

1. Рассчитайте табличным методом представленный сетевой график. Определите критический путь.

0

2

1

3

2

2

1

4

5

6

4

5

8

3

7

8

5

4

3

1

Решение

Расчёты сетевого графика табличным методом приведены в таблице:

hi

i

j

РН

tij

РО

ПО

tij

ПН

Rij

rij

-

0

1

0

2

2

7

2

5

5

0

-

0

2

0

2

2

2

2

0

0

0

-

0

3

0

1

1

7

1

6

6

0

1

1

4

2

4

6

11

4

7

5

0

1

2

5

2

5

7

8

5

3

1

0

1

2

6

2

8

10

10

8

2

0

0

1

3

6

1

3

4

10

3

7

6

6

1

4

7

6

1

7

12

1

11

5

4

1

5

7

7

4

11

12

4

8

1

0

2

6

8

10

5

15

15

5

10

0

0

2

7

8

11

3

14

15

3

12

1

1

2

8

-

15

-

15

15

-

15

0

0

Критический путь: 0-2-6-8

2. Рассчитайте табличным методом представленный сетевой график.. Определите критический путь.

1

2

3

4

5

6

8

7

9

10

11

2

5

3

6

8

5

7

8

7

4

4

18

5

3

Решение

Расчёты сетевого графика табличным методом приведены в таблице:

hi

i

j

РН

tij

РО

ПО

tij

ПН

Rij

rij

-

1

2

0

2

2

2

2

0

0

0

1

2

3

2

5

7

7

5

2

0

0

1

2

4

2

6

8

9

6

3

1

0

1

2

5

2

3

5

12

3

9

7

2

1

3

5

7

0

7

12

0

12

5

0

1

3

6

7

7

14

14

7

7

0

0

1

4

8

8

8

16

17

8

9

1

1

2

5

7

7

5

12

17

5

12

3

5

1

6

7

14

3

17

17

3

14

0

0

1

6

11

14

8

22

39

8

31

17

17

2

7

8

17

0

17

17

0

17

0

0

2

7

11

17

7

24

39

7

32

15

15

2

8

9

17

4

21

21

4

17

0

0

1

9

10

21

4

25

34

4

30

9

0

1

9

11

21

18

39

39

18

21

0

0

1

10

11

25

5

30

39

5

34

9

9

4

11

-

39

-

39

39

-

39

0

0

Критический путь: 1-2-3-6-7-8-9-11

3. Рассчитайте табличным методом представленный сетевой график. Определите критический путь.

0

18

15

1

2

4

3

5

6

7

8

10

11

9

12

22

30

30

32

42

9

25

15

5

20

25

35

22

30

Решение

Расчеты сетевого графика табличным методом приведены в таблице:

hi

i

j

РН

tij

РО

ПО

tij

ПН

Rij

rij

-

0

1

0

18

18

48

18

30

30

0

-

0

2

0

15

15

26

15

11

11

0

-

0

4

0

30

30

30

30

0

0

0

1

1

3

18

22

40

70

22

48

30

0

1

1

9

18

12

30

100

12

88

70

52

1

2

5

15

9

24

35

9

26

9

0

1

2

6

15

15

40

62

15

40

25

0

1

3

9

40

30

70

100

30

70

30

0

1

4

7

30

25

55

55

25

30

0

0

1

4

8

30

30

60

90

30

60

30

30

1

5

7

24

20

44

55

20

35

11

11

1

5

10

24

5

29

80

5

75

51

26

1

6

10

40

15

55

80

15

65

25

0

2

7

8

55

35

90

90

35

55

0

0

2

8

11

90

32

122

122

32

90

0

0

2

9

11

70

22

99

122

22

100

30

23

2

10

11

55

42

97

122

42

80

25

25

3

11

-

122

-

122

122

-

122

-

-

Критический путь: 0-4-7-8-11

4.Рассчитайте секторным методом представленный сетевой график. Определите критический путь.

0

1

2

3

2

5

3

8

1

4

5

4

6

6

6

9

12

Решение

Критический путь 0-2-3-4-5-6

5. Рассчитайте представленный сетевой график методом диагональной таблицы. Определите критический путь.

Решение

Расчёты сетевого графика методом диагональной таблицы:

Ti P

i/j

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

3

8

6

4

 

 

7

 

5

2

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

10

3

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

8

4

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

6

5

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

9

6

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

12

7

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

19

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

24

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TiП

0

2

8

13

8

9

12

15

19

24

Ti P

0

2

5

10

8

6

9

12

19

24

r

0

0

3

3

0

3

3

3

0

0

Критический путь: 0-1-4-8-9

6. Рассчитайте представленный сетевой график методом диагональной таблицы. Определите критический путь.

1

2

3

5

4

6

7

8

4

8

5

5

6

11

10

4

Решение

Расчёты методом диагональной таблицы:

Ti P

i/j

1

2

3

4

5

6

7

8

0

1

 

8

5

4

 

 

 

 

8

2

 

 

 

0

0

 

 

 

5

3

 

 

 

 

0

 

11

 

8

4

 

 

 

 

 

5

 

 

8

5

 

 

 

 

 

6

 

 

14

6

 

 

 

 

 

 

10

 

24

7

 

 

 

 

 

 

 

4

28

8

 

 

 

 

 

 

 

 

TiП

0

8

8

9

8

14

24

28

Ti P

0

8

5

8

8

14

24

28

r

0

0

3

1

0

0

0

0

Критический путь:1-2-5-6-7-8