Задача 1

Решить систему линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса

Решение:

1) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Крамера

Определитель системы  не равен нулю. Найдем вспомогательные определители ₁, ₂, ₃, если они не равны нулю, то решений нет, если равны, то решений бесконечное множество

Система 3 линейных уравнений с 3 неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:

Ответ: получили решение:

2) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Гаусса

Составим расширенную матрицу системы

Примем первую строку за направляющую, а элемент а₁₁ = 1 – за направляющий. С помощью направляющей строки получим нули в первом столбце.

Матрице соответствует множество решений системы линейных уравнений

Ответ: получили решение:

Задача 2

Даны координаты вершин треугольника АВС

Найти:

1) длину стороны АВ;

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01

4) уравнение медианы АЕ;

5) уравнение и длину высоты CD;

6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;

7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В

Построить заданный треугольник и все линии в системе координат.

А(1; -1), В(4; 3). С(5; 1).

Решение

1) Расстояние между точками А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂) определяется по формуле

воспользовавшись которой находим длину стороны АВ;

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂) имеет вид

Подставляя в (2) координаты точек А и В, получаем уравнение стороны АВ:

Угловой коэффициент k_АВ прямой АВ найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx - b.

У нас , то есть откуда

Аналогично получим уравнение прямой ВС и найдем ее угловой коэффициент.

Подставляя в (2) координаты точек В и С, получаем уравнение стороны ВС:

Угловой коэффициент k_ВС прямой ВС найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx - b.

У нас , то есть

3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01

Для нахождения внутреннего угла нашего треугольника воспользуемся формулой:

Отметим, что порядок вычисления разности угловых коэффициентов, стоящих в числителе этой дроби, зависит от взаимного расположения прямых АВ и ВС.

Подставив ранее вычисленные значения k_ВС и k_АВ в (3), находим:

Теперь, воспользовавшись таблицами инженерным микрокалькулятором, получаем В  1,11 рад.

4) уравнение медианы АЕ;

Для составления уравнения медианы АЕ найдем сначала координаты точки Е, которая лежит на середине отрезка ВС

Подставив в уравнение (2) координаты точек А и Е, получаем уравнение медианы:

5) уравнение и длину высоты CD;

Для составления уравнения высоты CD воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку М(х₀; у₀) с заданным угловым коэффициентом k, которое имеет вид

и условием перпендикулярности прямых АВ и CD, которое выражается соотношением k_ABk_CD = -1, откуда k_CD = -1/k_AB = - 3/4

Подставив в (4) вместо k значение k_СD = -3/4, а вместо x₀, y₀ ответствующие координаты точки С, получим уравнение высоты CD

Для вычисления длины высоты СD воспользуемся формулой отыскания расстояния d от заданной точки М(х₀; у₀) до заданной прямой с уравнением Ax + By + С = 0 , которая имеет вид:

Подставив в (5) вместо х₀; у₀ координаты точки С, а вместо А, В, С коэффициенты уравнения прямой АВ, получаем

6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;

Так как искомая прямая EF параллельна прямой АВ, то k_EF = k_AB = 4/3. Подставив в уравнение (4) вместо х₀; у₀ координаты точки Е, а вместо k значение k_EF получаем уравнение прямой EF'.

Для отыскания координат точки М решаем совместно уравнения прямых EF и CD.

Таким образом, М(5,48; 0,64).

7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В

Поскольку окружность имеет центр в точке Е(4,5; 2) и проходит через вершину В(4; 3), то ее радиус

Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке М₀(х₀; у₀) имеет вид

Имеем

Треугольник АВС, высота СD, медиана AE, прямая EF , точка M и окружность построенная в системе координат x0у на рис.1.

Рис. 1

Задача 3

Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (2; 5) равно расстоянию до прямой у = 1. Полученную кривую построить в системе координат

Решение

Пусть М (x, у) - текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр MB на прямую у = 1 (рис.2). Тогда В(х; 1). Так как МА = MB , то

Pиc. 2

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке С(5; -1,5) и ветвями, направленными вверх (см. рис 2).

Задача 4

Найти указанные пределы:

а)

Ответ:

б)

Ответ:

Задача 5

Найти производные dy/dx, пользуясь правилами и формулами дифференцирования

Решение:

а)

Ответ:

б)

Ответ:

в)

Ответ:

Задача 6

Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.

а) ; б)

Решение

а)

1) Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть D(y) = {х: х}, а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот.

2) Исследуем функцию на экстремумы и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:

Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки первого рода х₁ = 1, х₂ = 2.

Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению в них знака производной функции выявляем промежутки ее монотонности и наличие экстремумов:

х

(-; 1)

1

(1; 2)

2

(2; )

f ’(x)

+

0

-

0

+

f(x)

max

min

3) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:

Итак, функция имеет одну критическую точку второго рода х = -1,5. Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим знак второй производной:

х

(-; 1,5)

1,5

(1,5; )

f ‘’(x)

-

0

+

f(x)



т. п.



Значение х = 1,5 является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки:

4) Выясним наличие у графика заданной функции асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты y = kx – b воспользуемся формулами

Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.

5) построим график функции

б)

1) Областью определения данной функции являются значения аргумента х

D(y) = х0  0, .

2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 0. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:

Итак точка х = 0 – точка разрыва второго рода, а прямая х = 0 – вертикальная асимптота.

3) Исследуем функцию на экстремумы и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:

Следовательно, функция не имеет критических точек первого рода.

Так как y’ < 0 для всех х, то функция убывает во всей области определения

4) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:

Итак функция не имеет точек перегиба. Разобьем область определения точкой х = 1 в каждой из которых установим знак второй производной:

х

(-; 0)

0

(0; )

f ‘’(x)

-

не существует

+

f(x)



не существует



5) Выясним наличие у графика заданной функции асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты y = kx + b воспользуемся формулами

Таким образом, у графика заданной функции есть наклонная асимптота

y = 0*x + 1 = 1.

6) построим график функции